フィールド拡張

数学、特に代数学において、体の拡大とは、 Kの演算がLの演算をKに制限したものであるような一対の体 のことである。この場合、L はKの拡大体であり、K はLの部分体である。^{[1] [2] [3]}たとえば、通常の加算と乗算の概念では、複素数は実数の拡大体であり、実数は複素数の部分体である。 ${\displaystyle K\subseteq L}$

体拡大は代数的整数論、およびガロア理論による多項式根の研究において基本的なものであり、代数幾何学で広く使用されています。

体のサブフィールド は、 から継承されたフィールド演算に関して体である部分集合です。同様に、サブフィールドは を含み、加算、減算、乗算、およびの非ゼロ要素の逆演算に関して閉じている部分集合です。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K\subseteq L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle K}$

1 – 1 = 0なので、後者の定義は、 と が同じゼロ元を持つことを意味します。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle L}$

たとえば、有理数体は実数体の部分体であり、実数体自体は複素数体の部分体です。より一般的には、有理数体は特性の任意の体の部分体です (または同型です) 。 ${\displaystyle 0}$

サブフィールドの特性は、より大きなフィールドの特性と同じです。

が のサブフィールドである場合、 は の拡大フィールド、または単に の拡大フィールドであり、このフィールドのペアはフィールド拡大です。このようなフィールド拡大は（「上」と読みます）で示されます。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle K}$${\displaystyle L/K}$${\displaystyle L}$${\displaystyle K}$

が の拡大であり、 が の拡大である場合、 は の中間体(または中間拡大、または部分拡大) であるといわれます。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle F}$${\displaystyle K}$${\displaystyle F}$${\displaystyle L/K}$

体拡大 が与えられた場合、より大きな体は-ベクトル空間です。このベクトル空間の次元は拡大の次数と呼ばれ、 で表されます。 ${\displaystyle L/K}$${\displaystyle L}$${\displaystyle K}$${\displaystyle [L:K]}$

拡張の次数は、2つのフィールドが等しい場合にのみ1になります。この場合、拡張は自明な拡大。2 次と 3 次の拡大はそれぞれ2 次拡大と3 次拡大有限拡大は有限次数を持つ拡大です。

2つの拡大とが与えられたとき、拡大が有限であるためには、と が両方とも有限である必要があります。この場合、 ${\displaystyle L/K}$${\displaystyle M/L}$${\displaystyle M/K}$${\displaystyle L/K}$${\displaystyle M/L}$

${\displaystyle [M:K]=[M:L]\cdot [L:K].}$

体の拡大との部分集合が与えられたとき、と を含むの最小の部分体が存在する。これはと を含むのすべての部分体の共通部分であり、 で表される（「${\displaystyle L/K}$${\displaystyle S}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle K}$${\displaystyle S}$${\displaystyle L}$${\displaystyle K}$${\displaystyle S}$${\displaystyle K(S)}$${\displaystyle K}$ は上のによって生成される体であり、 は上のの生成集合であると言える。 が有限のときの代わりにと書き、 はである${\displaystyle S}$${\displaystyle K(S)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle K}$${\displaystyle S}$${\displaystyle K(S)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle S=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}}$${\displaystyle K(x_{1},\ldots,x_{n})}$${\displaystyle K(\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}),}$${\displaystyle K(S)}$が上有限生成である。 が単一の元 からなる、その拡大は単純拡大^{[4] [5]}と呼ばれ、 は拡大の原始元^[6]と呼ばれる${\displaystyle K}$${\displaystyle S}$${\displaystyle s}$${\displaystyle K(s)/K}$${\displaystyle s}$

形式の拡張フィールドは、${\displaystyle K(S)}$toの付加語。^[7][8]${\displaystyle S}$${\displaystyle K}$

特性0では、すべての有限拡大は単純拡大です。これは原始元定理であり、特性が 0 以外の体には当てはまりません。

単純拡大が有限でない場合、体は上の有理分数体に同型です。 ${\displaystyle K(s)/K}$${\displaystyle K(s)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle K}$

