十二面体

幾何学において、十二面体（古代ギリシャ語の δωδεκάεδρον ( dohdekáedron )に由来; δώδεκα ( dṓdeka )  「12」とἕδρα ( hédra )  「底面、座面、面」に由来）または十二面体^[1]は、 12 個の平面を持つ多面体である。最もよく知られている十二面体は、正五角形を面とする正十二面体で、プラトンの立体である。凸形の星型として構成される正星型十二面体も 3 つある。これらはすべて、120 次で正二十面体対称性を持つ。

いくつかの正十二面体は、正十二面体と同じ組み合わせ構造（頂点と辺によって形成されるグラフに関して）を持ちますが、その五角形の面は正則ではありません。黄鉄鉱によく見られる結晶形である黄鉛面体は黄鉛面対称性を持ち、四面体型は四面体対称性を持ちます。

菱形十二面体は、ピリトヘドロンの極限ケースとみなすことができ、八面体対称性を持っています。細長い十二面体と台形菱形十二​​面体のバリエーションは、菱形十二面体とともに、空間充填型です。その他の十二面体も多数あります。

正十二面体は他のプラトン立体と多くの特徴を共有していますが、そのユニークな性質の1つは、面の角から始めて、他の角を横切ることなく元の点に戻る無限の直線を図形全体に描くことができることです。^[2]

凸正十二面体は、5つの正プラトン立体のうちの1つであり、シュレーフリ記号{5, 3} で表すことができます。

二重多面体は正二十面体{3, 5}であり、各頂点の周りに5つの正三角形があります。

凸正十二面体には 3 つの星型もあり、そのすべてが正星型十二面体です。これらは 4 つのケプラー・ポアンソ多面体のうちの 3 つを形成します。これらは、小星型十二面体{5/2, 5}、大十二面体{5, 5/2}、大星型十二面体{5/2, 3} です。小星型十二面体と大十二面体は互いに双対であり、大星型十二面体は大二十面体{3, 5/2} と双対です。これらの正星型十二面体はすべて、正五角形または正五芒星形の面を持っています。凸正十二面体と大星型十二面体は、同じ抽象的な正多面体の異なる実現です。小さな星型十二面体と大きな十二面体は、別の抽象的な正多面体の異なる実現です。

結晶学では、立方晶系のいくつかの対称性クラスにおける結晶形態として、正十二面体と位相的に同等だが対称性が低い、黄鉛面体対称性を持つ黄鉛面体と四面体対称性を持つ四面体という2 つの重要な十二面体が存在します。

ピリトヘドロンは、ピリトヘドロン（Th _）対称性を持つ十二面体です。正十二面体と同様に、12の同一の五角形の面があり、20の頂点のそれぞれで3つが交わります（図を参照）。^{[3]しかし、五角形は正則である必要はなく、基礎となる原子配列には真の五回対称軸はありません。30の辺は2つのセットに分かれており、それぞれ同じ長さの辺が24と6です。}回転対称の軸は、互いに垂直な3つの2回軸と4つの3回軸のみです。

正十二面体は結晶中には存在しないが、黄鉄鉱という鉱物の結晶には黄銅面体の形が存在し、これが正プラトン立体形の発見のきっかけとなった可能性がある。真の正十二面体は、正二十面体対称性を持つ準結晶（ホルミウム・マグネシウム・亜鉛準結晶など）の形状として存在することがあり、これには真の五回回転軸が含まれる。

結晶黄鉄鉱という名前は、黄鉄鉱が示す2 つの一般的な結晶習性のうちの 1 つに由来しています(もう 1 つは立方体)。黄鉄鉱の面のミラー指数は(210) で、これは二面角が 2·arctan(2) ≈ 126.87° であり、各五角形の面には約 106.6° の 2 つの角度と約 102.6° の向かい合う 2 つの角度の間に約 121.6° の角度が 1 つあることを意味します。次の式は、完全な結晶 (自然界ではほとんど見られません) の面の寸法を示しています。

