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幾何学において、シュレーフリ直交図は単体の一種である。直交図は、直角三角形を任意の次元の単体図形に一般化したものである。直交図は、一連の辺によって定義される。これらは互いに直交する。これらはルートヴィヒ・シュレーフリによって導入され、彼はこれらをオルソスキームと呼び、ユークリッド幾何学、双曲幾何学、球面幾何学におけるこれらの体積を研究した。 後にHSMコクセターはこれらをシュレーフリにちなんで命名した。直角三角形が三角法の基礎を提供するように、オルソスキームは、シュウテによって開発されたn次元三角法の基礎を形成し、彼はこれを多角形法と呼んだ。[ 1 ] J.-P.シドラーとボルゲ・イェッセンは、ヒルベルトの第3問題に関連してオルソスキームを広範囲に研究した。
オルソスキームは、応用数学の文献ではパス単体とも呼ばれ、フィードラー[ 2 ]によって研究され、後にコクセター[ 3 ]によって再発見された、より一般的な単体のクラスの特殊なケースです。 これらの単体は、すべての辺が互いに垂直な木の凸包です。オルソスキームでは、基となる木はパスです。
3次元では、直交図は、2つの直角を持つ頂点で経路が2つの直角をなすため、または4つの直角を含むため、四直角四面体とも呼ばれます。 [ 4 ]
ヒューゴ・ハドウィガーは1956年に、すべての単体は有限個の直交スキームに分割できると予想した。 [ 7 ]この予想は5次元以下の空間では証明されているが、[ 8 ]それ以上の次元では未解決のままである。[ 9 ]
ハドウィガーの予想は、すべての凸多面体は直交スキームに分割できることを示唆している。
コクセターは、さまざまな直交スキームを、それらが反射によって生成する多面体の特性単体として識別します。 [ 10 ]特性単体は、多面体の基本的な構成要素です。多面体を整数個の特性単体に分割できるのと同様に、特性単体は反射または回転によって複製して多面体を構築できます。特性単体はキラル（異なる2つの鏡像形式が存在する）であり、多面体は、その左右対称のインスタンスに等数に分割されます。特性単体は、正多面体の正三角形の面ではなく、異なる辺の長さと面を持ちます。多面体が正多面体の場合、その特性単体は直交スキーム、つまり直角三角形の面のみを持つ単体です。
すべての正多面体には、その基本領域である不規則単体である特性直交スキームがあり、これは正多面体とまったく同じ対称特性を持ちますが、それらをすべて重複なく捉えます。 [ 11 ]正k多面体の場合、特性k直交スキームのコクセター・ディンキン図は、生成点環のないk多面体の図です。正k多面体は、その対称( k -1)要素によって、その中心を取り囲む特性k直交スキームのg個のインスタンスに細分化されます。ここで、 gはk多面体の対称群の位数です。これは重心細分です。
正多面体の「単体分割」について、まず一次元の場合から説明を進めます。線分 𝚷 1は中心 𝚶 1によって 2 つの等しい部分に分割されます。多角形 𝚷 2 = { p } は、その対称線によって 2 p 個の直角三角形に分割され、これらの直角三角形が中心 𝚶 2を単体分割された辺に接続します。多面体 𝚷 3 = { p, q } は、その対称面によってg 個の四角形四面体 (5.43 を参照) に分割され、これらの直角四面体が中心 𝚶 3を単体分割された面に接続します。同様に、一般的な正多面体 𝚷 nは、中心 𝚶 nを単体分割されたセルに接続する多数の合同な単体 ([直交スキーム]) に分割されます。[ 5 ]