L / Kという表記は純粋に形式的なものであり、商環や商群、あるいはその他の種類の除算の形成を意味するものではありません。代わりに、スラッシュは「～を超える」という単語を表します。一部の文献では、 L : Kという表記が使用されています。

小さな体が実際には大きな体に含まれず、自然に埋め込まれている状況では、体拡大について話すことが望ましいことがよくあります。この目的のために、体拡大を2 つの体の間の入射的な 環準同型として抽象的に定義します。 体間の非ゼロの環準同型はすべて入射的です。なぜなら、体は非自明な適切なイデアルを持たないためであり、そのため体拡大はまさに体のカテゴリ内の射です。

今後は、入射準同型性を抑制し、実際の部分体を扱っていると仮定します。

複素数体 は実数体 の拡大体であり、は有理数体 の拡大体です。したがって、も体の拡大体であることは明らかです。 は基底であるため、 となり、拡大は有限です。 これは、 (連続体の濃度) であるため、単純な拡大であり、この拡大は無限です。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {Q} }$${\displaystyle [\mathbb {C} :\mathbb {R} ]=2}$${\displaystyle \{1,i\}}$${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} (i).}$ ${\displaystyle [\mathbb {R} :\mathbb {Q} ]={\mathfrak {c}}}$

フィールド

${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})=\left\{a+b{\sqrt {2}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \right\},}$

は明らかに単純な拡大体です。は基底として使える ので次数は 2 です。${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$${\displaystyle \left\{1,{\sqrt {2}}\right\}}$

フィールド

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {Q} \left({\sqrt {2}},{\sqrt {3}}\right)&=\mathbb {Q} \left({\sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {3}}\right)\\&=\left\{a+b{\sqrt {3}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \left({\sqrt {2}}\right)\right\}\\&=\left\{a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}\mid a,b,c,d\in \mathbb {Q} \right\},\end{aligned}}}$

は、それぞれ次数2と4の拡大体である。これはまた、単純な拡大体でもあり、 ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})&=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})\\&=\left\{a+b({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})+c({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})^{2}+d({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})^{3}\mid a,b,c,d\in \mathbb {Q} \right\}.\end{aligned}}}$

の有限拡大は代数体とも呼ばれ、数論で重要です。有理数体の別の拡大体は、有限拡大ではありませんが、素数pに対するp 進数体であり、これも数論で重要です。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

与えられた多項式f ( X ) の根を「作成」するために、与えられた体Kの拡大体を多項式環K [ X ]の商環として構築することが一般的です。たとえば、Kにx ² = −1となる元x が含まれていないとします。すると、多項式はK [ X ]で既約となり、結果としてこの多項式によって生成されるイデアルは最大となり、平方が −1 となる元 (つまり、Xの剰余類)を含むKの拡大体となります。 ${\displaystyle X^{2}+1}$${\displaystyle L=K[X]/(X^{2}+1)}$

上記の構成を繰り返すことで、K [ X ]から任意の多項式の分解体を構築できます。これは、与えられた多項式が線形因子の積に分解される Kの拡大体Lです。

p が任意の素数でn が正の整数である場合、 p ⁿ元を持つ唯一の（同型を除いて）有限体が存在する。これは、 p元を持つ素体の拡大体である。 ${\displaystyle GF(p^{n})=\mathbb {F} _{p^{n}}}$ ${\displaystyle \operatorname {GF} (p)=\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$

体Kが与えられている場合、係数がKである変数Xのすべての有理関数の体K ( X ) を考えることができます。 K ( X )の元はK上の2 つの多項式の分数であり、実際K ( X ) は多項式環K [ X ] の分数の体です。この有理関数の体はKの拡大体です。この拡大は無限です。

