曲面の微分幾何学

数学において、曲面の微分幾何学は、さまざまな付加構造（最もよく使われるのはリーマン計量）を持つ滑らかな曲面の微分幾何学^[a]を扱います。^[b]

曲面は、ユークリッド空間への埋め込みに関連する外的観点から、また、曲面上の曲線に沿って測定された曲面内の距離によってのみ決定される特性を反映する内的観点から、さまざまな観点から広範に研究されてきました。調査された基本的な概念の1つはガウス曲率で、カール・フリードリヒ・ガウス^[1]によって初めて詳細に研究され、曲率はユークリッド空間への等長的な埋め込みとは無関係に、曲率が曲面の固有の特性であることを示しました。

曲面は、自然に一組の変数の関数のグラフとして現れ、時にはパラメトリックな形で現れたり、空間曲線に関連付けられた軌跡として現れたりする。それらの研究において重要な役割を果たしてきたのが、 （エルランゲン計画の精神に基づく）リー群、すなわちユークリッド平面、球面、双曲面の対称群である。これらのリー群は、一定のガウス曲率を持つ曲面を記述するために使用できるほか、接続を介した内在的微分幾何学への現代的なアプローチに不可欠な要素も提供する。一方、ユークリッド空間への曲面の埋め込みに依存する外在的特性も広く研究されてきた。これは変分法における非線形オイラー・ラグランジュ方程式によってよく説明されます。オイラーは、埋め込みとは独立に定義された測地線を理解するために 1 変数方程式を開発しましたが、ラグランジュによる 2 変数方程式の主な応用の 1 つは、埋め込みによってのみ定義できる概念である 極小曲面への応用でした。

回転二次曲面の体積はアルキメデスによって計算された。^[2] 17世紀の微積分 の発達により、体積を計算するより体系的な方法が提供された。 ^{[3]一般曲面の曲率は、}オイラーによって初めて研究された。1760年^[4]に彼は曲面の平面部分の曲率の公式を証明し、1771年^[5]にはパラメトリック形式で表現された曲面について考察した。モンジュは、1795年に発表された古典的な回想録「幾何学への分析の応用」で理論の基礎を築きました。曲面理論への決定的な貢献は、1825年と1827年に書かれたガウスによる2つの注目すべき論文でなされました。 ^[1]これは、伝統からの新たな離脱を示しました。なぜなら、ガウスは初めて、曲面の固有の幾何学、つまり、周囲のユークリッド空間における曲面の特定の位置とは関係なく、曲面上の点間の測地線距離によってのみ決定される特性を考慮したからです。最高の結果であるガウスのエグレギウム定理は、ガウス曲率が固有の不変量、つまり局所等長変換に対して不変であることを確立しました。この観点はリーマンによって高次元空間に拡張され、今日リーマン幾何学として知られるものにつながりました。 19 世紀は、位相幾何学と微分幾何学の両方の観点から見た曲面理論の黄金時代であり、ほとんどの主要な幾何学者がその研究に専念しました。^[要出典]ダルブーは、4 巻からなる論文「曲面理論」 (1887-1896) に多くの結果をまとめました。

植物の葉、ガラスの表面、顔の形が特定の方法で湾曲していること、そしてこれらの形状はすべて、特徴的なマークを無視した後でも、互いに区別できる特定の幾何学的特徴を持っていることは、直感的に非常によく知られています。表面の微分幾何学は、このような現象を数学的に理解することに関係しています。この分野の研究は、1700 年代に現代的な形で開始され、リーマン幾何学や一般相対性理論などの高次元で抽象的な幾何学の発展につながりました。^{[独自の研究? ]}

基本的な数学的対象は、正則面です。正確な定義は慣例により異なりますが、これらは 3 次元ユークリッド空間( ℝ ³ ) のサブセットの一般的なクラスを形成し、よく知られている「面」の概念の一部を捉えています。このような面にある曲線のクラスと、面が曲線をℝ ³で曲げる度合いを分析することで、面の各点に主曲率と呼ばれる 2 つの数値を関連付けることができます。それらの平均は面の平均曲率と呼ばれ、それらの積はガウス曲率と呼ばれます。

次のような、規則的な表面の典型的な例が多数あります。

• 平面、円筒、球などの身近な例
• 極小曲面は、平均曲率がどの点でもゼロであるという性質によって定義されます。最もよく知られている例はカテノイドとヘリコイドですが、他にも多くのものが発見されています。極小曲面は、表面積に関する性質によって定義されることもあり、その結果、ワイヤーフレーム全体に広げられた石鹸の膜の形状の数学的モデルが提供されます。
• 線織面: すべての点を通る少なくとも 1 本の直線がある面。例としては、1 枚のシートからなる円柱面や双曲面などがあります。

カール・フリードリヒ・ガウスの驚くべき結果は、エグレギウム定理として知られ、表面のガウス曲率は、定義によれば3次元空間で表面上の曲線がどのように方向を変えるかに関係し、実際には表面にある曲線の長さと、表面上の2本の曲線が交差するときにできる角度によって測定できることを示しました。用語的には、ガウス曲率は表面の最初の基本形式（計量テンソルとも呼ばれる）から計算できるということです。対照的に、第2の基本形式は、曲線が表面から押し出されたときに表面上の曲線の長さと角度がどのように歪むかをエンコードするオブジェクトです。

長さと角度の異なる側面を測定しているにもかかわらず、第 1 および第 2 の基本形式は互いに独立しておらず、ガウス-コダッツィ方程式と呼ばれる特定の制約を満たしています。表面の微分幾何学の基本定理と呼ばれることが多い主要な定理は、2 つのオブジェクトがガウス-コダッツィ制約を満たす場合は常に、正則表面の第 1 および第 2 の基本形式として発生すると主張しています。

最初の基本形式を使用すると、規則的な表面上に新しいオブジェクトを定義することができます。測地線は、最初の基本形式で指定される特定の 2 次常微分方程式を満たす表面上の曲線です。測地線は、曲線の長さの研究に非常に直接的に関連しています。十分に短い長さの測地線は、常に、 2 つの端点を結ぶ表面上で最短の長さの曲線になります。したがって、測地線は、規則的な表面上の 2 つの指定された点間の最短経路を決定する最適化問題の基本です。

任意の曲線に沿った平行移動を定義することもできます。これは、曲線の 1 点における表面の接線ベクトルを、曲線の他のすべての点における接線ベクトルに変形する方法の規定を与えます。規定は、最初の基本形式で指定される 1 次常微分方程式によって決定されます。

上記の概念は、本質的にはすべて多変数計算に関係しています。ガウス・ボネ定理は、より包括的な結果であり、表面のガウス曲率とその位相型を関連付けます。ガウス曲率の平均値は、表面のオイラー特性と表面積によって完全に決定されると主張しています。

任意の正則面は、リーマン多様体とリーマン面の両方の例です。本質的に、ここで説明する正則面の理論はすべて、リーマン多様体とその部分多様体の理論に一般化されています。

球面は滑らかであるが、円錐や角錐は頂点や辺のせいで滑らかではないことは直感的に明らかである。「正則面」という概念は、滑らかな面という概念を形式化したものである。定義では、ユークリッド空間間の写像を介した表面の局所表現を利用する。このような写像には滑らかさの標準的な概念がある。ユークリッド空間の2つの開集合間の写像は、その領域のすべての点でそのすべての次数の偏微分が存在する場合、滑らかである。^{[6] [7] [8]}

以下に、定義を表す 3 つの同等な方法を示します。真ん中の定義は、おそらく最も視覚的に直感的です。これは、基本的に、正則表面は、局所的には滑らかな関数のグラフであるℝ ^{3のサブセットである (} yz平面、xz平面、またはxy平面の領域上のいずれでも) と述べているためです。

最初の定義に現れる同相写像は、S上の局所パラメータ化、局所座標系、局所チャートとして知られている。^[13]最初の2つの定義の同値性は、正則面上の任意の点の周りには、常に( u , v ) ↦ ( h ( u , v ), u , v )、( u , v ) ↦ ( u , h ( u , v ), v )、または( u , v ) ↦ ( u , v , h ( u , v ))という形式の局所パラメータ化が存在することを主張している。これらはモンジュパッチとして知られている。3番目の定義のような関数Fは局所定義関数と呼ばれる。3つの定義の同値性は暗黙関数定理から導かれる。^{[14] [15] [16]}

正則曲面の任意の2つの局所パラメータ化f  : V → Uとf ′: V ′→ U ′が与えられたとき、合成f ⁻ 1∘f ′は、R2^の開集合間の写像として必然的に滑らかである。^{[17]これは、任意の正則曲面が自然に}滑らかな多様体の構造を持ち、滑らかなアトラスが局所パラメータ化の逆によって与えられることを示している。

微分幾何学の古典理論では、曲面は通常、正則な場合のみ研究される。^{[7] [18]}しかし、非正則な曲面を研究することも一般的であり、その場合、局所パラメータ化の2つの偏微分∂ _u fと∂ _v f は線形独立ではない可能性がある。この場合、Sは尖端などの特異点を持つ可能性がある。このような曲面は、通常、特異点理論で研究される。正則な曲面の他の弱められた形式は、コンピュータ支援設計で発生し、曲面はばらばらの断片に分割され、局所パラメータ化の微分は境界に沿って連続することさえできない。^[要出典]

簡単な例。正則な曲面の簡単な例として、2 次元球面{( x , y , z ) | x ² + y ² + z ² = 1 } が挙げられます。この曲面は、 h ( u , v ) = ± (1 − u ² − v ² ) ^1/2をとる 6 つのモンジュ パッチ (上記の 3 つのタイプをそれぞれ 2 つずつ) で覆うことができます。また、ステレオ投影を使用して、2 つのローカル パラメータ化で覆うこともできます。集合{( x , y , z ) : (( x ² + y ² ) ^1/2 − r ) ² + z ² = R ² }は、半径rとRの回転トーラスです。これは正則な曲面であり、ローカル パラメータ化は次の形式で表すことができます。

${\displaystyle f(s,t)={\big (}(R\cos s+r)\cos t,(R\cos s+r)\sin t,R\sin s{\big )}.}$

2 枚のシート上の双曲面{ ( x , y , z ) : z ² = 1 + x ² + y ² } は正則面です。これは 2 つのモンジュ パッチで覆われ、h ( u , v ) = ±(1 + u ² + v ² ) ^1/2となります。ヘリコイドは極小曲面の理論に登場します。これは単一のローカル パラメータ化f ( u , v ) = ( u sin v , u cos v , v )で覆われます。

