ファセット

幾何学において、ファセット( facettingとも綴る) とは、新しい頂点を作成せずに、多角形、多面体、または多面体の一部を削除するプロセスです。

ファセット多面体の新しい辺は、面の対角線または内部空間の対角線に沿って作成できます。ファセット多面体は各辺に 2 つの面を持ち、新しい多面体または多面体の複合体を作成します。

ファセット化は、星形化の逆過程または双対過程です。ある凸多面体の星形化ごとに、双対多面体の双対ファセット化が存在します。

たとえば、正五角形には五芒星という 1 つの対称面があり、正六角形には多角形として 1 つ、および 2 つの三角形の合成として 1 つの、合計 2 つの対称面があります。

正二十面体は、小星型十二面体、大十二面体、大二十面体 の 3 つの正ケプラー・ポアンソ多面体に分割できます。これらはすべて 30 辺を持ちます。

正十二面体は、1 つの正ケプラー・ポアンソ多面体、3 つの均一な星型多面体、および 3 つの正多面体複合体に分割できます。均一な星型と5 つの立方体の複合体は、面対角線によって構成されます。発掘された正十二面体は、星型六角形の面で分割されたものです。

ファセット形成は星形形成ほど広範囲に研究されていません。

• 1568年にヴェンツェル・ヤムニッツァーは、多面体の星形や面分割を多数示した著書『Perspectiva Corporum Regularium』を出版した。^[1]
• 1619年、ケプラーは立方体の内側に収まる2つの四面体の正則な複合体を記述し、それを「ステラ・オクタングラ」と名付けました。
• 1858年、ベルトランは正凸二十面体と十二面体を面分割して正星型多面体（ケプラー・ポアンソ多面体）を導きました。
• 1974 年、ブリッジは正十二面体を含む、より単純な正多面体の面分割を列挙しました。
• 2006 年に、インチボールドは多面体のファセット図の基本理論を説明しました。この図は、与えられた頂点について、元の外殻のファセットを形成するために使用できるすべての可能な辺とファセット (新しい面) を示します。これは、元のコアのいくつかの面平面のすべての可能な辺と頂点を示す、二重多面体の星形図と双対です。

• Bertrand, J. Note sur la théorie des Polyèdres réguliers、Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences、46 (1858)、79–82 ページ。
• Bridge, NJ「十二面体のファセット加工」Acta crystallographica A30 (1974)、pp. 548–552。
• インチボールド、G. ファセット図、数学雑誌、90（2006）、pp.253-261。
• アラン・ホールデン『形、空間、対称性』ニューヨーク：ドーバー、1991年、p.94

• Weisstein、Eric W.「ファセット」。MathWorld。
• Olshevsky, George. 「Faceting」。Hyperspace の用語集。2007 年 2 月 4 日時点のオリジナルよりアーカイブ。