リーマン面 Mが与えられたとき、 M上で定義されるすべての有理型関数の集合は体であり、 によって表されます。すべての複素数をM上で定義される対応する定数関数と同一視すれば、それは の超越拡大体です。より一般的には、ある体K上の代数多様体Vが与えられたとき、V上で定義される有理関数からなる関数体K ( V ) はKの拡大体です。 ${\displaystyle \mathbb {C} (M).}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

体拡大の元x がK上で代数的であるとは、それがKに係数を持つ非零多項式の根である場合です。たとえば、は有理数上で代数的です。これは、 の根であるためです。Lの元xがK上で代数的である場合、x を根として持つ最低次数の単項多項式はxの極小多項式と呼ばれます。この極小多項式はK上で既約です。 ${\displaystyle L/K}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle x^{2}-2.}$

Lの元s がK上の代数的要素となるのは、単純拡大K ( s ) / Kが有限拡大となる場合のみです。この場合、拡大の次数は最小多項式の次数に等しく、 Kベクトル空間K ( s )の基底は、d が最小多項式の次数 である場合に構成されます。 ${\displaystyle 1,s,s^{2},\ldots ,s^{d-1},}$

Lの元のうちK上代数的な要素の集合は部分拡大を形成し、これはLにおけるKの代数閉包と呼ばれる。これは前述の特徴付けから生じる。つまり、 sとt が代数的であれば、拡大K ( s ) / KとK ( s )( t ) / K ( s )は有限である。したがって、K ( s , t ) / Kも有限であり、部分拡大K ( s ± t ) / K、K ( st ) / K、K (1/ s ) / K ( s ≠ 0の場合) も有限である。したがって、s ± t、st、 1/ sはすべて代数的である。

代数的拡大 とは、 Lのすべての元がK上で代数的であるような拡大のことである。同様に、代数的拡大とは代数的元によって生成される拡大のことである。例えば、は の代数的拡大である。なぜなら、と は上で代数的であるからである。${\displaystyle L/K}$${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {3}}}$${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

単純な拡張は、それが有限である場合に限り代数的です。これは、拡張が代数的であるのは、それがその有限部分拡張の和集合である場合に限り、またすべての有限拡張が代数的であることを意味します。

任意の体Kには代数閉包があり、これは同型を除いてK上で代数的であるKの最大の拡大体であり、またKの係数を持つすべての多項式がその中に根を持つような最小の拡大体でもあります。たとえば、はの代数閉包ですが、 の代数閉包ではありません。 は 上で代数的ではないからです(たとえば、π は上で代数的ではありません)。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

体拡大が与えられたとき、 Lの部分集合S は、 Sの元の間にKを係数とする非自明な多項式関係が存在しない場合、K上で代数的に独立していると呼ばれる。代数的に独立な集合の最大濃度は、L / Kの超越次数と呼ばれる。 K上で代数的に独立で、L / K ( S ) が代数的である集合S を見つけることは常に可能である。そのような集合S は、 L / Kの超越基底と呼ばれる。すべての超越基底は同じ濃度を持ち、拡大の超越次数に等しい。拡大は次のように言われる。${\displaystyle L/K}$${\displaystyle L/K}$純粋に超越的であるためには、L=K(S)となるようなのS がKの要素を除くLKに対して超越的であるが、この性質を持ちながら純粋に超越的ではない拡張も存在する。このような拡張のクラスは、LとK の両方L/K。 ${\displaystyle L/K}$

L / Kが純粋に超越的で、S が拡大の超越基底である場合、必ずしもL = K ( S ) になるわけではありません。逆に、超越基底がわかっていても、拡大が純粋に分離可能かどうかを判断するのは難しい場合があり、そうである場合、 L = K ( S )となる超越基底S を見つけるのは難しい場合があります。