S をℝ ³の正則面とし、p を S の元とします。上記の定義のいずれかを使用して、 ℝ ³の特定のベクトルがpでSに接していること、およびℝ ³の特定のベクトルがpでSに直交していることを特定できます。

pにおけるSへの接空間または接平面は、 pにおけるSへのすべての接ベクトルで構成されると定義され、 ℝ ³の2次元線形部分空間であることが分かります。これは、 T _p Sと表記されることが多いです。pにおけるSへの法空間は、 pにおけるSへのすべての法ベクトルで構成されると定義され、接空間T _p Sに直交するℝ ³の1次元線形部分空間です。そのため、Sの各点pには、単位長さの法ベクトル（単位法ベクトル）が2つあります。 pにおける単位法ベクトルは、ローカルパラメータ化、モンジュパッチ、またはローカル定義関数を使用して、次の式で表すことができます。

${\displaystyle \pm \left.{\frac {{\frac {\partial f}{\partial u}}\times {\frac {\partial f}{\partial v}}}{{\big \|}{\frac {\partial f}{\partial u}}\times {\frac {\partial f}{\partial v}}{\big \|}}}\right|_{f^{-1}(p)},\qquad \pm \left.{\frac {{\big (}{\frac {\partial h}{\partial u}},{\frac {\partial h}{\partial v}},-1{\big )}}{\sqrt {1+{\big (}{\frac {\partial h}{\partial u}}{\big )}^{2}+{\big (}{\frac {\partial h}{\partial v}}{\big )}^{2}}}}\right|_{(p_{1},p_{2})},\qquad {\text{または}}\qquad \pm {\frac {\nabla F(p)}{{\big \|}\nabla F(p){\big \|}}},}$

前述の定義と同じ表記に従います。

接ベクトルの「本質的な」定義にも注目すると便利である。これは、滑らかな多様体の設定への正則曲面理論の一般化の典型である。これは、接空間を、 ℝ ³の線形部分空間としてではなく、抽象的な 2 次元実ベクトル空間として定義する。この定義では、 pにおけるSへの接ベクトルは、 p ∈ f ( V )の各局所パラメータ化f  : V → Sに、2 つの数X ¹とX ^{2 を}割り当てることであり、他の任意の局所パラメータ化f ′ : V → Sでp ∈ f ( V ) (および対応する数( X ′) ¹と( X ′) ² ) に対して、次が成り立つとしている。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}X^{1}\\X^{2}\end{pmatrix}}=A_{f'(p)}{\begin{pmatrix}(X')^{1}\\(X')^{2}\end{pmatrix}},}$

ここで、A _{f ′( p ) は}、点f ′( p )で評価された写像f ⁻¹ ∘ f ′のヤコビ行列である。 pにおけるSへの接ベクトルの集合は、当然、2次元ベクトル空間の構造を持つ。この意味での接ベクトルは、ベクトル

${\displaystyle X^{1}{\frac {\partial f}{\partial u}}+X^{2}{\frac {\partial f}{\partial v}}.}$

ℝ ³において、 X ¹とX ²のヤコビ条件は連鎖律により、このベクトルがfに依存しないことを保証します。

表面上の滑らかな関数に対して、ベクトル場（つまり接ベクトル場）は、1 階演算子または微分として重要な解釈を持ちます。 を正則表面、平面の開部分集合、座標チャートとします。 の場合、空間はと同一視できます。同様に、上のベクトル場は上のベクトル場と同一視されます。標準変数uとv を取ると、ベクトル場は の形を持ち、aとbは滑らかな関数です。がベクトル場で が滑らかな関数である場合、も滑らかな関数です。1 階微分演算子は微分であり、つまりライプニッツの規則^{[19]を満たします。}${\displaystyle S}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f:U\rightarrow S}$${\displaystyle V=f(U)}$${\displaystyle C^{\infty }(U)}$${\displaystyle C^{\infty }(V)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle X=a\partial _{u}+b\partial _{v}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle g}$${\displaystyle Xg}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X(gh)=(Xg)h+g(Xh).}$

ベクトル場XとYの場合、演算子がベクトル場に対応する微分であることは簡単に確認できます。これはリー括弧と呼ばれます。これは歪対称であり、ヤコビ恒等式を満たします。 ${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$ ${\displaystyle [X,Y]}$${\displaystyle [X,Y]=-[Y,X]}$

${\displaystyle [[X,Y],Z]+[[Y,Z],X]+[[Z,X],Y]=0.}$

要約すると、または上のベクトル場はリー括弧の下でリー代数を形成する。 ^[20]${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$

S をℝ ³の正則面とする。局所パラメータ化f  : V → Sとf ( V )への単位法線ベクトル場nが与えられたとき、次のオブジェクトをV上の実数値または行列値関数として定義する。最初の基本形式はfのみに依存し、nには依存しない。4 列目は、これらの関数がfに依存する方法を記録しており、異なる局所パラメータ化f ′ : V ′ → S を選択した場合に生じる関数E ′、F ′、G ′、L ′などをfの場合に生じる関数に関連付けている。ここでA はf ^–1 ∘ f ′のヤコビ行列を表す。4 列目の式を確立する上で重要な関係は、

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial f'}{\partial u}}\\{\frac {\partial f'}{\partial v}}\end{pmatrix}}=A{\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial u}}\\{\frac {\partial f}{\partial v}}\end{pmatrix}},}$

連鎖律によれば次のようになります。

形状演算子を定義する行列を直接計算することで、ガウス曲率が形状演算子の行列式であること、平均曲率が形状演算子のトレースの半分であること、主曲率が形状演算子の固有値であること、さらにガウス曲率が主曲率の積であり平均曲率がそれらの和であることを確認できます。これらの観察は、これらのオブジェクトの定義として定式化することもできます。これらの観察により、同様の行列は同一の行列式、トレース、および固有値を持つため、4 列目の最後の 3 行が前の行から直接続くことも明らかになります。E 、G、およびEG − F ²はすべて必ず正であることに注意することが重要です。これにより、形状演算子の定義における逆行列が明確に定義され、主曲率が実数であることが保証されます。

また、単位法線ベクトル場の選択を否定すると、第 2 の基本形式、形状演算子、平均曲率、および主曲率が否定されますが、ガウス曲率は変更されないことにも注意してください。要約すると、これは、正規表面Sが与えられた場合、 Sのガウス曲率はS上の実数値関数と見なすことができることを示しています。 S全体に対する単位法線ベクトル場の選択に関連して、2 つの主曲率と平均曲率もS上の実数値関数です。

幾何学的には、第 1および第 2 の基本形式は、( u , v )がV内で動くのと同様に、 f ( u , v )がℝ ³内でどのように動くかに関する情報を与えるものと見なすことができます。特に、第 1 の基本形式はf がどれだけ速く動くかをエンコードし、第 2 の基本形式は f の動きが法線ベクトルnの方向にある程度をエンコードします。言い換えると、点pにおける第 2 の基本形式は、 SからpにおけるSの接平面への直交投影の長さをエンコードします。特に、この長さを最もよく近似する 2 次関数を与えます。この考え方は、次の式で明確にすることができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{(h,k)\to (0,0)}{\frac {{\big |}f(u+h,v+k)-f(u,v){\big |}^{2}-{\big (}Eh^{2}+2Fhk+Gk^{2}{\big )}}{h^{2}+k^{2}}}&=0\\\lim _{(h,k)\to (0,0)}{\frac {{\big (}f(u+h,v+k)-f(u,v){\big )}\cdot n-{\frac {1}{2}}{\big (}Lh^{2}+2Mhk+Nk^{2}{\big )}}{h^{2}+k^{2}}}&=0,\end{aligned}}}$

は、2 次元における基本形式の定義とテイラーの定理から直接導かれます。主曲率は次のように考えることができます。Sの任意の点pにおいて、 Sに直交する直線を含むすべての平面の集合を考えます。このような各平面にはSとの交差曲線があり、これは平面自体の内部にある平面曲線と見なすことができます。 pにおける 2 つの主曲率は、検討中の平面が法線の周りを回転するときの、 pにおけるこの平面曲線の曲率の可能な最大値と最小値です。

以下に、モンジュ パッチf ( u、v ) = ( u、v、h ( u、v ))に対する上記の量の計算をまとめます。ここで、h _uとh _{v は}hの 2 つの偏微分を表し、2 番目の偏微分も同様の表記法で表されます。2 番目の基本形式とその後のすべての量は、単位法線ベクトル場の特定の選択に対して計算されます。

S をℝ ³の正則曲面とする。クリストッフェル記号は、各局所パラメータ化f  : V → Sに対して、 V上の 8 つの関数を割り当てる。これらは^{[22]で定義される。}

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\Gamma _{11}^{1}&\Gamma _{12}^{1}&\Gamma _{21}^{1}&\Gamma _{22}^{1}\\\Gamma _{11}^{2}&\Gamma _{12}^{2}&\Gamma _{21}^{2}&\Gamma _{22}^{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}{\frac {\partial E}{\partial u}}&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial E}{\partial v}}&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial E}{\partial v}}&{\frac {\partial F}{\partial v}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial G}{\partial u}}\\{\frac {\partial F}{\partial u}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial E}{\partial v}}&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial G}{\partial u}}&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial G}{\partial u}}&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial G}{\partial v}}\end{pmatrix}}.}$

これらは次の式で定義することもできます。ここで、n はf ( V )に沿った単位法線ベクトル場であり、L、M、Nは第 2 基本形式の対応する成分です。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial u^{2}}}&=\Gamma _{11}^{1}{\frac {\partial f}{\partial u}}+\Gamma _{11}^{2}{\frac {\partial f}{\partial v}}+Ln\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial u\partial v}}&=\Gamma _{12}^{1}{\frac {\partial f}{\partial u}}+\Gamma _{12}^{2}{\frac {\partial f}{\partial v}}+Mn\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial v^{2}}}&=\Gamma _{22}^{1}{\frac {\partial f}{\partial u}}+\Gamma _{22}^{2}{\frac {\partial f}{\partial v}}+Nn.\end{aligned}}}$

この定義の鍵となるのは、⁠∂fの/∂uは⁠、 ⁠∂fの/∂v​⁠、およびn は各点でℝ ³の基底を形成し、それに対して 3 つの方程式のそれぞれが、 fの 2 番目の偏導関数の座標としてクリストッフェル記号を一意に指定します。単位正規の選択はクリストッフェル記号には影響しません。 n をその否定と交換すると、2 番目の基本形式の成分も否定されるため、 Ln、Mn、Nnの符号は変更されません。

2 番目の定義は、局所パラメータ化のコンテキストで、クリストッフェル記号が幾何学的に自然であることを示しています。最初の定義の式はそれほど自然ではないように見えますが、クリストッフェル記号が最初の基本形式から計算できることを示すという重要性があり、これは 2 番目の定義からはすぐにはわかりません。定義の同等性は、最初の定義を 2 番目の定義に直接代入し、E、F、Gの定義を使用することで確認できます。