${\displaystyle {\text{高さ}}={\frac {\sqrt {5}}{2}}\cdot {\text{長辺}}}$

${\displaystyle {\text{幅}}={\frac {4}{3}}\cdot {\text{長辺}}}$

${\displaystyle {\text{短辺}}={\sqrt {\frac {7}{12}}}\cdot {\text{長辺}}}$

立方体の 8 つの頂点の座標は (±1, ±1, ±1) です。

追加の12個の頂点の座標は、 ( 0, ±(1 + h ), ±(1 − h ² ) )、 ( ±(1 + h ), ±(1 − h ² ), 0 )、 ( ±(1 − h ² ), 0, ±(1 + h ) )です。

h は、辺の長さが 2 の立方体の面の上にある くさび形の「屋根」の高さです。

重要なケースはh = ⁠1/2⁠ (立方体の辺の長さの 4 分の 1) は、完全な天然黄鉄鉱 (ウィア・フェラン構造の黄鉄鉱面体でもある) の場合です。

もう一つはh = ⁠1/φ⁠ = 0.618...正十二面体の場合。その他のケースについては「幾何学的自由度」のセクションを参照してください。

非ゼロ座標が入れ替わった 2 つのピリトヘドラは、2 つの十二面体の複合体における十二面体のように、互いに二重の位置にあります。

ピリトヘドロンには幾何学的自由度があり、共線エッジの一方の極限では立方凸包、もう一方の極限では 6 つのエッジが長さ 0 に縮退した菱形十二面体になります。正十二面体は、すべてのエッジと角度が等しい特別な中間ケースを表します。

これらの極限ケースを超えて、凹面または非凸面のピリトヘドラを作成することもできます。エンド十二面体は凹面かつ正三角形で、凸面の正十二面体で空間をモザイク状に埋めることができます。そこからその方向に進むと、12 個の頂点が中央で一致する退化したケースを通過し、すべての辺と角度が再び等しく、面が正五芒星に歪んだ正大星型十二面体に進みます。反対側では、菱形十二面体を過ぎると、魚の形をした自己交差する正五角形の面を持つ非凸正十二面体が得られます。

テトラトイド（四面体五角十二面体、五角三四面体、四面体五角十二面体とも呼ばれる）は、キラル四面体対称性（T）を持つ十二面体である。正十二面体と同様に、12 個の同一の五角形面があり、20 個の頂点のそれぞれで 3 個ずつが交わる。ただし、五角形は正則ではなく、図形には 5 回対称軸がない。

正十二面体は結晶中に存在しないが、テトラトイド型は存在する。テトラトイドという名前はギリシャ語の「4分の1」の語源に由来しており、これはテトラトイドが完全な八面体対称性の4分の1と黄鉄鉱対称性の半分を持っているためである。^[4]鉱物コバルト石はこの対称形を持つことがある。^[5]

立方体と四面体から、立体の位相と対称性を共有する抽象化を作成できます。立方体では、各面は斜めの辺で二等分されます。四面体では、各辺は三等分され、新しい頂点のそれぞれが面の中心に接続されます。(コンウェイ多面体表記では、これはジャイロ四面体です。)

次の点は、四面体対称性の下にある正五角形の頂点です。

( a , b , c ); (− a , − b , c ); (− ⁠ん/₁ d⁠、 − ⁠ん/₁ d⁠、⁠ん/₁ d⁠ ); (− c , − a , b ); (− ⁠ん/₂日⁠、⁠ん/₂日⁠、⁠ん/₂日⁠）、

以下の条件の下で：^[6]

0 ≤ a ≤ b ≤ c、

n = a ² c − bc ² ,

d ₁ = a ² − ab + b ² + ac − 2 bc、

d ₂ = a ² + ab + b ² − ac − 2 bc、

nd ₁ d ₂ ≠ 0です。

正十二面体は、必要な対称性以上の四面体です。三面体四面体は、長さがゼロの辺が 12 個ある退化したケースです。(上記で使用されている色に関して言えば、これは白い頂点と緑の辺が緑の頂点に吸収されることを意味します。)

正十二面体の対称性の低い形式は、底辺同士が接続された2 つの三角形アンチキューポラから構成される多面体の双対として構築でき、三角形ジャイロビアンティキューポラと呼ばれます。これは D _3d対称性、次数 12 です。上部と下部に 3 つの同一の五角形が 2 セットあり、側面の周りには上下交互に 6 つの五角形が接続されています。この形式は六角形の断面を持ち、同一のコピーを部分的な六角形のハニカムとして接続できますが、すべての頂点が一致するわけではありません。

菱形十二面体は、 12 個の菱形の面と八面体の対称性を持つゾノヘドロンです。準正立方八 面体(アルキメデスの立体)の双対であり、自然界では結晶形態として存在します。菱形十二面体は、空間を埋めるために密集しています。

