代数的に閉じた体

体Fが代数的に閉じているのは、多項式環F [ x ]における既約多項式が次数が1 のものだけである場合に限る。

「1次の多項式は既約である」という主張は、任意の体に対して自明に真である。F が代数的に閉じており、p(x) が F[x] の既約多項式である場合、 p ( x )は根aを持ち、したがってp ( x )はx − aの倍数である。p ( x ) は既約であるため、これは、あるk ∈ F \ {0}に対してp ( x ) = k ( x − a )を意味する。一方、F が代数的に閉じていない場合、 F [ x ]にはFに根を持たない定数でない多項式p ( x )が存在する。q ( x ) をp ( x )の既約因子とする。p(x) は F に根を持たないため、q ( x )もFに根を持たない。したがって、すべての 1 次多項式はFに 1 つの根を持つため、 q ( x ) の次数は 1 より大きい。

体Fが代数的に閉じているのは、係数がFに含まれる次数n ≥ 1のすべての多項式p ( x )が線形因子に分解する場合に限る。言い換えれば、体Fの要素k、x ₁、x ₂、...、x _nが存在し、 p ( x ) = k ( x − x ₁ )( x − x ₂ ) ⋯ ( x − x _n )となる。                

F がこの性質を持つ場合、明らかにF [ x ]の定数でない多項式はすべてFに根を持ちます。言い換えれば、Fは代数的に閉じています。一方、Fが代数的に閉じている場合にここで述べた性質がFに対して成り立つことは、前の性質と、任意の体Kに対してK [ x ]の任意の多項式が既約多項式の積として表せるという事実から導かれます。

F上の素数次多項式がFに根を持つならば、定数でない多項式はすべてFに根を持つ。^{[ 1 ]}したがって、体が代数的に閉じているのは、 F上の素数次多項式がFに根を持つ場合かつその場合に限る。

体Fが代数的に閉じているのは、それが真の代数的拡大を持たない場合に限る。

Fが適切な代数拡大を持たない場合、 p ( x ) をF [ x ]の既約多項式とする。このとき、 p ( x )によって生成されるイデアルを法とするF [ x ]の商は、次数がp ( x )の次数に等しいFの代数拡大となる。これは適切な拡大ではないため、その次数は 1 であり、したがってp ( x )の次数は1 である。 

一方、F が適切な代数拡大Kを持つ場合、K \ Fの要素の最小多項式は既約であり、その次数は 1 より大きい。   

体Fが代数的に閉じているのは、それが真の有限拡大を持たない場合に限る。なぜなら、前述の証明において「代数的拡大」という用語を「有限拡大」という用語に置き換えても、証明は依然として有効だからである。（有限拡大は必然的に代数的である。）

体Fが代数的に閉じているのは、任意の自然数nに対して、F ⁿからF n への任意の線形写像が何らかの固有ベクトルを持つ場合かつその場合に限る。

F ⁿの自己準同型が固有ベクトルを持つのは、その特性多項式が何らかの根を持つ場合のみです。したがって、Fが代数的に閉じている場合、F ⁿのすべての自己準同型は何らかの固有ベクトルを持ちます。一方、F ⁿのすべての自己準同型が固有ベクトルを持つ場合、p ( x ) をF [ x ]の要素とします。その最高次係数で割ると、別の多項式q ( x ) が得られます。q ( x ) は、 p ( x ) が根を持つ場合に限り根を持ちます。しかし、q ( x ) = x ⁿ + a _{n − 1} x ^{n − 1} + ⋯ + a ₀の場合、q ( x ) はn×n のコンパニオン行列の特性多項式になります。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&-a_{0}\\1&0&\cdots &0&-a_{1}\\0&1&\cdots &0&-a_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&-a_{n-1}\end{pmatrix}}.}$

体Fが代数的に閉じているのは、係数がFに含まれる1 つの変数xのすべての有理関数が、 a /( x − b ) ⁿの形の有理関数の和として表せる場合、かつその場合に限る。ここでnは自然数であり、aとbはFの要素である。  

Fが代数的に閉じている場合、 F [ x ]の既約多項式はすべて次数が 1 であるため、部分分数分解の定理により上記の性質が成り立ちます。

一方、上記の性質が体Fに対して成り立つと仮定します。p ( x )をF [ x ]の既約元とします。すると、有理関数 1/ p は、多項式関数qとa /( x – b ) ⁿの形の有理関数の和として表すことができます。したがって、有理式は  

${\displaystyle {\frac {1}{p(x)}}-q(x)={\frac {1-p(x)q(x)}{p(x)}}}$

p (x)は、分母が1次多項式の積である2つの多項式の商として表すことができます。p ( x )は既約であるため、この積を割り切ることができ、したがって、p(x)も1次多項式でなければなりません。

任意の体Fにおいて、2 つの多項式p ( x ) とq ( x ) ∈ F [ x ]が互いに素であるならば、それらは共通根を持たない。なぜなら、もしa ∈ Fが共通根であれば、p ( x ) とq ( x ) はどちらもx − aの倍数となり、互いに素ではなくなるからである。逆の含意が成り立つ体（すなわち、2 つの多項式が共通根を持たないならば互いに素である体）は、まさに代数的に閉じた体である。  

体Fが代数的に閉じている場合、互いに素でない 2 つの多項式をp ( x ) とq ( x ) とし、それらの最大公約数をr ( x ) とします。すると、r ( x ) は定数ではないので、根aが存在し、それがp ( x ) とq ( x )の共通根となります。

Fが代数的に閉じていない場合、 p ( x ) を次数が 1 以上で根を持たない多項式とする。このとき、p ( x ) とp ( x ) は互いに素ではないが、共通の根を持たない (どちらも根を持たないため)。