コダッツィ方程式は[ ^23]を主張している。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial L}{\partial v}}-{\frac {\partial M}{\partial u}}&=L\Gamma _{12}^{1}+M(\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{11}^{1})-N\Gamma _{11}^{2}\\{\frac {\partial M}{\partial v}}-{\frac {\partial N}{\partial u}}&=L\Gamma _{22}^{1}+M(\Gamma _{22}^{2}-\Gamma _{12}^{1})-N\Gamma _{12}^{2}.\end{aligned}}}$

これらの方程式は、上記のクリストッフェル記号の2番目の定義から直接導かれる。例えば、最初のコダッツィ方程式は、最初の方程式をvについて微分し、2番目の方程式をuについて微分し、2つを減算し、nとのドット積を取ることで得られる。ガウス方程式は^[24]を主張している。

${\displaystyle {\begin{aligned}KE&={\frac {\partial \Gamma _{11}^{2}}{\partial v}}-{\frac {\partial \Gamma _{21}^{2}}{\partial u}}+\Gamma _{21}^{2}\Gamma _{11}^{1}+\Gamma _{22}^{2}\Gamma _{11}^{2}-\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{21}^{1}-\Gamma _{12}^{2}\Gamma _{21}^{2}\\KF&={\frac {\partial \Gamma _{12}^{2}}{\partial v}}-{\frac {\partial \Gamma _{22}^{2}}{\partial u}}+\Gamma _{21}^{2}\Gamma _{12}^{1}-\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{1}\\KG&={\frac {\partial \Gamma _{22}^{1}}{\partial u}}-{\frac {\partial \Gamma _{12}^{1}}{\partial v}}+\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{22}^{1}+\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{22}^{2}-\Gamma _{21}^{1}\Gamma _{12}^{1}-\Gamma _{22}^{1}\Gamma _{12}^{2}\end{aligned}}}$

これらは、コダッツィ方程式と同様に導出できるが、nとのドット積の代わりにワインガルテン方程式を使用する。これらは3つの別々の方程式として書かれているが、クリストッフェル記号の定義を第1基本形式で代入すると、それらは同一になる。結果の式を書く方法は多数あるが、その1つは1852年にブリオスキが行列式の巧みな使用法で導出したものである。^{[25] [26]}

${\displaystyle K={\frac {1}{(EG-F^{2})^{2}}}\det {\begin{pmatrix}-{1 \over 2}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial v^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial u\partial v}}-{1 \over 2}{\frac {\partial ^{2}G}{\partial u^{2}}}&{1 \over 2}{\frac {\partial E}{\partial u}}&{\frac {\partial F}{\partial u}}-{1 \over 2}{\frac {\partial E}{\partial v}}\\{\frac {\partial F}{\partial v}}-{1 \over 2}{\frac {\partial G}{\partial u}}&E&F\\{1 \over 2}{\frac {\partial G}{\partial v}}&F&G\end{pmatrix}}-{\frac {1}{(EG-F^{2})^{2}}}\det {\begin{pmatrix}0&{1 \over 2}{\frac {\partial E}{\partial v}}&{1 \over 2}{\frac {\partial G}{\partial u}}\\{1 \over 2}{\frac {\partial E}{\partial v}}&E&F\\{1 \over 2}{\frac {\partial G}{\partial u}}&F&G\end{pmatrix}}.}$

クリストッフェル記号が第 1 基本形式によって定義されていると考えると、ガウス方程式とコダッツィ方程式は第 1 基本形式と第 2 基本形式の間の特定の制約を表します。ガウス方程式は特に注目に値します。なぜなら、ガウス曲率は他の情報を必要とせずに第 1 基本形式から直接計算できることを示しているからです。つまり、これは、LN − M ^{2 は実際には}E、F、Gの関数として記述できますが、個々の要素L、M、N は記述できないことを示しています。これはエグレギウム定理として知られ、カール・フリードリヒ・ガウスの主要な発見でした。接触円の最大半径と最小半径によって定義されるSのガウス曲率の幾何学的定義を思い出すと、特に印象的です。接触円は、 S がℝ ³内でどのように曲がるかという幾何学によって基本的に定義されているようです。それにもかかわらず、定理は、それらの積がSの「本質的な」幾何学から決定できることを示しており、それはSに沿った曲線の長さとそれらの交差点で形成される角度にのみ関係している。マルセル・ベルガーは次のように述べている。^[27]

この定理は不可解です。[...] これは、知的歴史の多くの部分とは異なり、まったく知られていなかったため、他の数学者によって発見されるまでにさらに数十年待たなければならなかった種類の定理です。[...] 私たちの知る限り、今日では、定理エグレギウムの簡単な幾何学的証明はありません。

ガウス-コダッツィ方程式は、エリー・カルタンによる接続形式の言語でも簡潔に表現し、導くことができる。^[28]テンソル解析の言語では、自然な計量とテンソル束上の接続を利用して、ガウス方程式はH ² − | h | ² = Rと書き、2つのコダッツィ方程式は∇ ₁ h ₁₂ = ∇ ₂ h ₁₁および∇ ₁ h ₂₂ = ∇ ₂ h ₁₂と書くことができる。クリストッフェル記号と最初の基本形式に関する複雑な表現は、共変テンソル導関数∇ hとスカラー曲率Rの定義に完全に吸収される。ピエール・ボネは、ガウス-コダッツィ方程式を満たす2つの二次形式が常に局所的に埋め込まれた曲面を一意に決定することを証明した。^[29]このため、ガウス-コダッツィ方程式は埋め込み曲面の基本方程式と呼ばれることが多く、内在曲率と外在曲率がどこから来るのかを正確に特定しています。これらは、より一般的なリーマン多様体に埋め込まれた曲面への一般化が可能です。

正則曲面上の開集合と間の微分同相写像は、それが計量、すなわち第一基本形式を保存するとき、等長写像であると言われる。 ^{[30] [31] [32]}したがって、 とにおける接ベクトルの任意の点に対して、等式が成り立つ 。${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle S}$${\displaystyle p}$${\displaystyle U}$${\displaystyle w_{1},\,\,w_{2}}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle E(p)w_{1}\cdot w_{1}+2F(p)w_{1}\cdot w_{2}+G(p)w_{2}\cdot w_{2}=E(\varphi (p))\varphi ^{\prime }(w_{1})\cdot \varphi ^{\prime }(w_{1})+2F(\varphi (p))\varphi ^{\prime }(w_{1})\cdot \varphi ^{\prime }(w_{2})+G(\varphi (p))\varphi ^{\prime }(w_{1})\cdot \varphi ^{\prime }(w_{2}).}$

最初の基本形式から来る内積の観点から、これは次のように書き直すことができる。

${\displaystyle (w_{1},w_{2})_{p}=(\varphi ^{\prime }(w_{1}),\varphi ^{\prime }(w_{2}))_{\varphi (p)}}$。

一方、パラメータ化された曲線の長さは次のように計算できる。 ${\displaystyle \gamma (t)=(x(t),y(t))}$

${\displaystyle L(\gamma )=\int _{a}^{b}{\sqrt {E{\dot {x}}\cdot {\dot {x}}+2F{\dot {x}}\cdot {\dot {y}}+G{\dot {y}}\cdot {\dot {y}}}}\,dt}$

そして、曲線が にある場合、変数変換の規則は、 ${\displaystyle U}$

${\displaystyle L(\varphi \circ \gamma )=L(\gamma ).}$

逆に、 が曲線でパラメータ化されたすべての の長さを保存する場合、 は等長変換です。 実際、 を適切に選択すると、接線ベクトルおよび は任意の接線ベクトルおよび を与えます。 等式は、 および のすべての選択に対して、および と同様に成立する必要があり、となります。^[33]${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle {\dot {x}}}$${\displaystyle {\dot {y}}}$${\displaystyle w_{1}}$${\displaystyle w_{2}}$${\displaystyle w_{1}}$${\displaystyle w_{2}}$${\displaystyle \varphi ^{\prime }(w_{1})}$${\displaystyle \varphi ^{\prime }(w_{2})}$${\displaystyle (\varphi ^{\prime }(w_{1}),\varphi ^{\prime }(w_{2}))_{\varphi (p)}=(w_{1},w_{1})_{p}}$

等長変換の簡単な例として、開集合を正則曲面とにパラメータ化して と とする2つの例が挙げられます。、、の場合には、はからへの等長変換となります。 ^[34]${\displaystyle f_{1}}$${\displaystyle f_{2}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle S_{2}}$${\displaystyle E_{1}=E_{2}}$${\displaystyle F_{1}=F_{2}}$${\displaystyle G_{1}=G_{2}}$${\displaystyle \varphi =f_{2}\circ f_{1}^{-1}}$${\displaystyle f_{1}(U)}$${\displaystyle f_{2}(U)}$

円柱と平面は、局所的に等長であるが位相的な理由から等長に拡張できない表面の例である。^[35]別の例として、カテノイドとヘリコイドは局所的に等長である。^[36]

S上の接線ベクトル場 X は、S内の各pに、 pにおけるSへの接線ベクトルX _pを割り当てる。上記の接線ベクトルの「本質的な」定義によれば、接線ベクトル場Xは、各局所パラメータ化f  : V → Sに、 V上の2つの実数値関数X ¹とX ^{2 を}割り当てるので、

${\displaystyle X_{p}=X^{1}{\big (}f^{-1}(p){\big )}{\frac {\partial f}{\partial u}}{\Big |}_{f^{-1}(p)}+X^{2}{\big (}f^{-1}(p){\big )}{\frac {\partial f}{\partial v}}{\Big |}_{f^{-1}(p)}}$

Sの各pに対して成り立つ。関数X ¹とX ²が任意のfの選択に対して滑らかであれば、Xは滑らかであるという。^{[37]上で与えられた接ベクトルの他の定義によれば、} S上の接ベクトル場X を、 X ( p ) がSの各pに対して接空間T _p S ⊂ ℝ ³に含まれるような写像X  : S → ℝ ³とみなすこともできる。滑らかな多様体のより一般的な状況で一般的であるように、接ベクトル場はS上の滑らかな関数の空間上の特定の微分作用素として定義することもできる。

Tullio Levi-CivitaとGregorio Ricci-Curbastroの共変微分( 「接線微分」とも呼ばれる)は、滑らかな接線ベクトル場を微分する手段を提供します。接線ベクトル場XとpにおけるSへの接線ベクトルYが与えられた場合、共変微分∇ _Y XはpにおけるSへの特定の接線ベクトルです。したがって、XとY が両方とも接線ベクトル場である場合、∇ _Y Xも接線ベクトル場と見なすことができます。繰り返しになりますが、X、Y、およびZ が接線ベクトル場である場合、 ∇ _Z ∇ _Y Xを計算できます。これは別の接線ベクトル場になります。共変微分を定義する方法はいくつかあります。以下の最初の方法では、クリストッフェル記号と接線ベクトルの「本質的な」定義を使用し、2 番目はより明白に幾何学的です。

