定義と用途 ユークリッド空間 の部分集合上の分布 に作用する線形微分演算子 L = L ( x ) のグリーン関数G ( x , s )R n \displaystyle \mathbb {R} ^{n}} sにおける は 、 の任意の解である。
ここで、δは ディラックのデルタ関数 である。グリーン関数のこの性質を利用して、次の形式の微分方程式を解くことができる。
L 核 が非自明な場合、グリーン関数は一意ではありません。しかし実際には、対称性 、境界条件 、および/またはその他の外部から課せられた基準の組み合わせによって、一意のグリーン関数が得られます。グリーン関数は、満たされる境界条件の種類に応じて、グリーン関数番号 によって分類できます。グリーン関数は必ずしも実変数の関数ではなく、一般的に 分布 の意味で理解されます。
グリーン関数は、波動方程式 や拡散方程式 を解く際にも有用なツールです。[ 4 ] [ 5 ] 量子力学 では、ハミルトニアン のグリーン関数は、状態密度 の概念と重要なつながりを持つ重要な概念です。
物理学で使用されるグリーン関数は、通常、反対の符号で定義されます。つまり、 L G （ x 、 s ） = δ （ x − s ） 。 {\displaystyle LG(x,s)=\delta (xs)\,.} 偶関数性 により、グリーン関数の特性を大きく変えるものではありません。
演算子が並進不変で ある場合、つまり、L {\displaystyle L} x に関して定数係数 を持つ場合、グリーン関数は畳み込みカーネル とみなすことができ、すなわち、 G （ x 、 s ） = G （ x − s ） 。 {\displaystyle G(x,s)=G(xs)\,.} 線形時不変システム理論 のインパルス応答と同じである。
モチベーション 大まかに言えば、演算子L G が 見つかる場合、グリーン関数の式 1に f ( s )を掛け、 s に関して積分すると、次の式が得られます。 ∫ L G （ x 、 s ） f （ s ） d s = ∫ δ （ x − s ） f （ s ） d s = f （ x ） 。 {\displaystyle \int LG(x,s)\,f(s)\,ds=\int \delta (xs)\,f(s)\,ds=f(x)\,.} L = L （ x ） {\displaystyle L=L(x)} x にのみ作用し(積分変数sには 作用しない )、演算子を次のように取ることができます。L {\displaystyle L} L （ ∫ G （ x 、 s ） f （ s ） d s ） = f （ x ） 。 {\displaystyle L\left(\int G(x,s)\,f(s)\,ds\right)=f(x)\,.}
は方程式の解ですL u （ x ） = f （ x ） 。 {\displaystyle Lu(x)=f(x)\,.}
したがって、式 1 式 2 u ( x )L
言い換えれば、方程式 2の解 u ( x ) は、方程式 3 f ( x )は既知ですが、 G も既知でない限り、この積分は実行できません。問題は、方程式 1 G を見つけることです。このため、グリーン関数は、演算子L に関連付けられた基本解 とも呼ばれることがあります。
すべてのオペレーターがそうではないL {\displaystyle L} L 右逆関数 と考えることもできる。特定の演算子に対するグリーン関数を見つける難しさとは別に、式 3
これは、ディラックのデルタ関数 基底に従ってf を展開したものと考えることができます( f を射影する)δ （ x − s ） {\displaystyle \delta (xs)} 射影 における解の重ね合わせ。このような積分方程式はフレドホルム積分方程式 として知られており、その研究がフレドホルム理論 を構成する。
数学におけるグリーン関数の主な用途は、非同次境界値問題を 解くことである。現代の理論物理学 では、グリーン関数は通常、ファインマン図 における伝播関数としても用いられる。また 、グリーン関数という 用語は、相関関数 全般を指す場合にもよく用いられる。
定理 解決策はただ一つしかないu （ x ） {\displaystyle u(x)} L u = f D u = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}Lu&=f\\\mathbf {D} u&=\mathbf {0} \end{aligned}}} u （ x ） = ∫ 0 ℓ f （ s ） G （ x 、 s ） d s 、 {\displaystyle u(x)=\int _{0}^{\ell }f(s)\,G(x,s)\,ds\,,} G （ x 、 s ） {\displaystyle G(x,s)}
G （ x 、 s ） {\displaystyle G(x,s)} x {\displaystyle x} s {\displaystyle s} のためにx ≠ s {\displaystyle x\neq s\,} L G （ x 、 s ） = 0 {\displaystyle LG(x,s)=0} のためにs ≠ 0 {\displaystyle s\neq 0\,} D G （ x 、 s ） = 0 {\displaystyle \mathbf {D} G(x,s)=\mathbf {0} } 派生語 「ジャンプ」： G ′ （ s 0 + 、 s ） − G ′ （ s 0 − 、 s ） = 1 / p （ s ） {\displaystyle G'(s_{0+},s)-G'(s_{0-},s)=1/p(s)\,} 対称： G （ x 、 s ） = G （ s 、 x ） {\displaystyle G(x,s)=G(s,x)\,}
