フェーザー

フェーザの乗算${\displaystyle Ae^{i\theta }e^{i\omega t}}$複素定数により、$\displaystyle Be^{i\phi }}$は別のフェーザを生成します。つまり、その唯一の効果は、基となる正弦波の振幅と位相を変化させることです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Re} \left(\left(Ae^{i\theta }\cdot Be^{i\phi }\right)\cdot e^{i\omega t}\right)\\={}&\operatorname {Re} \left(\left(ABe^{i(\theta +\phi )}\right)\cdot e^{i\omega t}\right)\\={}&AB\cos(\omega t+(\theta +\phi )).\end{aligned}}}$$

電子機器では、$\displaystyle Be^{i\phi }}$これはインピーダンスを表し、時間には依存しません。特に、これは別のフェーザの略記法ではありません。フェーザ電流にインピーダンスを乗算すると、フェーザ電圧が得られます。しかし、2つのフェーザの積（またはフェーザの二乗）は2つの正弦波の積を表し、これは新しい周波数成分を生成する非線形演算です。フェーザ表記法は、正弦波によって刺激される線形システムなど、単一の周波数を持つシステムのみを表すことができます。

複数のフェーザを合計すると、別のフェーザが生成されます。これは、同じ周波数の正弦波を合計すると、その周波数の正弦波になるためです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&A_{1}\cos(\omega t+\theta _{1})+A_{2}\cos(\omega t+\theta _{2})\\[3pt]={}&\operatorname {Re} \left(A_{1}e^{i\theta _{1}}e^{i\omega t}\right)+\operatorname {Re} \left(A_{2}e^{i\theta _{2}}e^{i\omega t}\right)\\[3pt]={}&\operatorname {Re} \left(A_{1}e^{i\theta _{1}}e^{i\omega t}+A_{2}e^{i\theta _{2}}e^{i\omega \left(\left(A_{1}e^{i\theta _{1}}+A_{2}e^{i\theta _{2}}\right)e^{i\omega t}\right)\\[3pt]={}&\operatorname {Re} \left(\left(A_{3}e^{i\theta _{3}}\right)e^{i\omega t}\right)\\[3pt]={}&A_{3}\cos(\omega t+\theta _{3}),\end{aligned}}}$$ どこ： $${\displaystyle A_{3}^{2}=(A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2})^{2}+(A_{1}\sin \theta _{1}+A_{2}\sin \theta _{2})^{2},}$$

そして、もし私たちが${\textstyle \theta _{3}\in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}\right]}$、 それから${\displaystyle \theta _{3}}$は：

• ${\textstyle \operatorname {sgn}(A_{1}\sin(\theta _{1})+A_{2}\sin(\theta _{2}))\cdot {\frac {\pi }{2}},}$もし${\displaystyle A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}=0,}$と${\displaystyle \operatorname {sgn} }$符号関数;
• ${\displaystyle \arctan \left({\frac {A_{1}\sin \theta _{1}+A_{2}\sin \theta _{2}}{A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}}}\right),}$もし${\displaystyle A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}>0}$;
• ${\displaystyle \pi +\arctan \left({\frac {A_{1}\sin \theta _{1}+A_{2}\sin \theta _{2}}{A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}}}\right),}$もし${\displaystyle A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}<0}$。

または、複素平面上の余弦定理（または角度差に関する三角関数の恒等式）によって： $${\displaystyle A_{3}^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}-2A_{1}A_{2}\cos(180^{\circ }-\Delta \theta )=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_{1}A_{2}\cos(\Delta \theta ),}$$ どこ${\displaystyle \Delta \theta =\theta _{1}-\theta _{2}.}$

重要な点は、A ₃とθ _{3 が}ωやtに依存しないことであり、これがフェーザ表記を可能にする理由です。時間依存性と周波数依存性は、その間で使用される操作が別のフェーザを生成するものだけである限り、結果に抑制および再挿入できます。角度表記では、上記の操作は次のように記述されます。 $${\displaystyle A_{1}\angle \theta _{1}+A_{2}\angle \theta _{2}=A_{3}\angle \theta _{3}.}$$