接線ベクトル場XとpにおけるSへの接線ベクトルYが与えられたとき、∇Y _Xをpへの接線ベクトルと定義し、局所パラメータ化f  : V → Sに次の2つの数 を割り当てる。

${\displaystyle (\nabla _{Y}X)^{k}=D_{(Y^{1},Y^{2})}X^{k}{\Big |}_{f^{-1}(p)}+\sum _{i=1}^{2}\sum _{j=1}^{2}{\big (}\Gamma _{ij}^{k}X^{j}{\big )}{\Big |}_{f^{-1}(p)}Y^{i},\qquad (k=1,2)}$

ここでD _{( Y ¹ , Y ² )}は方向微分である。^[38]これはしばしばより簡略な形式(∇ _Y X ) ^k = ∂ _Y ( X ^k ) + Y ⁱ Γに省略される。 ^キイジ
_​X ^{j は}、アインシュタイン記法を使用し、関数の評価位置は暗黙的に理解されている。これは、リーマン計量から接続を得るためのリーマン幾何学の標準的な規定に従っている。ベクトル

${\displaystyle (\nabla _{Y}X)^{1}{\frac {\partial f}{\partial u}}+(\nabla _{Y}X)^{2}{\frac {\partial f}{\partial v}}}$

ℝ ³におけるは局所パラメータ化fの選択とは独立していますが、これをチェックするのはかなり面倒です。

共変微分は、クリストッフェル記号や局所パラメータ化を使用しない次のような幾何学的アプローチによっても定義できます。 ^{[39] [40] [41]} X をS上のベクトル場とし、関数S → ℝ ³として見ます。任意の曲線c  : ( a , b ) → Sが与えられた場合、合成X ∘ c  : ( a , b ) → ℝ ³を検討できます。ユークリッド空間間の写像として、任意の入力値で微分してℝ ³の元( X ∘ c )′( t )を取得できます。このベクトルのT _{c ( t )} Sへの直交射影は、共変微分∇ _{c ′( t )} X を定義します。これは幾何学的に非常に明確な定義ですが、結果がc ′( t )とXのみに依存し、cとXには依存しないことを示す必要があります。この小さな技術的議論にはローカルパラメータ化を使用できます。

2番目の定義からは、共変微分がSの第一基本形式のみに依存することはすぐには分かりません。しかし、これは最初の定義からすぐに分かります。なぜなら、クリストッフェル記号は第一基本形式から直接定義できるからです。2つの定義が同等であることは簡単に確認できます。重要なのは、X ¹ ⁠ を考えるとき、∂fの/∂uは⁠ + × ² ⁠∂fの/∂v​⁠ はℝ ³値関数であるため、曲線に沿って微分すると 2 次偏微分∂ ² fが得られる。クリストッフェル記号は、基底 ⁠ に対するfの2 次微分の接線成分として定式化されるため、接空間への直交射影で入る。∂fの/∂uは⁠、 ⁠∂fの/∂v​⁠ , n . ^[38]これについては上のセクションで説明しました。

3つのガウス方程式の右辺は共変微分法を使って表すことができます。例えば、右辺は

${\displaystyle {\frac {\partial \Gamma _{11}^{2}}{\partial v}}-{\frac {\partial \Gamma _{21}^{2}}{\partial u}}+\Gamma _{21}^{2}\Gamma _{11}^{1}+\Gamma _{22}^{2}\Gamma _{11}^{2}-\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{21}^{1}-\Gamma _{12}^{2}\Gamma _{21}^{2}}$

の2番目の座標として認識できます

${\displaystyle \nabla _{\frac {\partial f}{\partial v}}\nabla _{\frac {\partial f}{\partial u}}{\frac {\partial f}{\partial u}}-\nabla _{\frac {\partial f}{\partial u}}\nabla _{\frac {\partial f}{\partial v}}{\frac {\partial f}{\partial u}}}$

基準に対して相対的に⁠∂fの/∂uは⁠、 ⁠∂fの/∂v​⁠ 、これはクリストッフェル記号による共変微分の定義を使って直接検証できる。リーマン幾何学の言語では、この観察は、ガウス方程式の右辺が、リーマン計量として解釈される場合、第1基本形式のレヴィ-チヴィタ接続のリッチ曲率のさまざまな成分であるとも表現できる。

回転面は、xz平面上の曲線をz軸を中心に回転させることによって得られる。このような面には、球、円柱、円錐、トーラス、カテノイドなどがある。一般的な楕円体、双曲面、放物面は回転面ではない。曲線が次のようにパラメータ化されているとする 。

${\displaystyle x=c_{1}(s),\,\,z=c_{2}(s)}$

sは区間( a , b )から抽出されます。c 1_がゼロになることがなく、c ₁ ′とc ₂ ′ が両方ともゼロになることがなく、c ₁とc ₂が両方とも滑らかである場合、対応する回転面

${\displaystyle S={\Big \{}{\big (}c_{1}(s)\cos t,c_{1}(s)\sin t,c_{2}(s){\big )}\colon s\in (a,b){\text{ and }}t\in \mathbb {R} {\Big \}}}$

はℝ ³の正則曲面となる。局所パラメータ化f  : ( a , b ) × (0, 2π) → S は次のように与えられる。

${\displaystyle f(s,t)={\big (}c_{1}(s)\cos t,c_{1}(s)\sin t,c_{2}(s){\big )}.}$

このパラメータ化に対する幾何学的データは次の通りである: ^[42]

元の曲線が弧長によってパラメータ化される特別な場合、すなわち( c ₁ ′( s )) ² + ( c ₂ ′( s )) ² = 1 の場合、微分してc ₁ ′( s ) c ₁ "( s ) + c ₂ ′( s ) c ₂ "( s ) = 0 となる。ガウス曲率に代入すると、簡略化された

${\displaystyle K=-{\frac {c_{1}''(s)}{c_{1}(s)}}\qquad {\text{and}}\qquad H=c_{1}'(s)c_{2}''(s)-c_{2}'(s)c_{1}''(s)+{\frac {c_{2}'(s)}{c_{1}(s)}}.}$

この式の単純さにより、一定のガウス曲率を持つ回転対称面のクラスの研究が特に容易になります。^[43] c ₂ (s) = sという別のケースに還元することで、回転対称極小面を研究することができ、その結果、そのような面は平面またはスケールされたカテノイドの一部になります。^[44]

S上の各定数t曲線は測地線としてパラメータ化できます。S上の定数s曲線は、 c ₁ ′( s )がゼロに等しい場合にのみ測地線としてパラメータ化できます。一般に、 S上の測地線はクレローの関係式によって決まります。

^[45]で定義される二次曲面を考える。

${\displaystyle {x^{2} \over a}+{y^{2} \over b}+{z^{2} \over c}=1.}$

この表面はパラメータ化が可能であり、

${\displaystyle x={\sqrt {a(a-u)(a-v) \over (a-b)(a-c)}},\,\,y={\sqrt {b(b-u)(b-v) \over (b-a)(b-c)}},\,\,z={\sqrt {c(c-u)(c-v) \over (c-b)(c-a)}}.}$

ガウス曲率と平均曲率は次のように与えられる。

${\displaystyle K={abc \over u^{2}v^{2}},\,\,K_{m}=-(u+v){\sqrt {abc \over u^{3}v^{3}}}.}$

線織面は、 E ³内の直線の運動によって生成される面である。^[46]面上の準線、すなわち直線に直交する滑らかな単位速度曲線c ( t )を選択し、次に曲線に沿った直線の方向の単位ベクトルとしてu ( t )を選択すると、速度ベクトルv = c _tおよびuは次式を満たす。

${\displaystyle u\cdot v=0,\,\,\|u\|=1,\,\,\|v\|=1.}$

表面は点から構成される

${\displaystyle c(t)+s\cdot u(t)}$

sとt が変化するためです。

すると、

${\displaystyle a=\|u_{t}\|,\,\,b=u_{t}\cdot v,\,\,\alpha =-{\frac {b}{a^{2}}},\,\,\beta ={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a^{2}}},}$

ガウス曲率と平均曲率は次のように与えられる。

${\displaystyle K=-{\beta ^{2} \over ((s-\alpha )^{2}+\beta ^{2})^{2}},\,\,K_{m}=-{r[(s-\alpha )^{2}+\beta ^{2})]+\beta _{t}(s-\alpha )+\beta \alpha _{t} \over [(s-\alpha )^{2}+\beta ^{2}]^{\frac {3}{2}}}.}$

線織面のガウス曲率がゼロになるのは、u _tとvが比例する場合に限ります。 ^[47]この条件は、曲面が接ベクトルvと直交ベクトルu を含む曲線に沿った平面の包絡線であること、つまり曲面が曲線に沿って展開可能であることと同等です。 ^{[48]より一般的には、} E ³の曲面は、その点の近くでガウス曲率がゼロになるためには、その点の近くで展開可能である必要があります。^[49]（同等の条件は、以下で計量の観点から示されます。）

1760年にラグランジュは、 1変数の積分を含む変分法に関するオイラーの結果を2変数に拡張した。^[50]彼は次のような問題を念頭に置いていた。

E ³内の閉じた曲線が与えられた場合、その曲線を境界として最小の面積を持つ表面を見つけます。

このような面は極小面と呼ばれます。

1776 年にジャン・バティスト・ミュニエは、ラグランジュによって導かれた微分方程式が表面の平均曲率が消失することと同等であることを示しました。

表面が最小となるのは、その平均曲率がゼロになる場合のみです。

極小曲面は現実世界では簡単に解釈できる。それは、曲線のような形をした金網を石鹸水に浸し、その後注意深く引き上げると石鹸膜がとる形状である。与えられた境界を持つ極小曲面が存在するかどうかという問題は、19世紀半ばに石鹸膜の実験を行ったベルギーの物理学者ジョセフ・プラトーにちなんでプラトー問題と呼ばれている。1930年にジェシー・ダグラスとティボール・ラドーはプラトー問題に肯定的な答えを与えた（ダグラスは1936年にこの研究で最初のフィールズ賞の1つを受賞した）。^[51]

カテノイド、ヘリコイド、シェルク面、エネパー面など、極小曲面の明示的な例は数多く知られています。この分野では広範な研究が行われており、Osserman (2002) にまとめられています。特に、Osserman の結果によると、極小曲面が非平面の場合、ガウス写像によるその像はS ²で稠密になります。

曲面が一定のガウス曲率を持つ場合、それは定曲率面と呼ばれる。^[52]