グリーン関数は必ずしも一意ではありません。なぜなら、同次方程式の任意の解をあるグリーン関数に加えると、別のグリーン関数が得られるからです。したがって、同次方程式が非自明な解を持つ場合、複数のグリーン関数が存在します。特定の境界値問題 や初期値 問題では、ある条件を満たす場合にのみゼロにならないグリーン関数を見つける必要があります。s ≤ x {\displaystyle s\leq x} [ 6 ] s ≥ x {\displaystyle s\geq x} [ 7 ] x {\displaystyle x} [ 8 ]
変数 x が時間に対応する場合、先行グリーン関数と遅延グリーン関数という用語は特に有用です。このような場合、遅延グリーン関数を使用した解は過去のソースのみに依存し、因果的 ですが、先行グリーン関数を使用した解は未来のソースのみに依存し、非因果的です。これらの問題では、因果的な解が物理的に重要なものである場合がよくあります。ただし、ソースを境界データから見つける必要がある特定の逆問題の解を見つける際には、先行グリーン関数が有用です。先行グリーン関数と遅延グリーン関数の使用は、特に 非均質電磁波方程式 の解の解析でよく見られます。[ 9 ]
固有値展開 微分作用素 L が完全な固有ベクトル の集合Ψ n x ) (すなわち、L Ψ n = λ n Ψ n Ψ n とスカラーλ n 固有値 からグリーン関数を構成することが可能です。
「完全」とは、関数の集合{Ψ n 次の完全性関係 を満たすことを意味する。 δ （ x − x ′ ） = ∑ n = 0 ∞ Ψ n † （ x ′ ） Ψ n （ x ） 。 {\displaystyle \delta (x-x')=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}^{\dagger }(x')\Psi _{n}(x).}
すると、次のことが成り立つ。
G （ x 、 x ′ ） = ∑ n = 0 ∞ Ψ n † （ x ′ ） Ψ n （ x ） λ n 、 {\displaystyle G(x,x')=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {\Psi _{n}^{\dagger }(x')\Psi _{n}(x)}{\lambda _{n}}},}
どこ† {\displaystyle \dagger }
この等式の両辺に演算子Lを適用すると、仮定されていた完全性関係が得られる。
上記の形式で記述されたグリーン関数の一般的な研究と、固有ベクトルによって形成される関数空間との関係は、 フレドホルム理論 として知られています。
グリーン関数を求める方法は他にもいくつかあり、鏡像法 、変数分離法 、ラプラス変換 などがある。[ 10 ]
微分演算子L {\displaystyle L} L = L 1 L 2 {\displaystyle L=L_{1}L_{2}} L {\displaystyle L} L 1 {\displaystyle L_{1}} L 2 {\displaystyle L_{2}} G （ x 、 s ） = ∫ G 2 （ x 、 s 1 ） G 1 （ s 1 、 s ） d s 1 。 {\displaystyle G(x,s)=\int G_{2}(x,s_{1})\,G_{1}(s_{1},s)\,ds_{1}.} G （ x 、 s ） {\displaystyle G(x,s)} L {\displaystyle L} 可逆線形演算子 の場合と同様 C {\displaystyle C} C = （ A B ） − 1 = B − 1 A − 1 {\displaystyle C=(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}} C 私 、 j {\displaystyle C_{i,j}}
微分演算子が導関数のスカラー多項式である場合、さらに次の恒等式が成り立つ。L = P N （ ∂ x ） {\displaystyle L=P_{N}(\partial _{x})} 定理 と、 ∂ x {\displaystyle \partial _{x}} 自身と可換であり 、多項式が因数分解できることを保証し、L {\displaystyle L} L = ∏ 私 = 1 N （ ∂ x − z 私 ） 、 {\displaystyle L=\prod _{i=1}^{N}\left(\partial _{x}-z_{i}\right),} z 私 {\displaystyle z_{i}} P N （ z ） {\displaystyle P_{N}(z)} フーリエ変換 をとると L G （ x 、 s ） = δ （ x − s ） {\displaystyle LG(x,s)=\delta (x-s)} x {\displaystyle x} s {\displaystyle s} G ^ （ k x 、 k s ） = δ （ k x − k s ） ∏ 私 = 1 N （ 私 k x − z 私 ） 。 {\displaystyle {\widehat {G}}(k_{x},k_{s})={\frac {\delta (k_{x}-k_{s})}{\prod _{i=1}^{N}(ik_{x}-z_{i})}}.} その後、部分分数分解 を使用して分数を和に分割し、フーリエ変換してx {\displaystyle x} s {\displaystyle s} L = （ ∂ x + γ ） （ ∂ x + α ） 2 {\displaystyle L=\left(\partial _{x}+\gamma \right)\left(\partial _{x}+\alpha \right)^{2}} G （ x 、 s ） = 1 （ γ − α ） 2 Θ （ x − s ） e − γ （ x − s ） − 1 （ γ − α ） 2 Θ （ x − s ） e − α （ x − s ） + 1 γ − α Θ （ x − s ） （ x − s ） e − α （ x − s ） = ∫ Θ （ x − s 1 ） （ x − s 1 ） e − α （ x − s 1 ） Θ （ s 1 − s ） e − γ （ s 1 − s ） d s 1 。 {\displaystyle {\begin{aligned}G(x,s)&={\frac {1}{\left(\gamma -\alpha \right)^{2}}}\Theta (x-s)e^{-\gamma (x-s)}-{\frac {1}{\left(\gamma -\alpha \right)^{2}}}\Theta (x-s)e^{-\alpha (x-s)}+{\frac {1}{\gamma -\alpha }}\Theta (x-s)\left(x-s\right)e^{-\alpha (x-s)}\\[1ex]&=\int \Theta (x-s_{1})\left(x-s_{1}\right)e^{-\alpha (x-s_{1})}\Theta (s_{1}-s)e^{-\gamma (s_{1}-s)}\,ds_{1}.\end{aligned}}} ∇ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}}
ラプラシアン を含む線形微分演算子に対するグリーン関数は、グリーン恒等式 の2番目を使用することで容易に利用できる。
グリーンの定理を導出するには、発散定理（ ガウスの定理 としても知られる）から始めます。 ∫ V ∇ ⋅ A d V = ∫ S A ⋅ d σ ^ 。 {\displaystyle \int _{V}\nabla \cdot \mathbf {A} \,dV=\int _{S}\mathbf {A} \cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}\,.}
させてA = φ ∇ ψ − ψ ∇ φ {\displaystyle \mathbf {A} =\varphi \,\nabla \psi -\psi \,\nabla \varphi }
計算する∇ ⋅ A {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} } ∇ ⋅ A = ∇ ⋅ （ φ ∇ ψ − ψ ∇ φ ） = （ ∇ φ ） ⋅ （ ∇ ψ ） + φ ∇ 2 ψ − （ ∇ φ ） ⋅ （ ∇ ψ ） − ψ ∇ 2 φ = φ ∇ 2 ψ − ψ ∇ 2 φ 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {A} &=\nabla \cdot \left(\varphi \,\nabla \psi \;-\;\psi \,\nabla \varphi \right)\\&=(\nabla \varphi )\cdot (\nabla \psi )\;+\;\varphi \,\nabla ^{2}\psi \;-\;(\nabla \varphi )\cdot (\nabla \psi )\;-\;\psi \nabla ^{2}\varphi \\&=\varphi \,\nabla ^{2}\psi \;-\;\psi \,\nabla ^{2}\varphi .\end{aligned}}}
これを発散定理に代入すると、グリーンの定理 が得られる。 ∫ V （ φ ∇ 2 ψ − ψ ∇ 2 φ ） d V = ∫ S （ φ ∇ ψ − ψ ∇ φ ） ⋅ d σ ^ 。 {\displaystyle \int _{V}\left(\varphi \,\nabla ^{2}\psi -\psi \,\nabla ^{2}\varphi \right)dV=\int _{S}\left(\varphi \,\nabla \psi -\psi \nabla \,\varphi \right)\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}.}
線形微分演算子L がラプラシアン ∇ 2 であり、ラプラシアンに対するグリーン関数G が存在すると仮定します。グリーン関数の定義特性は依然として成り立ちます。 L G （ x 、 x ′ ） = ∇ 2 G （ x 、 x ′ ） = δ （ x − x ′ ） 。 {\displaystyle LG(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\nabla ^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ').}
