正歪アペイロヘドロン

幾何学において、正歪多面体（せい歪なみゃくたい）は、無限正歪多面体であり、正歪面または正歪頂点図形のいずれかを持ちます。

1926 年、ジョン・フリンダーズ・ペトリーは、正多角形 (頂点がすべて同じ平面上にない多角形)の概念を採用し、それを多面体に拡張しました。2 次元平面をタイル張りするには通常、多面体が必要ですが、ペトリーは、面が凸型のままでも平面上で平らである必要はなく、多角形の頂点図形を歪めることができると考えました。

ペトリーは、正多面体であるミューキューブとミュー八面体という2つの正多面体を発見した。^[1] ハロルド・スコット・マクドナルド・コクセターは3つ目のミュー四面体を導き、これら3つが完全であることを証明した。コクセターとペトリーの定義によれば、凸面が必要で、歪んだ頂点図形が許されるため、これら3つは3次元ユークリッド空間で唯一の歪多面体であるだけでなく、コクセターが有限の場合がないことを示したため、3次元空間で唯一の歪んだ多面体でもあった。

1967年^[2]ガーナーはペトリーとコクセターの定義に従って双曲3次元空間における正歪アペイロヘドラを調査し、コンパクトまたはパラコンパクト対称性を持つ31 ^[注1]の正歪アペイロヘドラを発見した。

^{1977年[3] [1]} にグリュンバウムは歪んだ多面体を一般化し、歪んだ面も許容するようになった。グリュンバウムは、3次元ユークリッド空間でさらに23個^{[注 2]}の歪んだアペイロヘドラ、2次元空間で面によって歪んだ3個を発見した。グリュンバウムの多面体のうち12個は2次元アペイロヘドラのブレンディング操作で形成され、他の11個は純粋、つまり非自明なブレンディングでは形成できなかった。グリュンバウムは、この新しいリストは考慮されたパラメータに対して完全であると推測した。

1985年^{[4] [1]}ドレスは3次元空間で追加の純粋な正則歪曲アペイロヘドロンを発見し、この追加の歪曲アペイロヘドロンでリストが完全であることを証明した。

3次元空間における3つのユークリッド解は{4,6|4}、{6,4|4}、{6,6|3}である。ジョン・コンウェイはこれらをそれぞれ多重立方体、正八面体、正四面体として、mucube、muoctahedron、mutetrahedronと名付けた。^[5]

1. Mucube : {4,6|4}: 各頂点の周りに 6 つの正方形(立方体のハニカムに関連し、立方体のセルで構成され、それぞれから反対の面を 2 つ削除し、面のない立方体の周囲に 6 つのセットをリンクします。)
2. 六八面体: {6,4|4}:各頂点の周りに4 つの六角形(切頂八面体から四角い面を削除し、穴のペアを連結して構築された、二切頂立方ハニカムに関連します。)
3. 六面体: {6,6|3}: 各頂点の周りに 6 つの六角形があります (四面体セルを切断し、三角形の面を削除し、面のない四面体の周囲に 4 つのセットをリンクして構築された、四分の一立方体ハニカムに関連します)。

コクセターは拡張されたカイラル対称性[[( p , q , p , r )] ⁺ ]を持つこれらの正則歪曲アペイロヘドラ {2q,2r|p} を与え、これは彼の抽象群(2 q ,2 r |2, p ) と同型であると述べています。関連するハニカムは拡張された対称性 [[( p , q , p , r )]] を持ちます。^[6]

フルランクの正歪アペイロヘドラは3つあり、正歪ハニカムとも呼ばれ、2次元の歪アペイロヘドラです。フルランクの有限歪多面体と同様に、これら3つはすべて、ペトリー双対を平面多面体（この場合は3つの正則タイリング）に適用することで得られます。 ^{[7] [8] [9]}