• E ³の単位球面は一定のガウス曲率 +1 を持ちます。
• ユークリッド平面と円筒はどちらも一定のガウス曲率 0 を持ちます。
• 単位擬似球は一定のガウス曲率 -1 を持つ（赤道以外は特異である）。擬球は、その漸近線を中心にトラクトリックスを回転させることによって得られる。1868 年にエウジェニオ・ベルトラミは、擬球の幾何学が、ロバチェフスキー(1830 年) とボヤイ(1832 年)が独立に発見した、より抽象的な双曲面の幾何学に直接関連していることを示した。ガウスの弟子である F. ミンディングは、1840 年にはすでに、擬球の三角法の公式が双曲面の公式と同一であることを得ていた。^[53]この曲面の本質的な幾何学は、現在では上半平面または単位円板上のポアンカレ計量の観点からよりよく理解されており、 3次元ミンコフスキー空間における2枚双曲面q ( x , y , z ) = −1を考えることによって得られるクラインモデルや双曲面モデルなどの他のモデルによって記述されている。ここでq ( x , y , z ) = x ² + y ² – z ²。^[54 ]

球面、平面、双曲面は、推移的な リー群の対称性を持ちます。この群論的事実は広範囲にわたる影響を及ぼし、ポアンカレの均一化定理(以下を参照)により、これらの特殊面が表面の幾何学において中心的な役割を果たすため、さらに注目に値します。

ガウス曲率 0 の曲面の他の例としては、円錐、接線展開可能面、およびより一般的には展開可能な任意の曲面が挙げられます。

3 次元以上のユークリッド空間に埋め込まれた任意の曲面について、曲面上の曲線の長さ、2 つの曲線の間の角度、および曲面上の領域の面積を測定することができます。この構造は、線要素と面積要素を介して、曲面上のリーマン計量に無限小単位でエンコードされます。19 世紀から 20 世紀初頭の古典的には、R ³に埋め込まれた曲面のみが考慮され、計量は、曲面のローカル パラメータ化で点から点へと滑らかに変化する2×2 の正定値行列として与えられました。ローカル パラメータ化と座標変更のアイデアは、後に、現在の抽象概念である多様体によって形式化されました。多様体とは、今日の地球が地図帳でマッピングされているのとまったく同じように、滑らかな構造が多様体上のローカル チャートで与えられる位相空間です。同じ領域の異なるチャート間の座標の変更は、滑らかである必要があります。現実の地図上の等高線が標高の変化をコード化し、地球表面の局所的な歪みを考慮して真の距離を計算するのと同様に、リーマン計量は各局所チャートの「小さな」距離と面積を記述します。各局所チャートでは、2×2 の正定値行列を各ポイントに滑らかに割り当てることでリーマン計量が与えられます。別のチャートが取られると、行列は座標変更のヤコビ行列に従って変換されます。多様体は 2 次元リーマン多様体の構造を持ちます。

ガウス写像nの微分dnは、 形状演算子^[55]またはワインガルテン写像として知られる外在曲率の一種を定義するために使用できる。この演算子は、最初はヴィルヘルム・ブラシュケの研究で暗黙的に登場し、後にブラリ・フォルティとブルガティの論文で明示的に登場した^[56] 。曲面の各点xにおいて接空間は内積空間であるため、形状演算子S _xは、この空間上の線型演算子として次の式で定義できる。

${\displaystyle (S_{x}v,w)=(dn(v),w)}$

接ベクトルv、wに対して（ dn ( v )とw は両方ともE ³にあるので、内積は意味をなします）。^[c]右辺はvとwについて対称なので、形状演算子は接空間上で自己随伴です。 S _xの固有値は、 xにおける主曲率k ₁とk ₂です。特に、ある点での形状演算子の行列式はガウス曲率ですが、平均曲率が形状演算子のトレースの半分であるため、他の情報も含まれています。平均曲率は外在的不変量です。固有幾何学では、円筒は展開可能であり、ガウス曲率が同一に消えるため、円筒のすべての部分は平面の一部と本質的に区別できません。ただし、平均曲率はゼロではないため、外在的には平面とは異なります。

同様に、形状演算子は接空間上の線型演算子として定義することができ、S _p :  T _p M → T _p Mとなる。nがMの単位法線体でvが接ベクトルであれば、

${\displaystyle S(v)=\pm \nabla _{v}n}$

(定義において + を使用するか - を使用するかについての標準的な合意はありません)。

一般に、各点における形状演算子の固有ベクトルと固有値によって、各点で表面が曲がる方向が決まります。固有値は表面の主曲率に対応し、固有ベクトルは対応する主方向です。主方向は、表面に埋め込まれた曲線が最大曲率と最小曲率を持つために移動する必要がある方向を指定します。これらの方向は主曲率によって与えられます。

端点間の長さを最小にする曲面上の曲線は測地線と呼ばれ、 2 点間に張られたゴムバンドがとる形状です。数学的には、常微分方程式と変分法を使用して記述されます。曲面の微分幾何学は測地線の学習を中心に展開されます。2 次元の局所チャート上のすべてのリーマン計量が 3 次元ユークリッド空間への埋め込みから生じるかどうかは、まだ未解決の問題です。測地線の理論は、計量の成分が解析的である重要なケースでこれが真であることを示すために使用されています。

[ a , b ]におけるtのチャートで、区分的に滑らかなパスc ( t ) = ( x ( t ), y ( t ))が与えられた場合、その長さは次のように定義されます 。

${\displaystyle L(c)=\int _{a}^{b}(E{\dot {x}}^{2}+2F{\dot {x}}{\dot {y}}+G{\dot {y}}^{2})^{\frac {1}{2}}\,dt}$

エネルギー​​

${\displaystyle E(c)=\int _{a}^{b}(E{\dot {x}}^{2}+2F{\dot {x}}{\dot {y}}+G{\dot {y}}^{2})\,dt.}$

長さは経路のパラメータ化とは無関係である。オイラー・ラグランジュ方程式によれば、 c ( t ) が弧長によってパラメータ化された長さを最小にする経路である場合、それはオイラー方程式を満たす必要がある。

${\displaystyle {\ddot {x}}+\Gamma _{11}^{1}{\dot {x}}^{2}+2\Gamma _{12}^{1}{\dot {x}}{\dot {y}}+\Gamma _{22}^{1}{\dot {y}}^{2}=0}$

${\displaystyle {\ddot {y}}+\Gamma _{11}^{2}{\dot {x}}^{2}+2\Gamma _{12}^{2}{\dot {x}}{\dot {y}}+\Gamma _{22}^{2}{\dot {y}}^{2}=0}$

ここでクリストッフェル記号 Γ^キイジ
_​は次のように与えられる。

${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}={\tfrac {1}{2}}g^{km}(\partial _{j}g_{im}+\partial _{i}g_{jm}-\partial _{m}g_{ij})}$

ここでg ₁₁ = E、g ₁₂ = F、g ₂₂ = Gであり、g ^{ij は}g _ijの逆行列である。オイラー方程式を満たす経路は測地線と呼ばれる。コーシー・シュワルツの不等式により、エネルギーを最小化する経路は弧の長さでパラメータ化された測地線に過ぎず、任意の測地線について、パラメータt は弧の長さに比例する。^[57]

有向面上の曲線c ( t )上の点における測地線曲率 kg_は^{、弧の長さによってパラメータ化され、 [58]のように定義される。}

${\displaystyle k_{g}={\ddot {c}}(t)\cdot \mathbf {n} (t).}$

ここで、n ( t )は表面の曲線に対する「主」単位法線であり、単位接線ベクトルċ ( t )を+90°の角度で回転させることによって構築されます。

• ある点における測地線曲率は、その点の近くの測定基準にのみ依存する固有の不変量です。
• 表面上の単位速度曲線は、その測地線曲率が曲線上のすべての点でゼロになる場合にのみ測地線になります。
• 埋め込まれた表面上の単位速度曲線c ( t ) は、その加速度ベクトルc̈ ( t )が表面に対して垂直である場合にのみ測地線になります。

測地線曲率は、表面上の曲線が測地線からどれだけ離れているかを正確に測定します。

座標チャート全体にわたってF = 0の場合、例えば以下で説明する測地極座標の場合、 x軸とy軸に平行な線の像は直交し、直交座標を提供します。H = ( EG ) ^{1 ⁄ 2}の場合、ガウス曲率は次のように表されます^[59]

${\displaystyle K=-{1 \over 2H}\left[\partial _{x}\left({\frac {G_{x}}{H}}\right)+\partial _{y}\left({\frac {E_{y}}{H}}\right)\right].}$

さらにE = 1、つまりH = G ^{1 ⁄ 2}とすると、測地線( x ( t ), y ( t ))と直線y = 定数と の交点の角度φ は次式で与えられる。

${\displaystyle \tan \varphi =H\cdot {\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}.}$

φの導関数はガウスの古典的な導関数の公式で与えられる: ^[60]

${\displaystyle {\dot {\varphi }}=-H_{x}\cdot {\dot {y}}.}$

表面上の距離が与えられ、基点が固定されると、基点と十分に近い各点を結ぶ唯一の測地線が存在します。 基点における測地線の方向と距離によって、もう一方の端点が一意に決定されます。 方向と大きさという 2 つのデータによって、基点における接線ベクトルが決定されます。 接線ベクトルから端点への写像は、基点の近傍を滑らかに掃き出し、指数写像と呼ばれるものを定義し、その基点におけるローカル座標チャートを定義します。 掃き出された近傍は、ユークリッド空間の球に似た特性を持ちます。つまり、その中の任意の 2 つの点は、唯一の測地線によって結合されます。 この特性は「測地線の凸性」と呼ばれ、座標は標準座標と呼ばれます。 標準座標の明示的な計算は、測地線が満たす微分方程式を考慮することによって実行できます。 凸性特性は、ガウスの補題とその一般化の結果です。大まかに言えば、この補題は、基点から始まる測地線は、基点を中心とする固定半径の球を直角に切断しなければならないことを述べています。測地極座標は、指数マップと基点の接ベクトル上の極座標を組み合わせることで得られます。表面のガウス曲率は、その点における計量のユークリッド計量からの2次偏差によって与えられます。特に、ガウス曲率は計量の不変量であり、ガウスの有名なエグレギウム定理です。曲率を理解する便利な方法は、ガウスによって最初に考えられ、後にヤコビによって一般化された、2つの異なる点についての法線座標の変化から生じる常微分方程式から得られます。ガウス-ヤコビ方程式は、ガウス曲率を計算する別の方法を提供します。幾何学的には、測地線に沿ったベクトル場であるヤコビ場に記録されたデータを通じて、固定された基点からの終点が小さな曲線セグメントに沿って変化するにつれて測地線に何が起こるかを説明します。 ^[61 ]ガウスとヤコビから1世紀半後、マーストン・モースは、無限次元ヒルベルト経路多様体上のエネルギー関数の2次導関数の観点から、ヤコビ場のより概念的な解釈を与えました。^[62]