させてψ = G {\displaystyle \psi =G} グリーンの恒等式 を参照してください。次に、 ∫ V [ φ （ x ′ ） δ （ x − x ′ ） − G （ x 、 x ′ ） ∇ ′ 2 φ （ x ′ ） ] d 3 x ′ = ∫ S [ φ （ x ′ ） ∇ ′ G （ x 、 x ′ ） − G （ x 、 x ′ ） ∇ ′ φ （ x ′ ） ] ⋅ d σ ^ ′ 。 {\displaystyle \int _{V}\left[\varphi (\mathbf {x} ')\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')-G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,{\nabla '}^{2}\,\varphi (\mathbf {x} ')\right]d^{3}\mathbf {x} '=\int _{S}\left[\varphi (\mathbf {x} ')\,{\nabla '}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')-G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,{\nabla '}\varphi (\mathbf {x} ')\right]\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'.}
この式を用いることで、ノイマン 境界条件またはディリクレ 境界条件のいずれかを満たすラプラス方程式 ∇ 2 φ ( x ) = 0 またはポアソン方程式 ∇ 2 φ ( x ) = − ρ ( x ) を解くことができます。言い換えれば、体積内部のあらゆる場所でφ ( x )を求めることができ、その場合、(1) 体積の境界表面上で φ ( x ) の値が指定されている場合(ディリクレ境界条件)、または (2) 境界表面上でφ ( x ) の法線微分が指定されている場合 (ノイマン境界条件) のいずれかになります。
問題が領域内の φ ( x )を求めることであると仮定します。すると積分は∫ V φ （ x ′ ） δ （ x − x ′ ） d 3 x ′ {\displaystyle \int _{V}\varphi (\mathbf {x} ')\,\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')\,d^{3}\mathbf {x} '} ディラックのデルタ関数 の定義特性により、 φ ( x )φ （ x ） = − ∫ V G （ x 、 x ′ ） ρ （ x ′ ） d 3 x ′ + ∫ S [ φ （ x ′ ） ∇ ′ G （ x 、 x ′ ） − G （ x 、 x ′ ） ∇ ′ φ （ x ′ ） ] ⋅ d σ ^ ′ 。 {\displaystyle \varphi (\mathbf {x} )=-\int _{V}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,\rho (\mathbf {x} ')\,d^{3}\mathbf {x} '+\int _{S}\left[\varphi (\mathbf {x} ')\,\nabla 'G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')-G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,\nabla '\varphi (\mathbf {x} ')\right]\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'.}
この形式は調和関数 のよく知られた性質、すなわち境界曲面上での値または法線微分が分かっていれば、体積内部の関数の値はどこでも分かるという 性質を表しています。
静電気学 では、φ ( x )は電位 、ρ ( x ) は密度 、 そして法線微分は∇ φ （ x ′ ） ⋅ d σ ^ ′ {\displaystyle \nabla \varphi (\mathbf {x} ')\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'}