あるいは、正多角形にアピア演算を使って構築することもできます。^[10]ペトリアルは古典的な構築に使用されますが、高階数にはうまく一般化されません。対照的に、アピア演算は高階数のスキューハニカムを構築するために使用されます。^[11]

apeir 操作は、多角形の生成ミラーρ ₀とρ ₁を取り、それらを多面体の頂点図形のミラーとして使用します。新しい頂点ミラーw は、多角形の最初の頂点（またはミラーρ ₁上のρ ₀との交点以外の任意の場所）にある点です。新しい最初の頂点は、ミラーρ ₀とρ ₁の交点に配置されます。したがって、 apeir 多面体は⟨w, ρ ₀ , ρ ₀ ⟩によって生成されます。^[12]

任意の 2 つの正多面体PとQに対して、次のプロセスで新しい多面体を作成できます。

• Pの頂点とQの頂点の直積から始めます。
• Pにp 0 と p 1 の間にエッジがあり、 Q に q 0 と q 1 の間にエッジがある場合に限り、任意の 2 つの頂点 p ₀ × _q 0とp ₁ × q ₁の間_にエッジを_追加します_。 ( Q_にエッジがない場合は、その頂点を自身に接続する仮想エッジを追加します。)
• 同様に、 PとQ の両方で同じ面に接続するすべての頂点セットに面を追加します。( Qに面がない場合は、その辺を自身に接続する仮想面を追加します。)
• 適切な要素のすべてのランクに対してこれを繰り返します。
• 結果として得られる多面体から、接続されたコンポーネントを 1 つ選択します。

正多面体の場合、最後のステップで必ず一意の結果が生成されます。この新しい多面体はPとQのブレンドと呼ばれ、P # Qと表されます。

同様に、 PとQ を直交空間に配置し、それらの生成ミラーをペアで合成すること によってブレンドを取得できます。

3 次元空間の混合多面体は、2 次元多面体と 1 次元多面体を混合することによって作成できます。2 次元多面体は、6 つのハニカム (3 つのユークリッド タイリングと 3 つの斜めハニカム) のみです。

• 三角形のタイリング: {3, 6}
• 正方形のタイル: {4, 4}
• 六角形のタイル: {6, 3}
• 花弁の三角形のタイリング: {3, 6} ^π
• ペトリアル正方形タイリング: {4, 4} ^π
• 花弁の六角形のタイル: {6, 3} ^π

1 次元多面体は次のとおりです。

• 線分: { }
• アペイロゴン: {∞ }

これらの各ペアは、3次元ユークリッド空間で有効な個別の正則歪曲アペイロヘドロンを生成し、合計12個の^[注2]ブレンドされた歪曲アペイロヘドロンになります。

正方形のタイリングのスケルトンは二部構成なので、これらのブレンドのうちの 2 つ、{4, 4}#{}と{4, 4} ^π #{}は、ブレンドされていない対応するものと組み合わせ的に同等です。

多面体は、2つの多面体の非自明なブレンドとして表現できない場合、純粋であるとみなされます。ブレンドは、結果がコンポーネントの1つに含まれている場合、自明であるとみなされます。あるいは、純粋な多面体とは、対称群に非自明な部分表現が含まれない多面体です。^[13]

3 次元には 12 個の正多面体があります。そのうち 3 つはペトリー・コクセター多面体です。

• {4,6 | 4}
• {6,4 | 4}
• {6,6 | 3}

さらに 3 つがPetrie-Coxeter 多面体の ペトリアルとして得られます。

• {4,6 | 4} ^π = {∞, 4} _6,4
• {6,4 | 4} ^π = {∞, 6} _4,4
• {6,6 | 3} ^π = {∞, 6} _6,3

有限の斜め多角形を面として、さらに 3 つの純粋なアペイロヘドラを形成できます。

• 
  6つの斜め六角形が六角形に配置されて{6,6} ₄の頂点を形成します。
• 
  6つの斜めの正方形が六角形に配置されて{4,6} ₆の頂点を形成します。
• 
  4つの斜め六角形が正方形に配置され、 {6,4} ₆の頂点を形成します。