常微分方程式の理論によれば、f ( t , v )が滑らかであれば、微分方程式⁠dv/dt⁠ = f ( t , v )で初期条件v (0) = v ₀は、 | t | が十分に小さい場合に一意の解を持ち、その解はtとv ₀に滑らかに依存します。これは、与えられた点p = ( x ₀ , y ₀ )における十分に小さい接ベクトル vに対して、 (−2, 2)上に測地線c _v ( t )が定義され、 c _v (0) = ( x ₀ , y ₀ )かつċ _v (0) = vで。さらに、 | s | ≤ 1の場合、 c _sv = c _v ( st )です。指数写像は次のように定義されます。

exp _p ( v ) = c _v (1)

は円板‖ v ‖ < δとpの近傍との間の微分同相写像を与える。より一般的には、 ( p , v )をexp _p ( v )に写す写像は、 ( p , p )の近傍への局所微分同相写像を与える。指数写像はp付近の測地線正規座標を与える。^[63]

ある点における正規座標u、vへの変数変換を形式的なテイラー級数展開として計算する標準的な手法がある（例えば Berger (2004) を参照）。座標(0,0) におけるx、y が局所的に直交する場合、次のように書く。

x ( u , v ) = αu + L ( u , v ) + λ ( u , v ) + …

y ( u , v ) = βv + M ( u , v ) + μ ( u , v ) + …

ここで、L、M はuとvの2次同次多項式、λ、μ は3次同次多項式です。uとvが固定されている場合、x ( t ) = x ( tu、tv )およびy ( t ) = y ( tu、tv ) は、オイラー方程式の正式なべき級数解と見なすことができます。これにより、 α、β、L、M、λ、μ が一意に決定されます。

これらの座標では、行列g ( x )はg (0)= Iを満たし、直線t↦tvは0を通る測地線である。オイラーの方程式は行列方程式を意味する 。

g ( v ) v = v、

これは 重要な結果であり、通常ガウスの補題と呼ばれる。幾何学的には、

極座標 ( r , θ )をとると、計量は次の形になる。

ds ² = dr ² + G ( r , θ ) dθ ²。

測地座標では、ゼロを通る測地線が長さを最小にすることは簡単に確認できる。すると、リーマン多様体上の位相は距離関数 d ( p , q )、すなわちpとqの間の区分的に滑らかな経路の長さの下限で与えられる。この距離は測地線によって局所的に実現されるため、通常の座標ではd (0, v ) = ‖ v ‖となる。半径δを十分に小さく取ると、ガウスの補題をわずかに鋭くすると、指数写像による円板‖ v ‖ < δの像U は測地的に凸であることがわかる。つまり、 U内の任意の 2 点は、完全にU の内側にある唯一の測地線によって結ばれる。^{[64] [65]}

ガウスの定理エグレギウム（「注目すべき定理」）は、曲面のガウス曲率は計量のみで計算でき、したがって曲面の本質的な不変量であり、E ³の等長埋め込みとは独立しており、座標変換によって変化しないことを示しています。特に、曲面の等長写像と局所等長写像はガウス曲率を保存します。^[66]

この定理は、計量dsのべき級数展開によって表現され、通常の座標( u , v )で次のように 表される。

ds ² = du ² + dv ² − K ( u dv – v du ) ² /12 + …。

pの標準座標から近傍の点qの標準座標への座標変換をとると、ガウスによって発見され、後にヤコビによって一般化されたH ( r , θ ) = G ( r , θ ) 1 ^{⁄ 2を}満たすシュトゥルム・リウヴィル方程式が得られる。

Hrr = – _KHです。

この座標変化のqにおけるヤコビアン(ヤコビ行列) は H r に等しい。これはガウス曲率の本質を明らかにする別の方法である。H ( r , θ ₎はθ 方向の線分の長さとして解釈できるため、ガウス・ヤコビ方程式はガウス曲率が幾何学的表面上の測地線が点から離れるにつれて広がる様子を測定するものであることを示している。^[67]

ローカルメトリックのサーフェス上

${\displaystyle ds^{2}=E\,dx^{2}+2F\,dx\,dy+G\,dy^{2}}$

およびラプラス・ベルトラミ演算子

${\displaystyle \Delta f={1 \over H}\left(\partial _{x}{G \over H}\partial _{x}f-\partial _{x}{F \over H}\partial _{y}f-\partial _{y}{F \over H}\partial _{x}f+\partial _{y}{E \over H}\partial _{y}f\right),}$

ここでH ² = EG − F ²であり、ある点におけるガウス曲率は式^{[68]で与えられる。}

${\displaystyle K=-3\lim _{r\rightarrow 0}\Delta (\log r),}$

ここで、r は点からの測地距離を表します。

ガウスによって最初に考えられた等温座標では、計量は特別な形式であることが求められる。

${\displaystyle ds^{2}=e^{\varphi }(dx^{2}+dy^{2}).\,}$

この場合、ラプラス・ベルトラミ演算子は次のように与えられる。

${\displaystyle \Delta =e^{-\varphi }\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)}$

そしてφはリウヴィルの方程式を満たす^[69]

${\displaystyle \Delta \varphi =-2K.\,}$

等温座標は表面上の任意の点の近傍に存在することが知られているが、これまでの証明はすべて偏微分方程式の非自明な結果に依存している。^[70]極小曲面の初等的証明がある。^[71]

球面または双曲面上で、測地三角形、すなわちすべての辺が測地線である三角形の面積は、内角の和とπの差に比例します。比例定数は、これらの面の定数であるガウス曲率だけです。トーラスの場合、差は 0 で、ガウス曲率が 0 であるという事実を反映しています。これらは、球面法、双曲法、および高校の三角法 (下記参照) の標準的な結果です。ガウスは、測地三角形の内部でのガウス曲率の積分もこの角度の差または超過に等しいことを示して、これらの結果を任意の面に一般化しました。彼の公式は、ガウス曲率は、測地三角形がその点まで縮小する場合の面積と角度の超過の極限として、点の近くで計算できることを示しました。任意の閉じた面は測地三角形に分解できるため、この公式を使用して、面全体の曲率の積分を計算することもできます。現在ガウス・ボネ定理と呼ばれるものの特別なケースとして、ガウスは、この積分が驚くべきことに常に 2π の整数倍であることを証明しました。これは、オイラー標数と呼ばれる曲面の位相不変量です。この不変量は、三角形分割とも呼ばれる分解における三角形の頂点、辺、面の数に基づいて組み合わせ的に簡単に計算できます。解析と位相のこの相互作用は、幾何学における後の多くの結果の先駆けとなり、アティヤ・シンガーの指数定理で頂点に達しました。特に、曲率の特性は、曲面の位相に制限を課します。

ガウスは、Δが頂点A、B、Cで角度α、β、γを持つ表面上の測地線三角形である場合、

${\displaystyle \int _{\Delta }K\,dA=\alpha +\beta +\gamma -\pi .}$

実際、原点AとAB、極角 0 とαの半径AC を持つ測地極座標を取ると、

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\Delta }K\,dA&=\int _{\Delta }KH\,dr\,d\theta =-\int _{0}^{\alpha }\int _{0}^{r_{\theta }}\!H_{rr}\,dr\,d\theta \\&=\int _{0}^{\alpha }1-H_{r}(r_{\theta },\theta )\,d\theta =\int _{0}^{\alpha }d\theta +\int _{\pi -\beta }^{\gamma }\!\!d\varphi \\&=\alpha +\beta +\gamma -\pi ,\end{aligned}}}$

ここで、2番目の等式はガウス・ヤコビ方程式から導かれ、4番目の等式は直交座標( r、θ )におけるガウスの微分公式から導かれます。

ガウスの公式によれば、ある点における曲率は、その点の近くにある測地三角形を徐々に小さくしていくことで得られる面積に対する角度の超過 α + β + γ − πの極限として計算できる。定性的には、面は、任意の小さな測地三角形の角度の超過の符号に応じて、正または負に曲がっている。^[49]

あらゆるコンパクトな有向2次元多様体Mは小さな測地線三角形で三角形分割できるので、

${\displaystyle \int _{M}KdA=2\pi \,\chi (M)}$

ここでχ ( M )は表面の オイラー特性を表す。

実際、面がF 個、辺がE個、頂点がV個ある場合、 3 F = 2 Eとなり、左側は2π V – π F = 2π( V – E + F ) = 2π χ ( M )となります。

これは有名なガウス・ボネ定理である。これは、ガウス曲率の積分が多様体の位相不変量、すなわちオイラー特性であることを示す。この定理はさまざまな方法で解釈できるが、おそらく最も広範囲に及ぶものの 1 つは、アティヤ・シンガーの指数定理の最も単純なケースの 1 つである、M上の楕円微分作用素の指数定理である。ガウス・ボネ定理を使用して証明できるもう 1 つの関連する結果は、有限個の点でのみ消えるM上のベクトル場に対するポアンカレ・ホップの指数定理である。これらの点における指数の合計はオイラー特性に等しく、点の指数は次のように定義される。孤立した各ゼロの周りの小さな円上で、ベクトル場は単位円への写像を定義する。指数はこの写像の巻数に等しい。) ^{[49] [72] [73]}

曲面Mのガウス曲率がどこでも正であれば、オイラー特性は正なので、MはS ²に同相（したがって微分同相）である。さらに、曲面がE ³に等長的に埋め込まれている場合、ガウス写像は明示的な微分同相写像を提供する。アダマールが観察したように、この場合、曲面は凸である。凸性のこの基準は、平面曲線の凸性のよく知られた第 2 導関数基準の 2 次元一般化と見なすことができる。ヒルベルトは、等長的に埋め込まれたすべての閉じた曲面には必ず正の曲率の点があることを証明した。したがって、非正曲率の閉じたリーマン 2 次元多様体は、決してE ³に等長的に埋め込まれることはない。しかし、アドリアノ・ガルシアが準等角写像のベルトラミ方程式を使用して示したように、これは常に等角的に同値な計量に対して可能である。^[74]

定曲率 0、+1、–1 の単連結面は、ユークリッド平面、 E ³の単位球面、双曲面である。これらのそれぞれには、向きを保存する等長写像の推移的な 3 次元リー群Gがあり、これを使用してそれらの幾何学を調べることができる。2 つの非コンパクト面はそれぞれ、商G / Kと同一視できる。ここで、K はGの最大コンパクト部分群である。ここで、K はSO(2)と同型である。定ガウス曲率の他の任意の閉じたリーマン 2 次元多様体M は、必要に応じて計量を定数倍した後、これらの 3 つの面のいずれかをその普遍被覆空間として持つことになる。向き付け可能な場合、Mの基本群ΓはGの捩れのない一様部分群と同一視でき、M は二重剰余類空間Γ \ G / Kと同一視できる。球面とユークリッド平面の場合、唯一の可能な例は、球面自体と、離散的な階数2の部分群によるR ²の商として得られるトーラスである。種数g ≥ 2の閉曲面の場合、Γ がそのような部分群すべてにわたって変化すると得られるリーマン面のモジュライ空間は、実次元6 g − 6を持つ。^[75]ポアンカレの均一化定理により、任意の向き付け可能な2次元閉多様体は、定曲率0、+1、または-1の曲面と共形的に同値である。言い換えると、計量に正のスケーリング係数を乗じることで、ガウス曲率はこれらの値（ Mのオイラー特性の符号）のちょうど1つを取ることができる。^[76]