ディリクレ境界値問題を解く場合、境界曲面上にx またはx′ があるときにG ( x , x ′ )がゼロになるようにグリーン関数を選択する必要があります。したがって、面積分内 の 2 つの項のうち 1 つだけが残ります。ノイマン境界値問題を解く場合、境界曲面上で法線微分がゼロになるようにグリーン関数を選択するのが論理的に思えるかもしれません。しかし、グリーン関数を定義する微分方程式にガウスの定理を適用すると、 ∫ S ∇ ′ G （ x 、 x ′ ） ⋅ d σ ^ ′ = ∫ V ∇ ′ 2 G （ x 、 x ′ ） d 3 x ′ = ∫ V δ （ x − x ′ ） d 3 x ′ = 1 、 {\displaystyle \int _{S}\nabla 'G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'=\int _{V}\nabla '^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,d^{3}\mathbf {x} '=\int _{V}\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')\,d^{3}\mathbf {x} '=1\,,} つまり、 G ( x , x ′ ) の法線微分は表面上でゼロになることはできない。なぜなら、表面上では積分すると1になるからである。[ 14 ]
法線微分が取り得る最も単純な形式は定数、すなわち1/ S であり、S ∫ S φ （ x ′ ） ∇ ′ G （ x 、 x ′ ） ⋅ d σ ^ ′ = ⟨ φ ⟩ S {\displaystyle \int _{S}\varphi (\mathbf {x} ')\,\nabla 'G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'=\langle \varphi \rangle _{S}} ⟨ φ ⟩ S {\displaystyle \langle \varphi \rangle _{S}}
境界条件がない場合、ラプラシアンのグリーン関数（3変数ラプラス方程式のグリーン関数 ）は次のようになります。 G （ x 、 x ′ ） = − 1 4 π | x − x ′ | 。 {\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=-{\frac {1}{4\pi \left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|}}.}
境界面が無限遠まで伸びていると仮定し、グリーン関数のこの式を代入すると、最終的に電荷密度による電位の標準的な式が得られます。
φ （ x ） = ∫ V ρ （ x ′ ） 4 π ε | x − x ′ | d 3 x ′ 。 {\displaystyle \varphi (\mathbf {x} )=\int _{V}{\dfrac {\rho (\mathbf {x} ')}{4\pi \varepsilon \left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|}}\,d^{3}\mathbf {x} '\,.}
例 次の問題に対するグリーン関数を求めなさい。グリーン関数の番号 はX11です。 L u = u 」 + k 2 u = f （ x ） u （ 0 ） = 0 、 u （ π 2 k ） = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}Lu&=u''+k^{2}u=f(x)\\u(0)&=0,\quad u{\left({\tfrac {\pi }{2k}}\right)}=0.\end{aligned}}}
最初のステップ： 対象となる線形演算子のグリーン関数は、次の解として定義されます。
もしx ≠ s {\displaystyle x\neq s} G （ x 、 s ） = c 1 コス k x + c 2 罪 k x 。 {\displaystyle G(x,s)=c_{1}\cos kx+c_{2}\sin kx.}
のためにx < s {\displaystyle x<s} x = 0 {\displaystyle x=0} G （ 0 、 s ） = c 1 ⋅ 1 + c 2 ⋅ 0 = 0 、 c 1 = 0 {\displaystyle G(0,s)=c_{1}\cdot 1+c_{2}\cdot 0=0,\quad c_{1}=0} x < s {\displaystyle x<s} s ≠ π 2 k {\displaystyle s\neq {\tfrac {\pi }{2k}}}
のためにx > s {\displaystyle x>s} x = π 2 k {\displaystyle x={\tfrac {\pi }{2k}}} G （ π 2 k 、 s ） = c 3 ⋅ 0 + c 4 ⋅ 1 = 0 、 c 4 = 0 {\displaystyle G{\left({\tfrac {\pi }{2k}},s\right)}=c_{3}\cdot 0+c_{4}\cdot 1=0,\quad c_{4}=0}
方程式G （ 0 、 s ） = 0 {\displaystyle G(0,s)=0}
これまでの結果をまとめると以下のようになります。 G （ x 、 s ） = { c 2 罪 k x 、 のために x < s 、 c 3 コス k x 、 のために s < x 。 {\displaystyle G(x,s)={\begin{cases}c_{2}\sin kx,&{\text{for }}x<s,\\[0.4ex]c_{3}\cos kx,&{\text{for }}s<x.\end{cases}}}
第二段階： 次のタスクは決定することですc 2 {\displaystyle c_{2}} c 3 {\displaystyle c_{3}}
