クレイグ・S・カプラン

2019年、カプランはアルキメデス立体の概念をタンパク質集合に応用するのに貢献し、理化学研究所の実験チームと共に、これらの特異な幾何学的構造が超安定な高分子ケージにつながることを実証した。^{[ 9 ] [ 10 ]}これらの新しいシステムは、標的薬物送達システムやナノスケールでの新素材設計に応用できる可能性がある。^{[ 11 ]}

2023年、カプランは、タイリング理論とユークリッド幾何学における主要な未解決問題であるアインシュタイン問題を解決したチームの一員でした。この問題は、「非周期モノタイル」、つまり平面を非周期的に（並進対称性なしで）敷き詰めることができるが、周期的に敷き詰めることはできない単一の幾何学的形状を見つけることです。この発見は専門家による審査を受けており、確認されれば、長年の数学的問題を解決したとして評価されるでしょう。^{[ 12 ]}

2022年、アマチュア数学者のデイビッド・スミスは、8つの凧（この場合、各凧は正六角形の6分の1）を接着して作られた形状を発見した。スミスの実験では、この形状は平面をタイル状に敷き詰めるように見えたが、周期的に敷き詰めることはなかった。彼はカプランに連絡を取り、この形状の分析を手伝ってもらい、2人はこれを「帽子」と名付けた。カプランの計算ツールでもタイル状の敷き詰めが無限に続くことがわかったため、カプランとスミスは、ジョセフ・サミュエル・マイヤーズとハイム・グッドマン＝ストラウスという2人の数学者を招集し、非周期的なモノタイルを発見したことを証明した。スミスはまた、「亀」と呼ばれる2番目のタイルも発見し、これも同じ性質を持っているように見えた。2023年3月、4人のチームは、帽子と亀のタイル、および2つを補間する他の無限のタイル族が非周期的なモノタイルであることを証明したと発表した。^{[ 13 ] [ 3 ] [ 14 ]}

帽子タイルと亀タイルはどちらも、平面をタイル張りするためにいくつかの反射コピーを必要とします。最初のプレプリントの後、スミスは、帽子タイルに関連するタイルが平面を周期的にまたは非周期的にタイル張りできることに気付きました。非周期的なタイル張りでは反射は必要ありません。エッジを適切に操作すると、周期的なタイル張りが防止されます。2023 年 5 月、スミス、カプラン、マイヤーズ、グッドマン＝ストラウスのチームは、スミスが「スペクトル」と呼んだ新しい形状が厳密にキラルな非周期的なモノタイルであることを証明する新しいプレプリントを公開しました。反射が許されていても、すべてのタイル張りは非周期的で、スペクトルの 1 つのキラリティのみを使用します。^{[ 15 ] [ 16 ]}この新しい形状は、形状の鏡像を使用せずに決して繰り返されないパターンで平面をタイル張りするため、「吸血鬼アインシュタイン」と呼ばれています。^{[ 17 ]}