たとえば、 がに対して超越的で、が方程式 の根である拡張を考えます。このような拡張は、およびが の同値類である においてとして定義できます。明らかに、単集合 はに対して超越的で、拡張 は代数的です。したがって、は拡張 を生成しない超越基底です。同様に、は拡張 全体を生成しない超越基底です。ただし、1 つの集合およびがある場合、拡張 全体が生成されるため、拡張 は純粋に超越的です。 ${\displaystyle \mathbb {Q} (x,y)/\mathbb {Q} ,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y^{2}-x^{3}=0.}$${\displaystyle \mathbb {Q} (X)[Y]/\langle Y^{2}-X^{3}\rangle ,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} (x,y)/\mathbb {Q} (x)}$${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle \mathbb {Q} (x,y)/\mathbb {Q} (x)}$${\displaystyle \{y\}}$${\displaystyle t=y/x,}$${\displaystyle x=t^{2}}$${\displaystyle y=t^{3},}$${\displaystyle t}$

代数的に閉じた体の純粋に超越的な拡大は、有理多様体の関数体として発生します。有理多様体の有理パラメータ化を見つける問題は、全体の拡大を生成する超越基底を見つける問題と同等です。

代数拡大は、Lに根を持つK [ X ]のすべての既約多項式がL上の線型因子に完全に因数分解される場合、正規と呼ばれます。すべての代数拡大F / Kは、が正規であり、この性質を持つ最小値であるFの拡大体である正規閉包Lを許容します。 ${\displaystyle L/K}$${\displaystyle L/K}$

代数拡大は、 LのK上のすべての元の最小多項式が分離可能、つまりK上の代数閉包に重根を持たない場合、分離可能と呼ばれます。ガロア拡大は、正規かつ分離可能な体拡大です。 ${\displaystyle L/K}$

原始元定理の帰結は、すべての有限の分離可能な拡張には原始元がある（つまり単純である）ということです。

任意の体拡大が与えられたとき、その自己同型群を考えることができます。この自己同型群は、 Kのすべてのxに対してα ( x ) = xであるすべての体自己同型α : L → Lで構成されます。拡大がガロアの場合、この自己同型群は拡大のガロア群と呼ばれます。ガロア群がアーベルである拡大は、アーベル拡大と呼ばれます。 ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle {\text{Aut}}(L/K)}$

与えられた体拡大 に対して、中間体F ( Kを含むLの部分体) に関心を持つことがよくあります。ガロア拡大とガロア群の重要性は、中間体の完全な記述を可能にすることです。中間体とガロア群の部分群の間には一対一の関係があり、これはガロア理論の基本定理によって記述されます。 ${\displaystyle L/K}$

体拡大は、環とその部分環の 1 つからなる環拡大に一般化できます。より近い非可換類似物は中心単純代数(CSA) です。これは体上の環拡大で、単純代数(体の場合と同様に非自明な 2 辺イデアルはありません) であり、環の中心はまさに体です。たとえば、実数の唯一の有限体拡大は複素数ですが、四元数は実数上の中心単純代数であり、実数上のすべての CSA は実数または四元数とBrauer 同値です。CSA はさらに東谷代数に一般化でき、基本体は可換局所環に置き換えられます。

体拡大が与えられた場合、関連する代数的対象に対して「スカラーを拡張」することができます。たとえば、実ベクトル空間が与えられた場合、複素化によって複素ベクトル空間を作成できます。ベクトル空間に加えて、多項式や群代数、および関連する群表現など、体上で定義された結合代数に対してスカラーの拡張を実行できます。多項式のスカラーの拡張は、係数をより大きな体の要素と見なすだけで暗黙的に使用されることがよくありますが、より形式的に考えることもできます。スカラーの拡張には、スカラーの拡張: 用途で説明されているように、多数の用途があります。

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• 場の理論
• 場の理論の用語集
• フィールドの塔
• プライマリ拡張機能
• 定期延長

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• Herstein, IN (1964)、Topics In Algebra、ウォルサム：Blaisdell Publishing Company、ISBN 978-1114541016
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• 「体の拡張」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]