グリーンの機能の継続性を確保するx = s {\displaystyle x=s} c 2 罪 k s = c 3 コス k s {\displaystyle c_{2}\sin ks=c_{3}\cos ks}
定義微分方程式（すなわち式 * x = s − ε {\displaystyle x=s-\varepsilon } x = s + ε {\displaystyle x=s+\varepsilon } ε {\displaystyle \varepsilon } c 3 ⋅ （ − k 罪 k s ） − c 2 ⋅ （ k コス k s ） = 1 {\displaystyle c_{3}\cdot (-k\sin ks)-c_{2}\cdot (k\cos ks)=1}
2つの（不）連続方程式は、c 2 {\displaystyle c_{2}} c 3 {\displaystyle c_{3}} c 2 = − コス k s k ; c 3 = − 罪 k s k {\displaystyle c_{2}=-{\frac {\cos ks}{k}}\quad ;\quad c_{3}=-{\frac {\sin ks}{k}}}
この問題に対するグリーン関数は次のようになります。 G （ x 、 s ） = { − コス k s k 罪 k x 、 x < s 、 − 罪 k s k コス k x 、 s < x 。 {\displaystyle G(x,s)={\begin{cases}-{\frac {\cos ks}{k}}\sin kx,&x<s,\\-{\frac {\sin ks}{k}}\cos kx,&s<x.\end{cases}}}
その他の例 n = 1R を d d x {\textstyle {\frac {d}{dx}}} ヘヴィサイド階段関数 Θ( x − x 0 )は、 x 0 L n = 2{( x , y ) : x , y ≥ 0} とし、Lを ラプラシアン とする。また、 x = 0 でディリクレ境界条件 、y = 0 でノイマン境界条件 が課せられていると仮定する。このとき、X10Y20 グリーン関数はG （ x 、 y 、 x 0 、 y 0 ） = 1 2 π [ ln （ x − x 0 ） 2 + （ y − y 0 ） 2 − ln （ x + x 0 ） 2 + （ y − y 0 ） 2 + ln （ x − x 0 ） 2 + （ y + y 0 ） 2 − ln （ x + x 0 ） 2 + （ y + y 0 ） 2 ] 。 {\displaystyle {\begin{aligned}G(x,y,x_{0},y_{0})={\dfrac {1}{2\pi }}&\left[\ln {\sqrt {\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}}-\ln {\sqrt {\left(x+x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}}\right.\\[5pt]&\left.{}+\ln {\sqrt {\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y+y_{0}\right)^{2}}}-\ln {\sqrt {\left(x+x_{0}\right)^{2}+\left(y+y_{0}\right)^{2}}}\,\right].\end{aligned}}} させて1 < x < b {\displaystyle a<x<b} f : R → R {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } n {\displaystyle n} [ 1 、 b ] {\displaystyle [a,b]} f （ x ） = ∑ m = 0 n − 1 （ x − 1 ） m m ! [ d m f d x m ] x = 1 + ∫ 1 b [ （ x − s ） n − 1 （ n − 1 ） ! Θ （ x − s ） ] [ d n f d x n ] x = s d s 。 {\displaystyle f(x)=\sum _{m=0}^{n-1}{\frac {(x-a)^{m}}{m!}}\left[{\frac {d^{m}f}{dx^{m}}}\right]_{x=a}+\int _{a}^{b}\left[{\frac {(x-s)^{n-1}}{(n-1)!}}\Theta (x-s)\right]\left[{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}\right]_{x=s}ds\,.} G （ x 、 s ） = （ x − s ） n − 1 （ n − 1 ） ! Θ （ x − s ） {\displaystyle G(x,s)={\frac {(x-s)^{n-1}}{(n-1)!}}\Theta (x-s)} g （ x − s ） {\displaystyle g(x-s)} G （ x 、 s ） {\displaystyle G(x,s)} g （ x ） {\displaystyle g(x)} d n g d x n = 0 {\textstyle {\frac {d^{n}g}{dx^{n}}}=0} x ∈ [ 1 、 b ] {\displaystyle x\in [a,b]} g （ x ） = − x / 2 {\displaystyle g(x)=-x/2} n = 2 {\displaystyle n=2} テイラー級数 の形式と比較してください。x = 1 {\displaystyle x=a}
