周波数領域

数学、物理学、電子工学、制御システム工学、統計学では、周波数領域とは、時系列のように時間ではなく、周波数（場合によっては位相）に関して数学関数または信号を分析することを指します。^{[ 1 ]}時間領域グラフは信号が時間とともにどのように変化するかを示しますが、周波数領域グラフは信号が周波数範囲にわたって異なる周波数帯域内でどのように分布しているかを示します。複素数値の周波数領域表現は、信号の周波数成分における一連の正弦波（またはその他の基底波形）の振幅と位相の両方で構成されます。振幅部分（実数値の周波数領域）を信号の周波数応答と呼ぶのが一般的ですが、位相部分は信号を一意に定義するために必要です。

与えられた関数または信号は、変換と呼ばれる一対の数学演算子を用いて、時間領域と周波数領域の間で変換できます。例えば、フーリエ変換は、時間関数を、振幅と位相を持つ異なる周波数の正弦波の複素数値の和または積分に変換します。それぞれの正弦波は周波数成分を表します。周波数成分の「スペクトル」は、信号の周波数領域表現です。逆フーリエ変換は、周波数領域の関数を時間領域の関数に戻します。スペクトラムアナライザは、周波数領域における電子信号を視覚化するためによく使用されるツールです。

周波数領域表現は、静的関数、または動的関数（信号またはシステム）の特定の時間期間のいずれかを記述することができます。動的関数の周波数変換は、その関数の有限時間期間にわたって実行され、その時間期間外では関数が無限に繰り返されると仮定されます。動的関数に対する特殊な信号処理技術の中には、時間領域と周波数領域を結びつける重要なリンクとして瞬時周波数応答を用いる、時間領域と周波数領域を統合した変換を用いるものがあります。

問題の周波数領域表現を用いる主な理由の一つは、数学的解析を簡略化するためです。線形微分方程式で記述される数学システム（多くの実世界への応用を持つ非常に重要なシステム群）の場合、システムの記述を時間領域から周波数領域に変換することで、微分方程式が代数方程式に変換され、はるかに簡単に解くことができます。

さらに、周波数の観点からシステムを見ると、システムの定性的な挙動を直感的に理解できることが多く、帯域幅、周波数応答、ゲイン、位相シフト、共振周波数、時定数、共振幅、減衰係数、 Q値、高調波、スペクトル、パワースペクトル密度、固有値、極、零点などの用語を使用して、時間とともに変化する入力に対する物理システムの挙動を特徴付ける、分かりやすい科学的な命名法が発展してきました。

周波数領域解析が時間領域解析よりも優れた理解をもたらす分野の一例として音楽が挙げられます。楽器の動作原理や楽曲の記録・解説に用いられる楽譜は、複雑な音を個々の構成周波数（音符）に分解することに基づいています。

ラプラス変換、Z変換、またはフーリエ変換を用いる場合、信号は周波数の複素関数で表されます。任意の周波数における信号の成分は複素数で与えられます。この数の絶対値はその成分の振幅であり、引数は波の相対位相です。例えば、フーリエ変換を用いると、人間の音声のような音波は、それぞれ振幅と位相が異なる正弦波で表される、異なる周波数の成分音に分解できます。周波数の関数としてのシステムの応答も、複素関数で表すことができます。多くのアプリケーションでは、位相情報は重要ではありません。位相情報を破棄することで、周波数領域表現の情報を単純化し、周波数スペクトルまたはスペクトル密度を生成することができます。スペクトルアナライザはスペクトルを表示する装置であり、時間領域信号はオシロスコープで見ることができます。

「周波数領域」は単数形で語られることが多いが、時間領域関数を解析するために用いられる様々な数学的変換が存在し、それらは「周波数領域」手法と呼ばれている。以下に、最も一般的な変換とその適用分野を示す。

• フーリエ級数― 周期信号、振動系。
• フーリエ変換– 非周期信号、過渡現象。
• ラプラス変換–電子回路および制御システム。
• Z変換–離散時間信号、デジタル信号処理。
• ウェーブレット変換 — 画像解析、データ圧縮。

より一般的に言えば、任意の変換に関する変換領域。上記の変換は、何らかの周波数を捉えるものと解釈できるため、変換領域は周波数領域と呼ばれます。

離散周波数領域とは、連続ではなく離散的な周波数領域のことです。例えば、離散フーリエ変換は、離散時間領域を持つ関数を離散周波数領域を持つ関数に写像します。一方、離散時間フーリエ変換は、離散時間を持つ関数（離散時間信号）を連続周波数領域を持つ関数に写像します。^{[ 2 ] [ 3 ]}

周期信号は、基本周波数とその高調波のみにエネルギーを持つため、離散周波数領域を用いて解析することができます。離散時間信号は周期的な周波数スペクトルを生み出します。これら両方の条件が満たされる場合、離散的かつ周期的な信号は、離散的かつ周期的な周波数スペクトルをもたらします。これが、離散フーリエ変換の一般的な適用例です。

「周波数領域」と「時間領域」という用語の使用は、1950年代から1960年代初頭にかけて通信工学で登場し、「周波数領域」は1953年に登場しました。 ^{[ 4 ]}詳細については、「時間領域：用語の起源」を参照してください。^{[ 5 ]}

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