これら 3 つはウィルソン演算の下で閉じています。つまり、それぞれはペトリアル演算と双対演算の組み合わせによって他の任意のものから構築できます。{6,6} _{4 は}自己双対であり、{6,4} _{6 は}自己ペトリアルです。

1967年、CWLガーナーはペトリ・コクセター多面体を双曲空間に拡張することで発見された、正多角形 頂点図形を持つ31個の双曲的歪曲アペイロヘドラを特定した。 ^[14]

これらは、双曲空間における 14 個のコンパクト正多面体と 17 個^{[注 1]}の準コンパクト正多面体を表し、形式 [[( p , q , p , r )]]の線型および巡回コクセター群グラフのサブセットの対称性から構築されます。これらは、正多面体{2 q ,2 r | p } と双対 {2 r ,2 q | p } を定義します。線型グラフ群r = 2の特殊なケースでは 、これはコクセター群 [ p , q , p ] を表します。これは、正多面体 {2 q , 4 | p } と {4,2 q | p } を生成します。これらはすべて、双曲空間における凸一様ハニカムの面のサブセットとして存在します。

歪んだアペイロヘドロンはハニカムと同じ反プリズム頂点図形を共有しますが、頂点図形のジグザグのエッジ面のみが実現され、他の面は穴を形成します。

• 歪んだアペイロヘドロン
• 正多面体
• テトラスティックス

• ガーナー (1967)、「双曲的三次元空間における正則歪曲多面体」、カナダ数学ジャーナル、19 : 1179–1186、doi :10.4153/CJM-1967-106-9
• Grünbaum、Branko (1977)、「正多面体 - 古いものと新しいもの」(PDF)、Aequationes Mathematicae、16 (1–2): 1–20、doi :10.1007/BF01836414、S2CID  125049930
• McMullen, Peter; Schulte, Egon (1997). 「通常の空間における正多面体」(PDF) .離散幾何学と計算幾何学. 17 (47): 449–478. doi :10.1007/PL00009304.
• マクマレン、ピーター、シュルテ、エゴン（2002）、抽象正則多面体、数学とその応用百科事典、第92巻、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、doi：10.1017/CBO9780511546686、ISBN 0-521-81496-0、MR  1965665
• McMullen, Peter (2004). 「フルランクの正多面体」(PDF) .離散計算幾何学. 32 : 1–35. doi :10.1007/s00454-004-0848-5.
• ドレス、アンドレアス (1985)。「グリューンバウムの新しい正多面体の組合せ理論、第 2 部: 完全な列挙」。Aequationes Mathematicae。29 : 222–243。doi :10.1007/BF02189831。S2CID 121260389  。
• Petrie–Coxeter Maps Revisited PDF、Isabel Hubard、Egon Schulte、Asia Ivic Weiss、2005
• ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・バーギエル、チャイム・グッドマン＝シュトラウス、The Symmetries of Things 2008、ISBN 978-1-56881-220-5、 
• ピーター・マクマレン、「4次元正多面体」、離散幾何学と計算幾何学、2007年9月、第38巻、第2号、pp 355–387
• コクセター『正多面体』第3版（1973年）、ドーバー版、ISBN 0-486-61480-8 
• 万華鏡：HSMコクセター選集、F.アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイヴィック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6 [1]  
  • (論文2) HSM Coxeter、「正規スポンジ、または斜め多面体」、Scripta Mathematica 6 (1939) 240–244。
  • (論文22) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体 I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
  • (論文 23) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体 II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
• コクセター、「幾何学の美：12のエッセイ」、ドーバー出版、1999年、ISBN 0-486-40919-8 （第5章：3次元および4次元の正則歪曲多面体とその位相的類似体、ロンドン数学協会紀要、第2巻、第43巻、1937年。）  
  • Coxeter, HSM 3次元および4次元の正則歪曲多面体。Proc . London Math. Soc. 43, 33–62, 1937。