参考文献 ↑ Wright, MCM (2006-10-01). "Green function or Green's function?" . Nature Physics . 2 (10): 646. Bibcode : 2006NatPh...2..646W . doi : 10.1038/nphys411 . ISSN 1745-2473 . 1 2 Stakgold, Ivar (1998). Green's Functions and Boundary Value Problems . Pure and Applied Mathematics (2nd ed.). New York: John Wiley & Sons, Inc. p. 192. ISBN 978-0-471-61022-9 。↑ Nair, VP (2005). Quantum Field Theory: A Modern Perspective . Graduate Texts in Contemporary Physics. New York, NY: Springer. pp. 1–51 . ISBN 978-0-387-21386-6 。↑ Khorrami, Mohammad (2021). "異なる次元における波動方程式のグリーン関数" . Miskolc Mathematical Notes . 22 (2): 721. doi : 10.18514/mmn.2021.2922 . ISSN 1787-2405 . ↑ Yu, Xiao; Lan, Kunquan; Wu, Jianhong (2021). "グリーン関数、線形2階微分方程式、および1次元拡散移流モデル" . Studies in Applied Mathematics . 147 (1): 319– 362. doi : 10.1111/sapm.12384 . ISSN 1467-9590 . ↑ Chu, Yi-Zen; Starkman, Glenn D. (2011-11-10), "Retarded Green's functions in perturbed spacetimes for cosmology and gravitational physics", Physical Review D , 84 (12) 124020, arXiv : 1108.1825 , Bibcode : 2011PhRvD..84l4020C , doi : 10.1103/PhysRevD.84.124020 ↑ Soares de Castro, Antonio (2024-09-01). "1階微分方程式に対する遅延グリーン関数と前進グリーン関数" . Physica Scripta . 99 (9): 096101. Bibcode : 2024PhyS...99i6101S . doi : 10.1088/1402-4896/ad6bc7 . hdl : 11449/306687 . ISSN 0031-8949 . ↑ カマルゴ、ルーベンス・デ・フィゲイレド。キアッキオ、アリー・オロジンボ。デ・オリベイラ、エドムンド・カペラス (2013-03-06)。 「片面グリーン関数と両面グリーン関数」 。 境界値の問題 。 2013 (1): 45. 土井 : 10.1186/1687-2770-2013-45 。 hdl : 11449/113526 。 ISSN 1687-2770 。 ↑ ジャクソン、ジョン・デヴィッド (2009)。 古典電気力学 (第 3 版、[Nachdr.] 版)。ニューヨーク州ホーボーケン：ワイリー。 ISBN 978-0-471-30932-1 。↑ Cole, KD; Beck, JV; Haji-Sheikh, A.; Litkouhi, B. (2011). "グリーン関数を得るための方法". グリーン関数を用いた熱伝導 . Taylor and Francis. pp. 101–148 . ISBN 978-1-4398-1354-6 。↑ いくつかの例はSchulz, Hermann (2001) から引用。 Physik mit Bleistift: das Analytische Handwerkszeug des Naturwissenschaftlers (4. Aufl ed.)。フランクフルト・アム・マイン: ドイツ語。 ISBN 978-3-8171-1661-4 。 ↑ シュービン、ミハイル (2020) 。 www.ams.org . 数学大学院研究 (GSM). プロビデンス、ロードアイランド州: アメリカ数学会 (AMS). p. 127 (第 6 章: 調和関数) . 2025-12-23 に取得.↑ エヴァンス、ローレンス C. (2022). 偏微分方程式 . 大学院数学研究（第2 版）. プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会. p. 200. ISBN 978-1-4704-6942-9 。↑ ジャクソン、ジョン・デイビッド (1998-08-14). 古典電磁気学 . ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. p. 39.