加算を別の視点から見ると、座標が[ A ₁ cos( ωt + θ ₁ ), A ₁ sin( ωt + θ ₁ )]と[ A ₂ cos( ωt + θ ₂ ), A ₂ sin( ωt + θ ₂ )]の 2 つのベクトルをベクトル的に加算して、座標が[ A ₃ cos( ωt + θ ₃ ), A ₃ sin( ωt + θ ₃ )]の合成ベクトルを生成することになります(アニメーションを参照)。

物理学では、このような加算は、正弦波が互いに干渉し合い、建設的または破壊的に作用するときに発生します。静的ベクトルの概念は、次のような疑問に役立つ洞察を提供します。「完全な打ち消し合いのために、3 つの同一の正弦波の間にはどのような位相差が必要でしょうか？」この場合、同じ長さの 3 つのベクトルを取り、最後の先頭が最初の末尾と一致するように、それらを先頭から末尾まで並べることを想像してください。明らかに、これらの条件を満たす形状は正三角形なので、各フェーザと次のフェーザの間の角度は 120° ( 2 π ⁄ 3 ラジアン)、つまり波長λ ⁄ 3の 1/3 です。したがって、各波の間の位相差も 120° でなければならず、これは三相電力の場合と同じです。

つまり、これは次のことを示している。 $${\displaystyle \cos(\omega t)+\cos \left(\omega t+{\frac {2\pi }{3}}\right)+\cos \left(\omega t-{\frac {2\pi }{3}}\right)=0.}$$

3つの波の例では、最初の波と最後の波の位相差は240°でしたが、2つの波の場合は180°で破壊的干渉が起こります。多数の波の極限では、破壊的干渉を起こすにはフェーザが円を描く必要があり、最初のフェーザが最後のフェーザとほぼ平行になります。これは、多数の波源の場合、最初の波と最後の波の位相差が360度、つまり1波長分だけ異なるときに破壊的干渉が起こることを意味します。${\displaystyle \lambda }$そのため、単スリット回折では、遠端からの光が近端からの光よりも波長分だけ遠くまで進むときに、最小値が生じます。

単一のベクトルが反時計回りに回転すると、点 A にある先端は 360° または 2πラジアン の完全な回転を 1 回行い、1 サイクルを表します。動いている先端の長さを、時間的に異なる角度間隔で上記のグラフに転写すると、左端のゼロ時間から始まる正弦波が描かれます。水平軸上の各位置は、ゼロ時間 ( t = 0 ) からの経過時間を示します。ベクトルが水平の場合、ベクトルの先端は 0°、180°、および 360° の角度を表します。

同様に、ベクトルの先端が垂直の場合、90°またはπ/2で正のピーク値( _+Amax )を表し、 270 °または3π/2で負のピーク値(−Amax )を表します_{。次に、波形の時間軸は}、フェーザが移動した角度を度またはラジアンで表します。したがって、フェーザは、ある時点( t )で「固定」された回転ベクトルのスケーリングされた電圧または電流値を表すと言えます。上記の例では、これは30°の角度です。

交流波形を解析する際、特に同じ軸上で異なる2つの波形（例えば電圧と電流）を比較したい場合、特定の時点における交流量を表すフェーザの位置を知る必要がある場合があります。上記の波形では、波形は時刻t = 0から始まり、対応する位相角は度またはラジアンで表されていると仮定しています。

しかし、2番目の波形がこのゼロ点の左側または右側から始まる場合、あるいは2つの波形の関係をフェーザ表記で表したい場合は、波形の位相差Φを考慮する必要があります。前の位相差チュートリアルの以下の図を参照してください。

フェーザの時間微分または積分によって、別のフェーザが生成されます。 ^{[ b ]} 例えば： $${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Re} \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\mathord {\left(Ae^{i\theta }\cdot e^{i\omega t}\right)}}\right)\\={}&\operatorname {Re} \left(Ae^{i\theta }\cdot i\omega e^{i\omega t}\right)\\={}&\operatorname {Re} \left(Ae^{i\theta }\cdot e^{i\pi /2}\omega e^{i\omega t}\right)\\={}&\operatorname {Re} \left(\omega Ae^{i(\theta +\pi /2)}\cdot e^{i\omega t}\right)\\={}&\omega A\cdot \cos \left(\omega t+\theta +{\frac {\pi }{2}}\right).\end{aligned}}}$$

