ポリキューブ

ポリキューブは、1つ以上の同じ大きさの立方体を面同士で結合して形成される立体図形です。ポリキューブは、平面ポリオミノの3次元版です。ソーマキューブ、ベドラムキューブ、ディアボリカルキューブ、スロトウバー・グラーツマパズル、コンウェイパズルは、ポリキューブに基づくパッキング問題の例です。 ^[1]

ポリキューブの列挙

ポリオミノと同様に、ポリキューブも2通りの方法で数えることができる。1つは、ポリキューブのキラルなペア（鏡映では等価だが、並進と回転だけでは等価にならないもの）を1つのポリキューブと数えるか、2つと数えるかである。たとえば、6つのテトラキューブはアキラルで1つはキラルなので、テトラキューブの数はそれぞれ7つまたは8つとなる。^[2]ポリオミノとは異なり、ポリキューブは通常、鏡映ペアを区別して数える。これは、3次元のポリオミノのようにポリキューブを裏返して鏡像にすることはできないためである。特に、ソーマキューブはキラルテトラキューブの両方の形式を使用している。

ポリキューブは立方体のセルの数によって分類される。^[3]

固定ポリキューブ（反射と回転の両方が異なるものとしてカウントされる（OEISのシーケンスA001931）、片面ポリキューブ、および自由ポリキューブは、n =22まで列挙されている。最近では、ポリキューブの特定のファミリーが調査されている。^[4]^[5]

ポリキューブの対称性

ポリオミノと同様に、ポリキューブは対称性の数によって分類することができます。ポリキューブの対称性（非対称八面体群のサブグループの共役類）は、1972年にWF Lunnonによって初めて列挙されました。ほとんどのポリキューブは非対称ですが、48要素のキューブの完全な対称群に至るまで、より複雑な対称群を持つものも多くあります。他の多数の対称性が考えられます。たとえば、8倍対称の可能な形式は7つあります。^[2]

ペンタキューブの特性

12 個のペンタキューブは平らで、ペントミノに対応します。残りの 17 個のうち 5 個は鏡像対称性を持ち、他の 12 個は 6 つのカイラルペアを形成します。

ペンタキューブの境界ボックスのサイズは5×1×1、4×2×1、3×3×1、3×2×1、3×2×2、2×2×2である。^[6]

ポリキューブは、立方格子内で最大 24 の方向を持つことができます。反射が許されていれば、48 の方向を持つことができます。ペンタキューブのうち、2 つの平面 (5-1-1 と十字) は、3 つの軸すべてで鏡面対称性を持ちますが、これらには 3 つの方向しかありません。10 個は 1 つの鏡面対称性を持ち、これらには 12 の方向があります。残りの 17 個のペンタキューブはそれぞれ 24 の方向を持っています。

オクタキューブとハイパーキューブの展開

テッセラクト（4次元超立方体）は8つの立方体を面として持ち、立方体がヘキソミノに展開できるのと同様に、テッセラクトはオクタキューブに展開できる。特に、ある展開は、立方体をラテン十字に展開するよく知られた方法を模倣している。これは、4つの立方体を上下に積み重ね、さらに4つの立方体を上から2番目の立方体の露出した正方形の面に取り付けて、3次元の二重十字形を形成する。サルバドール・ダリは、 1954年の絵画「磔刑（超立方体大全）」^{[7]でこの形状を使用し、}ロバート・A・ハインラインの1940年の短編小説「そして彼は歪んだ家を建てた」 ^[8]でも描写されている。ダリに敬意を表して、このオクタキューブはダリ十字と呼ばれている。^[9]^{[10]これは}空間をタイル張りすることができる。^[9]

より一般的には（1966年にマーティン・ガードナーが提起した疑問に答えると）、3811個の異なる自由八面体のうち、261個は四次元体の展開である。^[9]^[11]

境界の接続性

ポリキューブの立方体は正方形同士が接続されている必要がありますが、境界の正方形同士が必ずしも端同士が接続されている必要はありません。たとえば、3×3×3 の立方体のグリッドを作成し、中央の立方体を削除して形成される 26 個の立方体は、内部の空間の境界が外部の境界に接続されていない有効なポリキューブです。ポリキューブの境界が多様体を形成する必要もありません。たとえば、ペンタキューブの 1 つには、端同士が接する 2 つの立方体があり、それらの間の辺は 4 つの境界正方形の辺になります。

ポリキューブに、その補集合（ポリキューブに属さない整数キューブの集合）が正方形同士が交わるパスで接続されているという追加の特性がある場合、ポリキューブの境界の正方形も必然的に、辺同士が交わるパスで接続されている。^[12]つまり、この場合、境界はポリオミノイドを形成する。

数学における未解決の問題:

連結された境界を持つすべてのポリキューブは、ポリオミノに展開できますか? もしそうなら、そのようなすべてのポリキューブは、平面をタイル張りするポリオミノに展開できますか?