引用文献 Bayin, SS (2006). Mathematical Methods in Science and Engineering . Wiley. Chapters 18 and 19. アイゲス、レオナルド（1972）。古典電磁場 。ニューヨーク：ドーバー出版。ISBN 0-486-63947-9 。 第 5章では、静電気学における境界値問題を解くためにグリーン関数を用いる方法について、非常に分かりやすく解説している。 ポリアニン、AD; ザイツェフ、VF (2003).常微分方程式の厳密解ハンドブック （第2 版）. フロリダ州ボカラトン：チャップマン＆ホール/CRCプレス. ISBN 1-58488-297-2 。 バートン、ガブリエル（1989）。グリーン関数と伝播の要素：電位、拡散、波動 。オックスフォード科学出版。オックスフォード ：ニューヨーク：クラレンドン・プレス；オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0-19-851988-1 。 グリーン関数の解説書（手順を追って説明）。 ポリアニーン、AD（2002）。 『エンジニアと 科学者のための線形偏微分方程式ハンドブック』 。フロリダ州ボカラトン：チャップマン＆ホール／CRCプレス。ISBN 1-58488-299-9 。 マシューズ、ジョン；ウォーカー、ロバート・L.（1970）。物理学の数学的方法 （第2 版）。ニューヨーク：WAベンジャミン。ISBN 0-8053-7002-1 。 Folland, GB著 『フーリエ解析とその応用』 数学シリーズ。Wadsworth and Brooks/Cole社。グリーン、G（1828）。電気と磁気の理論への数学的解析の応用に関するエッセイ 。ノッティンガム、イングランド：T. ホイールハウス。10-12ページ。 Faryad and, M.; Lakhtakia, A. (2018). Infinite-Space Dyadic Green Functions in Electromagnetism . London, UK / San Rafael, CA: IoP Science (UK) / Morgan and Claypool (US). Bibcode : 2018idgf.book.....F . ISBN 978-1-68174-557-2 。 Şeremet, VD (2003).グリーン関数と行列のハンドブック . サウサンプトン: WIT Press. ISBN 978-1-85312-933-9 。 
![{\displaystyle L={\dfrac {d}{dx}}\left[p(x){\dfrac {d}{dx}}\right]+q(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5d3fd6df18b34bdfbba804fbc99e3e6dda15291)
![{\displaystyle [0,\ell ]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a8f5818a03081009018fc028c713c925de6c1b1)
![{\displaystyle [a,b]\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72fef19f5d726e6d71a11d41a3d8d46d692d9e19)
![{\displaystyle {\begin{aligned}G(x,s)&={\frac {1}{\left(\gamma -\alpha \right)^{2}}}\Theta (xs)e^{-\gamma (xs)}-{\frac {1}{\left(\gamma -\alpha \right)^{2}}}\Theta (xs)e^{-\alpha (xs)}+{\frac {1}{\gamma -\alpha }}\Theta (xs)\left(xs\right)e^{-\alpha (xs)}\\[1ex]&=\int \Theta (x-s_{1})\left(x-s_{1}\right)e^{-\alpha (x-s_{1})}\Theta (s_{1}-s)e^{-\gamma (s_{1}-s)}\,ds_{1}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b618a4d5e86ad85324802640e1224eefe701fb88)
![{\displaystyle \int _{V}\left[\varphi (\mathbf {x} ')\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')-G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,{\nabla '}^{2}\,\varphi (\mathbf {x} ')\right]d^{3}\mathbf {x} '=\int _{S}\left[\varphi (\mathbf {x} ')\,{\nabla '}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')-G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,{\nabla '}\varphi (\mathbf {x} ')\right]\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2081611a48e5f745ead5696edd75afcea51a17a4)
![{\displaystyle \varphi (\mathbf {x} )=-\int _{V}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,\rho (\mathbf {x} ')\,d^{3}\mathbf {x} '+\int _{S}\left[\varphi (\mathbf {x} ')\,\nabla 'G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')-G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,\nabla '\varphi (\mathbf {x} ')\right]\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5794de11e41281313ec24d0f2b75ad20f42ba286)
![{\displaystyle G(x,s)={\begin{cases}c_{2}\sin kx,&{\text{for }}x<s,\\[0.4ex]c_{3}\cos kx,&{\text{for }}s<x.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6c653101af1959f15082dffc96effa1371fe449)
![{\displaystyle {\begin{aligned}G(x,y,x_{0},y_{0})={\dfrac {1}{2\pi }}&\left[\ln {\sqrt {\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}}-\ln {\sqrt {\left(x+x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}}\right.\\[5pt]&\left.{}+\ln {\sqrt {\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y+y_{0}\right)^{2}}}-\ln {\sqrt {\left(x+x_{0}\right)^{2}+\left(y+y_{0}\right)^{2}}}\,\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a48e894755b8bec27b8e5255f1aa1946d91a222)
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle f(x)=\sum _{m=0}^{n-1}{\frac {(xa)^{m}}{m!}}\left[{\frac {d^{m}f}{dx^{m}}}\right]_{x=a}+\int _{a}^{b}\left[{\frac {(xs)^{n-1}}{(n-1)!}}\Theta (xs)\right]\left[{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}\right]_{x=s}ds\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a482e6b86452bc1eeee1ea7373df0c85ced263c3)
![{\displaystyle x\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/026357b404ee584c475579fb2302a4e9881b8cce)
