高貴な多面体

高貴な多面体とは、等面体（すべての面が同じ）かつ等角体（すべての頂点が同じ）である多面体です。高貴な 多面体については、19世紀後半にエドムンド・ヘスとマックス・ブルックナーによって初めて深く研究され、その後ブランコ・グリュンバウムによって研究されました。

高貴な多面体にはいくつかの主要なクラスがあります。

• 正多面体、つまり 5 つのプラトン立体と 4 つのケプラー・ポアンソ多面体。
• 二蝶形四面体。
• クラウン多面体、ステファノイド多面体とも呼ばれます。
• 星型二十面体DとH、あるいはそれらの双対など、さまざまな例があります。 ^[1]有限個存在するかどうかはわかっていません。また、もし存在するとしたら、まだ発見されていないものがいくつあるかはわかっていません。

グリュンバウムの奇妙な構造のいくつかを多面体として認めると、さらに 2 つの無限のトロイドの系列が得られます (上記の王冠多面体以外に)。

• 花輪型多面体。辺を共有する共面のペアで三角形の面を持ちます。
• V 面多面体。頂点が 2 つ一致し、面が退化しています。

一方では二重構造形式 (トポロジー) を、他方では同心球の周りを往復するときの二重幾何学的配置を区別することができます。以下で区別しない場合は、「二重」という用語は両方の種類をカバーします。

高貴な多面体の双対もまた高貴です。多くは自己双対でもあります。

• 5 つの正多面体は双対を形成し、四面体は自己双対です。
• 二蝶形四面体はすべて位相的に同一です。幾何学的には 2 つのペアになっていて、1 つは細長く、もう 1 つはそれに応じて押しつぶされています。
• 王冠多面体は位相的に自己双対です。幾何学的に自己双対の例が存在するかどうかは知られていないようです。
• 花輪と V 面多面体は互いに双対です。

2008年、ロバート・ウェッブは、スナブ立方体のファセットである新しい高貴な多面体を発見しました。^[2]これは、1世紀以上前のブルックナーの研究以来発見された最初の新しいクラスの高貴な多面体（キラル八面体対称性を持つ）でした。2020年、ウルリッヒ・ミクロヴァイトは、均一な多面体の等面体ファセットを拡張することで52の高貴な多面体を生成しました。そのうち24はブルックナーによってすでに説明されており、19は全く新しいものでした。

• マックス・ブルックナー（1906年）。Über die Gleicheckig-Gleichflächigen Diskontinuierlichen und Nichtkonvexen Polyeder。ハレ。{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Grünbaum , B.; 中空面を持つ多面体、NATO-ASI Conf. on polytopes: abstract, contradictional and computeal、トロント 1983、 Ed. Bisztriczky, T. Et Al.、Kluwer Academic (1994)、pp. 43–70。
• Grünbaum , B.; あなたの多面体は私の多面体と同じですか? Archived 2016-08-03 at the Wayback Machine Discrete and Computational Geometry: The Goodman-Pollack Festschrift. B. Aronov、S. Basu、J. Pach、および Sharir、M.、編。Springer、ニューヨーク、2003、pp. 461–488。
• ミクロヴァイト、ウルリッヒ (2020)。「Stella4D プログラムによる高貴な多面体の探索」(PDF)。Bridges 2020 カンファレンス プロシーディング。25 。ヘルシンキおよびエスポー、フィンランド: 257–264。ISBN 9781938664366。

• Polytope Wiki の高貴な多面体のリスト