したがって、フェーザ表現では、正弦波の時間微分は定数倍になる。${\textstyle i\omega =e^{i\pi /2}\cdot \omega }$。

同様に、フェーザの積分は、${\textstyle {\frac {1}{i\omega }}={\frac {e^{-i\pi /2}}{\omega }}.}$時間依存因子、${\displaystyle e^{i\omega t},}$影響を受けない。

フェーザ演算で線形微分方程式を解くとき、私たちは単に因数分解しているだけです。${\displaystyle e^{i\omega t}}$方程式のすべての項からそれを取り出し、それを答えに再度代入します。たとえば、RC回路のコンデンサにかかる電圧に関する次の微分方程式を考えてみましょう。 $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \,v_{\text{C}}(t)}{\mathrm {d} t}}+{\frac {1}{RC}}v_{\text{C}}(t)={\frac {1}{RC}}v_{\text{S}}(t).}$$

この回路の電圧源が正弦波の場合： $${\displaystyle v_{\text{S}}(t)=V_{\text{P}}\cdot \cos(\omega t+\theta ),}$$

代替品をご用意しております${\displaystyle v_{\text{S}}(t)=\operatorname {Re} \left(V_{\text{s}}\cdot e^{i\omega t}\right).}$

$${\displaystyle v_{\text{C}}(t)=\operatorname {Re} \left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right),}$$ フェーザ${\displaystyle V_{\text{s}}=V_{\text{P}}e^{i\theta },}$フェーザー${\displaystyle V_{\text{c}}}$は、求めるべき未知量である。

フェーザ略記法では、微分方程式は次のように簡略化されます。 $${\displaystyle i\omega V_{\text{c}}+{\frac {1}{RC}}V_{\text{c}}={\frac {1}{RC}}V_{\text{s}}.}$$

フェーザコンデンサ電圧を求めると、次のようになる。 $${\displaystyle V_{\text{c}}={\frac {1}{1+i\omega RC}}\cdot V_{\text{s}}={\frac {1-i\omega RC}{1+(\omega RC)^{2}}}\cdot V_{\text{P}}e^{i\theta }.}$$

これまで見てきたように、乗算係数${\displaystyle V_{\text{s}}}$振幅と位相の差を表す${\displaystyle v_{\text{C}}(t)}$相対的に${\displaystyle V_{\text{P}}}$そして${\displaystyle \theta .}$

極座標形式で表すと、最後の式の最初の項は次のようになります。 $${\displaystyle {\frac {1-i\omega RC}{1+(\omega RC)^{2}}}={\frac {1}{\sqrt {1+(\omega RC)^{2}}}}\cdot e^{-i\phi (\omega )},}$$ どこ${\displaystyle \phi (\omega )=\arctan(\omega RC)}$。

したがって： $${\displaystyle v_{\text{C}}(t)=\operatorname {Re} \left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)={\frac {1}{\sqrt {1+(\omega RC)^{2}}}}\cdot V_{\text{P}}\cos(\omega t+\theta -\phi (\omega )).}$$

複素インピーダンスと呼ばれる量は、2つのフェーザの比であり、正弦波状に変化する関数に対応しないため、フェーザではありません。

フェーザを用いることで、直流回路を解くための手法を線形交流回路の解法にも適用できる。^{[ a ]}

抵抗器に関するオームの法則

抵抗器には時間遅延がないため、信号の位相は変化しません。したがって、V = IR は依然として有効です。

抵抗器、インダクタ、コンデンサに関するオームの法則

V = IZここで、 Zは複素インピーダンスです。

キルヒホッフの巡回法則

電圧と電流を複素フェーザとして扱う。

交流回路では、回路への平均電力を表す実効電力（ P ）と、電力の往復を示す無効電力（ Q ）があります。また、複素電力S = P + jQと皮相電力（ Sの大きさ）を定義することもできます。フェーザで表した交流回路の電力法則は、S = VI ^*となります（ここで、I ^*はIの複素共役であり、電圧フェーザVと電流フェーザIの大きさは、それぞれ電圧と電流の実効値です）。

