線形関数（微積分）

微積分学および関連する数学分野では、実数から実数への線形関数は、グラフ（デカルト座標系）が平面上の垂直でない直線である関数です。 ^{[ 1 ]} 線形関数の特徴的な性質は、入力変数が変化すると、出力の変化が入力の変化に比例することです。

線形関数は線形方程式と関連しています。

線形関数とは、変数x の次数が最大で 1 である多項式関数(線形多項式)のことである。 ^{[ 2 ]}

${\displaystyle f(x)=ax+b}$。

このような関数は、そのグラフ、つまりすべての点の集合が線形であるため、線形関数と呼ばれます。${\displaystyle (x,f(x))}$デカルト座標系では、 は直線です。係数a は、関数 および直線 の傾きと呼ばれます(下記参照)。

傾斜が${\displaystyle a=0}$これは定数関数です${\displaystyle f(x)=b}$水平線を定義するが、一部の著者はこれを線形関数のクラスから除外している。^{[ 3 ]}この定義では、線形多項式の次数はちょうど 1 であり、そのグラフは垂直でも水平でもない線となる。しかし、この記事では、${\displaystyle a\neq 0}$は必須ではないため、定数関数は線形関数とみなされます。

もし${\displaystyle b=0}$この場合、線形関数は同次関数であると言われます。このような関数は、座標系の原点、つまり点を通る直線を定義します。${\displaystyle (x,y)=(0,0)}$高度な数学のテキストでは、線形関数という用語はしばしば同次線形関数を具体的に指し、アフィン関数という用語は、を含む一般的な場合に使用される。${\displaystyle b\neq 0}$。

線形関数の自然な定義域${\displaystyle f(x)}$xの許容入力値の集合は、実数全体の集合です。${\displaystyle x\in \mathbb {R} .}$また、x を任意の体とし、その体における係数a、bを取ることで、そのような関数を考えることもできます。

グラフ${\displaystyle y=f(x)=ax+b}$y軸とちょうど1つの交点（y切片）を持つ非垂直線${\displaystyle (x,y)=(0,b).}$y切片の値${\displaystyle y=f(0)=b}$は初期値とも呼ばれます${\displaystyle f(x).}$もし${\displaystyle a\neq 0,}$グラフは水平線ではなく、 x軸とちょうど1つの交点（ x切片）を持つ。${\displaystyle (x,y)=(-{\tfrac {b}{a}},0).}$x切片の値${\displaystyle x=-{\tfrac {b}{a}},}$方程式の解${\displaystyle f(x)=0,}$は、​​​${\displaystyle f(x).}$

非垂直線の傾きは、その線がどれだけ急に傾いているか（縦軸の傾き÷横軸の傾き）を示す数値です。線が線形関数のグラフである場合${\displaystyle f(x)=ax+b}$この傾きは定数aによって与えられます。

傾きは一定の変化率を測定する${\displaystyle f(x)}$xの単位変化あたり：入力xが1単位増加するたびに、出力はa単位で変化します。${\displaystyle f(x{+}1)=f(x)+a}$より一般的には${\displaystyle f(x{+}\Delta x)=f(x)+a\Delta x}$任意の数に対して${\displaystyle \Delta x}$傾きが正の場合、${\displaystyle a>0}$すると関数${\displaystyle f(x)}$増加しています。${\displaystyle a<0}$、 それから${\displaystyle f(x)}$減少している

微積分学では、一般関数の導関数はその変化率を表します。線形関数${\displaystyle f(x)=ax+b}$変化率は一定で、傾きaに等しいので、その導関数は定数関数である。${\displaystyle f\,'(x)=a}$。

微分積分の基本的な考え方は、任意の滑らかな関数は${\displaystyle f(x)}$（必ずしも線形ではない）特定の点の近傍では近似値が得られる${\displaystyle x=c}$一意の線形関数によって導関数が${\displaystyle f\,'(c)}$は、この線形関数の傾きであり、近似値は次のとおりです。${\displaystyle f(x)\approx f\,'(c)(x{-}c)+f(c)}$のために${\displaystyle x\approx c}$線形近似のグラフは、グラフの接線である。${\displaystyle y=f(x)}$その時点で${\displaystyle (c,f(c))}$導関数の傾き${\displaystyle f\,'(c)}$一般的に、点cによって変化します。線形関数は、導関数が一定である唯一の実関数として特徴付けられます。${\displaystyle f\,'(x)=a}$すべてのxに対して、${\displaystyle f(x)=ax+b}$のために${\displaystyle b=f(0)}$。

与えられた線形関数${\displaystyle f(x)}$は、その様々な性質を示すいくつかの標準的な公式で表すことができます。最も単純なのは、傾き切片形式です。

${\displaystyle f(x)=ax+b}$、

そこから傾きaと初期値をすぐに確認できる${\displaystyle f(0)=b}$これはグラフのy切片です${\displaystyle y=f(x)}$。