ユークリッド平面の場合、対称群はユークリッド運動群、すなわち2次元並進群と回転群の半直積である。 ^[77]測地線は直線であり、その幾何学は三角法の基本公式、例えば辺がa、b、cで角がα、β、γの三角形の余弦定理で表現される。

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\,\cos \gamma .}$

平坦トーラスは、 R ²を格子、すなわち階数2の自由アーベル部分群で割ることで得られる。これらの閉曲面は、 E ^{3に等長埋め込みを持たない。しかし、} E ⁴に等長埋め込みは可能である。最も簡単なケースでは、これはトーラスが2つの円の積であり、各円がE ²に等長埋め込み可能であるという事実から導かれる。^[78]

E ³における単位球面S ²の等長変換群は直交群O(3)であり、回転群SO(3)は等長変換の向きを保存する部分群である。これはSO(3)と反対称写像の直積であり、 xを– xに写す。^[79]群SO(3)はS ²に対して推移的に作用する。単位ベクトル (0,0,1) の安定部分群はSO(2)と同一視できるため、S ² = SO(3)/SO(2)となる。

球面上の 2 点間の測地線は、これらの端点を持つ大円弧です。点が反対側でない場合は、点間には唯一の最短測地線が存在します。測地線は群論的に記述することもできます。北極 (0,0,1) を通る各測地線は、赤道上の反対側の点を通る軸を中心とした回転のサブグループの軌道です。

球面三角形は球面上の測地線三角形です。球面上の点A、B、Cによって定義され、 BC、CA、ABの各辺は長さπ未満の大円弧で形成されます。辺の長さがa、b、cで、辺間の角度がα、β、γの場合、球面余弦法則は次のようになります。

${\displaystyle \cos c=\cos a\,\cos b+\sin a\,\sin b\,\cos \gamma .}$

三角形の面積は次のように表される。

面積 = α + β + γ − π .

北極からの立体投影を用いると、球面は拡張された複素平面 C ∪ {∞}と同一視できる。明示的な写像は次のように与えられる。

${\displaystyle \pi (x,y,z)={x+iy \over 1-z}\equiv u+iv.}$

この対応関係の下では、S ^{2の回転はすべて}SU(2)のメビウス変換に対応し、符号を除いて一意である。^[80]複素平面上の座標( u , v )に関して、球面計量は^{[81]となる。}

${\displaystyle ds^{2}={4(du^{2}+dv^{2}) \over (1+u^{2}+v^{2})^{2}}.}$

単位球面は、一定の曲率 +1 を持つ唯一の閉じた向き付け可能な面です。商SO(3)/O(2)は、実射影平面と同一視できます。これは向き付け不可能であり、対蹠写像によるS ^{2の商 (-1 を掛けたもの) として記述できます。球面は単連結ですが、実射影平面には基本群}Z ₂があります。SO (3)の有限部分群は、 O(2)の有限部分群とプラトン立体の対称群に対応しており、 S ²に自由に作用しないため、対応する商は 2 次元多様体ではなく、単なるオービフォールドです。

非ユークリッド幾何学^{[82] は}、19世紀初頭にガウスの手紙の中で初めて議論された。ガウスは、その計算結果を個人的に流布していたものの、印刷には出さないことにした。1830年にロバチェフスキーが、また1832年にはガウスの文通相手の息子であるボヤイが、この新しい幾何学の総合版を出版したが、これは厳しく批判された。しかし、1868年になってようやくベルトラミが、 1871年にクラインが、1882年にポアンカレが、クラインが双曲幾何学と名付けた幾何学の具体的な解析モデルを提示した。2次元双曲幾何学の4つのモデルが生まれた。

• ベルトラミ・クラインモデル;
• ポアンカレ円板;
• ポアンカレ上半平面;
• 3次元ミンコフスキー空間におけるヴィルヘルム・キリングの双曲面モデル。

円板に基づく最初のモデルの利点は、測地線が実際には線分 (つまり、ユークリッド線と開いた単位円板の交点) であることです。最後のモデルの利点は、3 次元ユークリッド空間の単位球面と完全に平行な構造を与えることです。しかし、複素解析と幾何学への応用のため、ポアンカレのモデルが最も広く使用されています。円板と上半平面の間のメビウス変換により、これらのモデルは相互に交換可能です。

させて

${\displaystyle D=\{z\,\colon |z|<1\}}$

ポアンカレ計量を持つ複素平面上のポアンカレ円板である

${\displaystyle ds^{2}={4(dx^{2}+dy^{2}) \over (1-x^{2}-y^{2})^{2}}.}$

極座標（r、θ）では、計量は次のように与えられる。

${\displaystyle ds^{2}={4(dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}) \over (1-r^{2})^{2}}.}$

曲線γ :[ a , b ]→ Dの長さは次式で与えられる。

${\displaystyle \ell (\gamma )=\int _{a}^{b}{2|\gamma ^{\prime }(t)|\,dt \over 1-|\gamma (t)|^{2}}.}$

群G = SU(1,1)は次のように与えられる。

${\displaystyle G=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}:\alpha ,\beta \in \mathbf {C} ,\,|\alpha |^{2}-|\beta |^{2}=1\right\}}$

はDに対してメビウス変換によって推移的に作用し、 0の安定化部分群は回転群である。

${\displaystyle K=\left\{{\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&{\overline {\zeta }}\end{pmatrix}}:\zeta \in \mathbf {C} ,\,|\zeta |=1\right\}.}$

商群SU(1,1)/± Iは、 Dの方向保存等長変換群である。 D内の任意の2点z、w は、 zとwを通り境界円に直交する円または直線の部分で与えられる唯一の測地線で結ばれる。 zとwの間の距離は次のように与えられる 。

${\displaystyle d(z,w)=2\tanh ^{-1}{\frac {|z-w|}{|1-{\overline {w}}z|}}.}$

特に、d (0, r ) = 2 tanh ⁻¹ rかつc ( t ) = ⁠1/2⁠ tanh t は、実軸に沿って 0 を通る測地線であり、弧長によってパラメータ化されます。

このメトリックによって定義される位相は、メトリック空間( D、d )としては完全であるものの、通常のユークリッド位相と同等です。

双曲三角形はこの距離の測地線三角形である。つまり、 Dの任意の 3 点は双曲三角形の頂点である。辺の長さがa、b、cで、対応する角度がα、β、γの場合、双曲余弦定理は次のように表される。

${\displaystyle \cosh c=\cosh a\,\cosh b-\sinh a\,\sinh b\,\cos \gamma .}$

双曲三角形の面積は^{[83]で与えられる。}

面積 = π – α – β – γ。

単位円と上半平面

${\displaystyle H=\{w=x+iy\,\colon \,y>0\}}$

メビウス変換により等角同値となる

${\displaystyle w=i{1+z \over 1-z},\,\,z={w-i \over w+i}.}$

この対応関係の下では、 H上のメビウス変換によるSL(2,R)の作用はD上のSU(1,1)の作用に対応する。H 上の計量は

${\displaystyle ds^{2}={dx^{2}+dy^{2} \over y^{2}}.}$

直線や円はメビウス変換によって保存されるため、測地線は実軸に直交する直線または円によって再び記述されます。

ポアンカレ計量を持つ単位円板は、単連結で、曲率が−1である唯一の有向2次元リーマン多様体である。この性質を持つ任意の有向閉曲面Mは、その普遍被覆空間としてDを持つ。その基本群は、SU(1,1)の捩れのないコンパクト部分群Γと同一視することができ、

${\displaystyle M=\Gamma \backslash G/K.}$

この場合、Γ は有限に提示された群です。生成元と関係は、M上の閉じた測地線に幾何学的に対応するD (またはH )内の測地的に凸な基本測地線多角形にエンコードされます。

例.

• 種数2のボルツァ面。
• 種数3のクラインの四次関数。
• 種数 7 のマクベス面。
• 種数 14 の最初の Hurwitz 三つ組。

ガウス曲率Kを持つ有向閉曲面Mが与えられたとき、 M上の計量は係数e ^{2 u}でスケーリングすることで共形的に変更できる。新しいガウス曲率K′ は次のように与えられる。

${\displaystyle K^{\prime }(x)=e^{-2u}(K(x)-\Delta u),}$

ここで、Δ は元の計量のラプラシアンです。したがって、与えられた曲面が一定の曲率K′を持つ計量と等角的に同値であることを示すには、次のリウヴィルの方程式の変形を解くだけで十分です。

${\displaystyle \Delta u=K^{\prime }e^{2u}+K(x).}$

M がオイラー標数 0 でトーラスと微分同相のとき、K′ = 0となり、これは次の式を解くことに相当する。

${\displaystyle \Delta u=K(x).}$

標準的な楕円理論によれば、ガウス・ボネ定理によりKのMに対する積分はゼロとなるため、これが可能である。 ^[84]

M が負のオイラー特性を持つ場合、 K′ = −1となるので、解くべき方程式は次のようになります。

${\displaystyle \Delta u=-e^{2u}+K(x).}$

ニール・トゥルーディンガーによるソボレフ空間上の指数写像の連続性を利用すると、この非線形方程式は常に解くことができる。^[85]

最後に、2次元球面の場合、K′ = 1となり、式は次のようになります。

${\displaystyle \Delta u=e^{2u}+K(x).}$

これまでこの非線形方程式は直接解析されていないが、リーマン・ロッホ定理などの古典的な結果から、この方程式は常に解を持つと示唆されている。^[86]リチャード・S・ハミルトンによって開発されたリッチフロー法は、非線形偏微分方程式に基づく存在の別の証明を与え、存在を証明する。^[87]実際、S ^{2上の共形計量上のリッチフローは、関数}u ( x , t )上 で次のように定義される。

${\displaystyle u_{t}=4\pi -K'(x,t)=4\pi -e^{-2u}(K(x)-\Delta u).}$

有限時間後、ChowはK′が正になることを示した。その後、Hamiltonの以前の結果を使用して、K′が+1に収束することを示すことができた。^{[88] Ricciフローに関するこれらの結果の前に、Osgood、Phillips、Sarnak（1988）は、} log det Δ _gで定義されるリーマン計量g上のフローに基づいて、技術的に単純な代替アプローチを均一化に与えていた。