このことから、抵抗、コンデンサ、インダクタを含む単一周波数線形交流回路の解析に、フェーザを用いた抵抗回路の解析手法を適用できます。多重周波数線形交流回路や異なる波形を持つ交流回路は、重ね合わせの定理で許されるように、すべての波形を振幅と位相を持つ正弦波成分（フーリエ級数を使用）に変換し、各周波数を個別に解析することで、電圧と電流を求めることができます。この解法は、入力が正弦波であり、すべての過渡現象が収束した後の定常状態の解にのみ適用されます。^{[ 16 ]}

この概念は、電気インピーダンスを表す際によく用いられます。この場合、位相角とは、インピーダンスに印加される電圧と、インピーダンスを流れる電流との間の位相差のことです。

三相交流電力システムの解析では、通常、フェーザのセットは、 0度、120度、240度の角度で単位振幅としてグラフィカルに表現される、 1の3つの複素立方根として定義されます。多相交流回路の量をフェーザとして扱うことで、平衡回路を簡略化し、不平衡回路を対称成分の代数的組み合わせとして扱うことができます。このアプローチにより、電圧降下、電力潮流、短絡電流の電気計算に必要な作業が大幅に簡略化されます。電力システム解析の文脈では、位相角はしばしば度で表され、振幅は正弦波のピーク振幅ではなく実効値で表されます。

シンクロフェーザ法は、デジタル計測器を用いて送電網の広範囲にわたる地点における送電系統電圧を表すフェーザを測定する手法である。フェーザ間の差は、電力の流れと系統の安定性を示す指標となる。

フェーザを用いた回転フレーム画像は、振幅変調（およびその変種^{[ 17 ]}）や周波数変調などのアナログ変調を理解するための強力なツールとなり得る。

$${\displaystyle x(t)=\operatorname {Re} \left(Ae^{i\theta }\cdot e^{i2\pi f_{0}t}\right),}$$ ここで、括弧内の項は複素平面上の回転ベクトルとみなされる。

フェーザの長さは${\displaystyle A}$反時計回りに回転する速度は${\displaystyle f_{0}}$毎秒回転数、そして時間${\displaystyle t=0}$角度を作る${\displaystyle \theta }$正の実軸に関して。

波形${\displaystyle x(t)}$これは、このベクトルを実軸に投影したものと見なすことができます。変調波形は、このフェーザ（搬送波）と2つの追加のフェーザ（変調フェーザ）で表されます。変調信号が次の形式の単一トーンである場合${\displaystyle Am\cos {2\pi f_{m}t}}$、 どこ${\displaystyle m}$は変調深度であり、${\displaystyle f_{m}}$は変調信号の周波数であり、振幅変調の場合、2つの変調フェーザは次のように与えられる。

$${\displaystyle {1 \over 2}Ame^{i\theta }\cdot e^{i2\pi (f_{0}+f_{m})t},}$$$${\displaystyle {1 \over 2}Ame^{i\theta }\cdot e^{i2\pi (f_{0}-f_{m})t}.}$$

2つの変調フェーザは、そのベクトル和が常に搬送波フェーザと同相になるように位相が調整されている。別の表現としては、搬送波フェーザの端点の周りを一定の速度で逆回転する2つのフェーザがある。${\displaystyle f_{m}}$搬送波フェーザに対して。つまり、

$${\displaystyle {1 \over 2}Ame^{i\theta }\cdot e^{i2\pi f_{m}t},}$$$${\displaystyle {1 \over 2}Ame^{i\theta }\cdot e^{-i2\pi f_{m}t}.}$$

周波数変調は、変調フェーザが搬送波と同相ではない点を除いて、同様の表現です。この場合、変調フェーザのベクトル和は搬送波の位相から90°ずれます。厳密には、周波数変調表現では、追加の小さな変調フェーザが必要です。${\displaystyle 2f_{m},3f_{m}}$などなど。しかし、実際的な目的においては、これらの影響は非常に小さいため、ほとんど無視される。