傾きaと既知の値が 1 つ与えられた場合${\displaystyle f(x_{0})=y_{0}}$点傾斜形式で記述します。

${\displaystyle f(x)=a(x{-}x_{0})+y_{0}}$。

図で表すと、次の線になります。${\displaystyle y=f(x)}$点を通る傾斜a${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$。

2点形式は、既知の2つの値から始まります。${\displaystyle f(x_{0})=y_{0}}$そして${\displaystyle f(x_{1})=y_{1}}$傾きを計算する${\displaystyle a={\tfrac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}}$そしてこれを点傾斜形式に挿入します。

${\displaystyle f(x)={\tfrac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(x{-}x_{0}\!)+y_{0}}$。

そのグラフ${\displaystyle y=f(x)}$点を通る唯一の線は${\displaystyle (x_{0},y_{0}\!),(x_{1},y_{1}\!)}$方程式${\displaystyle y=f(x)}$一定の傾きを強調するために、次のように表記することもできます。

${\displaystyle {\frac {y-y_{0}}{x-x_{0}}}={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}}$。

線形関数は、変数を含む実際的な問題からよく生じる。${\displaystyle x,y}$線形関係、つまり線形方程式に従う${\displaystyle Ax+By=C}$。 もし ${\displaystyle B\neq 0}$この方程式をyについて解くと、次の式が得られます。

${\displaystyle y=-{\tfrac {A}{B}}x+{\tfrac {C}{B}}=ax+b,}$

ここで、${\displaystyle a=-{\tfrac {A}{B}}}$そして${\displaystyle b={\tfrac {C}{B}}}$つまり、yは独立変数（入力） xから線形関数を介して得られる従属変数（出力）と考えることができる。${\displaystyle y=f(x)=ax+b}$xy座標平面では、可能な値は${\displaystyle (x,y)}$関数のグラフは直線を形成します${\displaystyle f(x)}$。 もし${\displaystyle B=0}$元の式では、結果として得られる直線は${\displaystyle x={\tfrac {C}{A}}}$縦書きであり、次のように書くことはできません${\displaystyle y=f(x)}$。

グラフの特徴${\displaystyle y=f(x)=ax+b}$これは変数xとyを用いて解釈できます。y切片は初期値です。${\displaystyle y=f(0)=b}$で${\displaystyle x=0}$傾きa は、入力xの単位変化あたりの出力yの変化率を表します。グラフでは、右に 1 単位移動する ( x を1 増やす) と、y の値はaだけ上昇します。つまり、${\displaystyle f(x{+}1)=f(x)+a}$負の傾きa は、 xが増加するごとにyが減少することを示します。

例えば、線形関数${\displaystyle y=-2x+4}$傾斜がある${\displaystyle a=-2}$y切片​${\displaystyle (0,b)=(0,4)}$、およびx切片点${\displaystyle (2,0)}$。

変数の係数がゼロでない場合（a ≠ 0）、線形関数は1次多項式（線形多項式とも呼ばれる）で表され、そうでない場合は定数関数（これも多項式関数だが、次数は0）となる。

直線は、異なる座標系で描かれると、別の関数を表す場合がある。

例えば、その値が対数スケールで表されている場合、指数関数を表すことがあります。つまり、log ( g ( x ))がxの線形関数である場合、関数gは指数関数です。線形関数では、入力を1単位増やすと、出力は一定量だけ増加します。この一定量は、関数のグラフの傾きです。指数関数では、入力を1単位増やすと、出力は一定の倍数だけ増加します。この倍数は、指数関数の底として知られています。

関数の引数と値の両方が 対数スケールである場合（つまり、 log ( y )がlog ( x )の線形関数である場合）、直線はべき乗則を表します。

${\displaystyle \log _{r}y=a\log _{r}x+b\quad \Rightarrow \quad y=r^{b}\cdot x^{a}}$

一方、極座標で表した線形関数のグラフは次のようになります。

${\displaystyle r=f(\theta )=a\theta +b}$

アルキメデス螺旋である場合${\displaystyle a\neq 0}$それ以外の場合は円になります。

• アフィン写像、一般化
• 等差数列、整数引数の線形関数

• スチュワート、ジェームズ（2012）、『微積分：初期超越関数（第7 版）』、ブルックス/コール、ISBN 978-0-538-49790-9
• スウォコウスキー、アール・W. (1983)、解析幾何学を伴う微積分（別 版）、ボストン：プリンドル、ウェーバー＆シュミット、ISBN 0871503417

• https://web.archive.org/web/20130524101825/http://www.math.okstate.edu/~noell/ebsm/linear.html
• https://web.archive.org/web/20180722042342/https://corestandards.org/assets/CCSSI_Math%20Standards.pdf