菱形十二面体は、6 つの特殊な辺の長さがゼロに短縮され、五角形が菱形の面になった退化し たピリトヘドロンとして考えることができます。

菱形十二面体にはいくつかの星型構造があり、そのうちの最初の星型構造も平行面体の空間充填物です。

もう一つの重要な菱形十二面体であるビリンスキー十二面体は、菱形三十面体と合同な12面体、すなわち対角線の比率が黄金比である。これもゾノヘドロンであり、 1960年にビリンスキーによって記述された。 ^[7]この図形は別の空間充填体であり、菱形三十面体、菱形二十面体、菱形六面体とともに非周期的な空間充填にも現れる。 ^[8]

位相的に異なる凸十二面体は鏡像を除いて6,384,634 個あり、頂点の数は 8 から 20 の範囲です。 ^[9] (2 つの多面体は、面と頂点の配置が本質的に異なり、辺の長さや辺または面間の角度を変更するだけでは一方を他方に歪ませることができない場合、「位相的に異なる」と言えます。)

位相的に異なる十二面体（五角形と菱形を除く）

• 均一な多面体:
  • 十角柱– 正方形 10 個、十角形 2 個、D _10h対称性、次数 40。
  • 五角形逆プリズム– 10 個の正三角形、2 個の五角形、D _5d対称性、次数 20
• ジョンソンソリッド（レギュラーフェイス）：
  • 五角形のキューポラ– 三角形 5 個、正方形 5 個、五角形 1 個、十角形 1 個、C _5v対称性、順序 10
  • スナブ二蝶形骨– 12 個の三角形、D _2d、次数 8
  • 細長い正方形の二角錐– 8 つの三角形と 4 つの正方形、D _4h対称性、順序 16
  • メタビディミニッシュド イコサヘドロン– 10 個の三角形と 2 個の五角形、C _2v対称性、次数 4
• 同型不規則面: (面推移)
  • 六角両錐体- 12 個の二等辺三角形、六角柱の双対、D _6h対称性、次数 24
  • 六角台形– 12 個の凧、六角形の逆柱の双対、D _6d対称性、次数 24
  • トリアキス四面体– 12 個の二等辺三角形、切頂四面体の双対、T _d対称性、次数 24
• その他のあまり規則的ではない顔:
  • 11角錐– 11個の二等辺三角形と1個の正11角形、C _11v、次数11
  • 台形菱形十二​​面体– 6 つの菱形、6 つの台形–三角形の正十二面体の双対、D _3h対称性、次数 12
  • 菱形六角形十二面体または細長い十二面体- 8 つの菱形と 4 つの正六角形、D _4h対称性、順序 16
  • 切頂五角台形、D _5d、次数 20、位相的には正十二面体と等価

アルマン・スピッツは、アルバート・アインシュタインの提案に基づいて、デジタルドームプラネタリウムプロジェクターの「地球儀」に相当するものとして十二面体を使用しました^[10]。

正十二面体は、特にダンジョンズ&ドラゴンズなどのゲームでは、d12 として知られ、サイコロとして使用されることがあります。

• 120セル–表面が120個の正十二面体セルで構成される正多面体（4D多面体）
• Braarudosphaera bigelowii – 十二面体の形をした円石藻(単細胞の植物 プランクトン 藻類)
• ペンタキス十二面体
• ローマ十二面体
• スナブ十二面体
• 切頂十二面体

ウィキメディア・コモンズには、12 面を持つ多面体に関連するメディアがあります。

• プラトンの第四立体と「ピリトヘドロン」、ポール・スティーブンソン著、1993年、The Mathematical Gazette、第77巻、第479号（1993年7月）、220-226頁[1]
• ピリトヘドロン星状構造 ピリトヘドロンとその星状構造の VRML モデルとアニメーション
• Klitzing、リチャード。「3D 凸均一多面体 o3o5x – doe」。
• インタラクティブな 3D ビューを備えた編集可能な印刷可能な十二面体のネット
• 均一な多面体
• 折り紙多面体 – モジュラー折り紙で作られたモデル
• バーチャルリアリティ多面体 多面体百科事典
• KJM マクリーン、5 つのプラトン立体とその他の半正多面体の幾何学的分析
• 十二面体の3D可視化
• Stella: Polyhedron Navigator: このページの画像の一部を作成するために使用されたソフトウェア。
• 発泡スチロールの立方体から正十二面体を作る方法