1988 年に発見された楕円演算子を使った証明は、Ding (2001) で見つけることができます。GをS ²上のグリーン関数でΔ G = 1 + 4π δ _{P を}満たすものとし、δ _{P は}S ²の不動点Pにおける点測度です。方程式Δ v = 2 K – 2 は、ガウス・ボネ定理により右辺が積分 0 を持つため、滑らかな解v を持ちます。したがって、 φ = 2 G + v は、 Pから離れたところでΔ φ = 2 K を満たします。したがって、g ₁ = e ^φ g はPの補集合上の定曲率 0 の完全計量であり、したがって平面に等長です。立体射影と組み合わせると、 e ^{2 u} g がPの補集合上でガウス曲率 +1 を持つような滑らかな関数uが存在することになります。関数uはS2全体の滑らかな関数に自動的に拡張されます^。 [ ^d]

ガウスの曲面の微分幾何学に対する古典的なアプローチは、標準的な初等的アプローチであった^[89] 。これは、19世紀半ばにベルンハルト・リーマンが始めたリーマン多様体の概念や、20世紀初頭にトゥリオ・レヴィ＝チヴィタ、エリ・カルタン、ヘルマン・ワイルが開発した接続の概念の出現に先立つものであった。接続、共変微分、平行移動の概念は、曲率を理解するためのより概念的で統一的な方法を与え、高次元多様体への一般化を可能にしただけでなく、特性類と呼ばれる新しい幾何学的不変量を定義するための重要なツールも提供した。^[90]共変微分と接続を使用するアプローチは、今日ではより高度な教科書で採用されているものである。^[91]

曲面上の接続は、等価ではあるが同様に重要な様々な観点から定義できる。リーマン接続またはレヴィ-チヴィタ接続^[92]は、おそらく、多様体上の関数に作用する一次微分作用素と考えられるベクトル場を、接バンドルまたはフレームバンドル上の微分作用素に持ち上げるという観点から最も簡単に理解できる。埋め込まれた曲面の場合、共変微分と呼ばれるベクトル場上の作用素への持ち上げは、直交射影の観点から非常に簡単に記述される。実際、 R ³に埋め込まれた曲面上のベクトル場は、曲面からR ³への関数と見なすことができる。別のベクトル場は、成分ごとに微分作用素として作用する。結果として得られるベクトル場は曲面に接しないが、曲面の各点でその直交射影を接空間に取ることでこれを修正できる。 20 世紀初頭にリッチとレヴィ＝チヴィタが気づいたように、このプロセスはメトリックのみに依存し、局所的にはクリストッフェル記号で表現できます。

表面上の曲線に沿った接線ベクトルの平行移動は、レヴィ＝チヴィタによるこの分野の次の大きな進歩であった。 ^[49]これは、共変微分という以前の概念と関連している。なぜなら、これは曲線の速度ベクトルに関する共変微分によって定義される曲線上の常微分方程式のモノドロミーだからである。測地線、つまり表面の「直線」に沿った平行移動も、簡単に直接記述できる。接平面上のベクトルは、測地線の速度ベクトルと一定の角度をなす一定の長さを持つ唯一のベクトル場として測地線に沿って移動する。一般の曲線の場合、このプロセスは測地線曲率を使用して修正する必要がある。測地線曲率は、曲線が測地線からどれだけ離れているかを測定する。 ^[64]

測地曲率k _g ( t )を持つ単位速度曲線c ( t )に沿ったベクトル場v ( t )は、次の場合、曲線に沿って平行であると言われる。

• 長さは一定である
• 速度ベクトルċ ( t )となす角度θ ( t )は次式を満たす。

${\displaystyle {\dot {\theta }}(t)=-k_{g}(t)}$

これは、測地線または区分測地線に沿った平行移動の規則を再現するものである。なぜなら、その場合、k _g = 0であり、角度θ ( t )はどの測地線上でも一定のままであるはずである。平行移動の存在は、θ ( t ) が測地線曲率の積分として計算できることから導かれる。したがって、これはk _gのL ²ノルムに連続的に依存するため、任意の曲線の平行移動は、区分測地線を近似する平行移動の極限として得られることになる。^[93]

したがって、この関係は、多様体内の経路を接線または正規直交フレームバンドル内の経路に持ち上げるという観点から記述することができ、フランスの著者が好む「移動フレーム」の古典理論を形式化します。^{[94]ある点の周りのループの持ち上げにより、その点における}ホロノミー群が生じます。ある点におけるガウス曲率は、その点における次第に小さくなるループの周りの平行移動から回復できます。同様に、曲率は持ち上げられたベクトル場の リー括弧の観点から無限小レベルで直接計算できます。

Mのフレームバンドル上の接続 1 形式を使用するカルタンとワイルのアプローチは、リーマン接続を理解するための 3 番目の方法を提供します。彼らは、平行移動によって、曲面のパスがフレームバンドル内のパスに持ち上げられ、その接ベクトルがフレームバンドルの 3 次元接空間内の余次元 1 の特殊な部分空間に存在することが指示されることに注目しました。この部分空間への射影は、正規直交フレームバンドル上の微分 1 形式、つまり接続形式によって定義されます。これにより、曲面の曲率特性を、フレームバンドル上の微分形式と、それらの外導関数を含む式にエンコードできるようになりました。

このアプローチは、埋め込み曲面に対して特に単純である。小林（1956）の結果により、ユークリッド空間E ^{3に埋め込まれた曲面上の接続1形式は、} S ²上の接続1形式のガウス写像による引き戻しにすぎない。^[95] S ²と同次空間 SO(3)/SO(2)との同一視を用いると、接続1形式はSO(3)上のマウラー・カルタン1形式の成分にすぎない。^[96]

曲率の​​特徴付けは表面の局所的な幾何学のみに関係するが、ガウス・ボネの定理、均一化定理、フォン・マンゴルト・アダマールの定理、埋め込み可能性定理などの重要な大域的側面もある。表面の大域的幾何学には他にも重要な側面がある。^[97]これらには以下が含まれる。

• 単射半径は、 r未満の距離にある 2 つの点が最大のrとして定義されます。ヴィルヘルム・クリンゲンベルクは 1959 年に、閉じた曲面の単射半径がδ = ⁠の最小値によって制限されることを証明しました。π/√ Kを上回った⁠および最小の閉じた測地線の長さ。これは、正のガウス曲率の閉じた面の直径は常にδで上が制限されることを 1855 年に示したボネの定理を改良したものです。言い換えれば、2 点間の距離を実現する測地線の長さはδを超えることはできません。
• 剛性。1927年にコーン＝フォッセンは、等長な2つの卵形面（正のガウス曲率を持つ閉曲面）は、 E ³の等長変換によって必然的に合同であることを証明した。さらに、正のガウス曲率と一定の平均曲率を持つ閉じた埋め込み面は必然的に球面であり、同様に一定のガウス曲率の閉じた埋め込み面は球面でなければならない（リープマン 1899）。ハインツ・ホップは1950年に、一定の平均曲率と種数0、すなわち球面と同相である閉じた埋め込み面は必然的に球面であることを示した。5年後、アレクサンドロフは位相的仮定を排除した。1980年代に、ウェンテはユークリッド3次元空間に一定の平均曲率の埋め込みトーラスを構築した。
• カラテオドリ予想: この予想は、3 回微分可能な凸閉曲面には少なくとも 2 つの臍点が存在することを述べています。この予想に関する最初の研究は 1924 年にハンス・ハンバーガーによってなされました。ハンバーガーは、この予想が次のようなより強い主張から導かれると指摘しました。孤立した臍の主曲率葉脈の半整数値の指数は最大で 1 です。
• ガウス曲率がゼロ: ガウス曲率がゼロのE ³の完全な表面は、円筒または平面でなければなりません。
• ヒルベルトの定理（1901年）：一定の負の曲率を持つ完全な表面は、E ³に等長的に浸ることはできない。

• ウィルモア予想。この予想は、 E ³に浸されたトーラスの平均曲率の二乗の積分は2π ²以下に制限されるはずだというものである。積分はメビウス不変であることが知られている。この予想は 2012 年にフェルナンド・コダ・マルケスとアンドレ・ネベスによって解決された。^[98]
• 等周不等式。1939 年にシュミットは、ユークリッド平面上の曲線に対する古典的な等周不等式が球面または双曲面上でも有効であることを証明しました。つまり、彼は、一定面積の領域を囲むすべての閉曲線の中で、その曲線が距離に対して円であるときに周囲が最小になることを示しました。1 次元高い次元では、単位体積の境界領域の境界として生じるE ³のすべての閉曲面の中で、ユークリッド球の表面積が最小になることが知られています。
• 曲面上の曲線のシストリック不等式。閉曲面が与えられたとき、そのシストリックは曲面上の非収縮閉曲線の最小の長さとして定義される。1949年に、ローナーはトーラス上の計量に対するトーラス不等式、すなわちトーラスの面積をシストリックの平方で割った値が ⁠ で下方に制限されることを証明した。√3​/2⁠、平坦（曲率が一定）な場合には等式となる。 1952年の実射影平面に対するPuの不等式でも同様の結果が得られ、下限は⁠となる。2/π⁠ は定曲率の場合にも達成される。クライン壷については、ブラッターとババードは後に⁠の下限を得た。√8​/π⁠ 。種数gの閉曲面の場合、Hebda と Burago は、比が⁠ によって制限されることを示した。1/2⁠。3年後、ミハイル・グロモフは定数倍のg ^{1 ⁄ 2}で与えられる下限値を発見したが、これは最適ではない。定数倍の漸近的に鋭い上限値と下限値は⁠グ/(log g ) ^{2 （ロググラム）}⁠ はグロモフとブザー＝サルナックによるもので、カッツ (2007) に載っています。球面上の計量のバージョンもあり、最小の閉測地線の長さをシストールとしてとります。グロモフは⁠の下限を予想しました。1/2√3​​⁠ 1980年: これまでのところ最高の結果は、 ⁠の下限値です1/8⁠ 2006年にレジーナ・ロットマンによって取得されました。 ^[99]

ガウス以前から現代までの歴史的発展を概観した、この主題の最も包括的な入門書の 1 つが Berger (2004) です。古典理論の説明は、Eisenhart (2004)、Kreyszig (1991)、Struik (1988) で提供されています。より現代的な、豊富な図解を備えた学部生向けの教科書である Gray、Abbena & Salamon (2006)、Pressley (2001)、Wilson (2008) の方がわかりやすいかもしれません。古典理論のわかりやすい説明は、Hilbert & Cohn-Vossen (1952) にあります。表面上のリーマン接続を使用した、より洗練された大学院レベルの扱いは、Singer & Thorpe (1967)、do Carmo (2016)、O'Neill (2006) にあります。

• 接線ベクトル
• ゾル表面

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• アーノルド、VI（1989）、古典力学の数学的方法、Graduate Texts in Mathematics、第60巻（第2版）、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-90314-9; ロシア語からの翻訳はK. VogtmannとA. Weinsteinによる。
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• ウィキメディア・コモンズの微分幾何学面に関するメディア