ラジカルによる解法

根号による解または代数的解とは、代数的な多項式方程式の解の表現であり、加算、減算、乗算、除算、整数乗、n乗根（平方根、立方根など）の抽出のみに依存します。

よく知られた例としては、二次方程式の解の公式がある。

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}},}$

これは二次方程式の解を表す。

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0.}$

3次方程式^{[ 1 ]}および4次方程式^{[ 2 ]}には、2次方程式の解の公式よりも複雑な代数解が存在する。アーベル・ルフィニの定理^{[ 3 ]} : ²¹¹、より一般的にはガロア理論によれば、いくつかの5次方程式、例えば^、

${\displaystyle x^{5}-x+1=0,}$

代数解は存在しません。これは、より高次の次数についても同様です。ただし、任意の次数において、代数解を持つ多項式方程式がいくつか存在します。例えば、次の方程式です。${\displaystyle x^{10}=2}$次のように解決できます${\displaystyle x=\pm {\sqrt[{10}]{2}}.}$他の8つの解は非実数複素数であり、代数的で、次の形式をとる。${\displaystyle x=\pm r{\sqrt[{10}]{2}},}$ここで、rは 1 の 5乗根であり、2 つの入れ子になった平方根で表すことができます。5次関数のその他の解ける 5 次関数について は、5 次関数のその他の例も参照してください。

エヴァリスト・ガロアは、どの方程式が根号で解けるかを判定できる基準を導入した。彼の結果の正確な定式化については、「根号拡張」を参照のこと。

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