（数学における未解決の問題がさらに増える）

$k$ $< 7$ のすべての $k$ キューブとダリ十字 ( $k$ $= 8$ ) は、平面を敷き詰めるポリオミノに展開できます。連結境界を持つすべてのポリキューブをポリオミノに展開できるかどうか、またはポリオミノが平面を敷き詰めるという追加条件を付けて常に展開できるかどうかは未解決の問題です。 ^[10]

デュアルグラフ

ポリキューブの構造は、各立方体の頂点と、正方形を共有する2つの立方体ごとに辺を持つ「デュアルグラフ」によって視覚化できます。^{[13]これは、同様の名前の}デュアル多面体や、表面埋め込みグラフのデュアルグラフの概念とは異なります。

双対グラフは、双対グラフが木であるようなポリキューブの特別なサブクラスを定義し、研究するためにも使用されている。^[14]

参照

参考文献

^ ワイスタイン、エリック・W.「ポリキューブ」。 MathWorld より
^ ab Lunnon, WF (1972)、「立方体および一般ポリオミノの対称性」、Ronald C. Read (編)、『グラフ理論とコンピューティング』、ニューヨーク: Academic Press、pp. 101–108、ISBN 978-1-48325-512-5
^ ポリキューブ、The Poly Pages
^ 「ポリキューブの特定クラスの列挙」、Jean-Marc Champarnaud 他、ルーアン大学、フランス PDF
^ 「ディリクレ畳み込みとピラミッドポリキューブの列挙」、C. Carré、N. Debroux、M. Deneufchâtel、J. Dubernard、C. Hillairet、J. Luque、O. Mallet、2013 年 11 月 19 日 PDF
^ アーツ、ロナルド M.「ペンタキューブ」。 MathWorldより。
^ ケンプ、マーティン（1998年1月1日）、「ダリの次元」、ネイチャー、391（27）：27、Bibcode：1998Natur.391...27K、doi：10.1038/34063
^ Fowler, David (2010)、「サイエンスフィクションにおける数学: サイエンスフィクションとしての数学」、World Literature Today、84 (3): 48–52、doi :10.1353/wlt.2010.0188、JSTOR 27871086、S2CID 115769478、1940年に出版されたロバートハインラインの「そして彼は歪んだ家を建てた」と 1946 年に出版されたマーティンガードナーの「ノーサイド教授」は、メビウスの帯、クラインの壺、超立方体 (テッセラクト) を読者に紹介した最初のサイエンスフィクション作品の 1 つです。。
^ abc ディアス、ジョヴァンナ;オルーク、ジョセフ(2015)、タイルとハイパーキューブ展開、arXiv : 1512.02086、Bibcode :2015arXiv151202086D $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{2}$ 。
^ ab Langerman, Stefan ; Winslow, Andrew (2016)、「Conway の基準を満たすポリキューブ展開」(PDF)、第 19 回離散および計算幾何学、グラフ、ゲームに関する日本カンファレンス (JCDCG^3 2016)。
^ ターニー、ピーター（1984）、「テッセラクト展開」、レクリエーション数学ジャーナル、17（1）：1–16、MR 0765344。
^ Bagchi, Amitabha; Bhargava, Ankur; Chaudhary, Amitabh; Eppstein, David ; Scheideler, Christian (2006)、「ネットワーク拡張における障害の影響」、Theory of Computing Systems、39 (6): 903–928、arXiv : cs/0404029、doi :10.1007/s00224-006-1349-0、MR 2279081、S2CID 9332443特に、この境界接続特性の高次元ポリキューブへの一般化を述べている補題3.9（924ページ）を参照してください。
^ Barequet, Ronnie; Barequet, Gill; Rote, Günter (2010)、「高次元ポリキューブの公式と成長率」、Combinatorica、30 (3): 257–275、CiteSeerX 10.1.1.217.7661、doi :10.1007/s00493-010-2448-8、MR 2728490、S2CID 18571788 。
^ アロウピス、グレッグ;ボーズ、プロセンジット・Ｋ．コレット、セバスチャン。デメイン、エリック D. ;ディメイン、マーティン・Ｌ．ドゥイーブ、カリム。Dujmović, ヴィダ;ジョン・イアコノ;ステファン・ランガーマン;モーリン、パット(2011)、「ポリオミノとポリキューブの共通展開」、計算幾何学、グラフおよびアプリケーション(PDF)、Comput の講義ノート。科学、vol. 7033、シュプリンガー、ハイデルベルク、44–54 ページ、土井:10.1007/978-3-642-24983-9_5、hdl :1721.1/73836、MR 2927309。

外部リンク

Kadon の木製ヘキサキューブパズル
ポリキューブ対称性
アルゴリズム Xを使用してボックスをポリキューブで埋めるポリキューブソルバープログラム (Lua ソースコード付き) 。
ケビン・ゴングのポリキューブの列挙

[1] ワイスタイン、エリック・W.「ポリキューブ」。 MathWorld より

[symmetry-2] Lunnon, WF (1972)、「立方体および一般ポリオミノの対称性」、Ronald C. Read (編)、『グラフ理論とコンピューティング』、ニューヨーク: Academic Press、pp. 101–108、ISBN 978-1-48325-512-5

[3] ポリキューブ、The Poly Pages

[4] 「ポリキューブの特定クラスの列挙」、Jean-Marc Champarnaud 他、ルーアン大学、フランス PDF

[5] 「ディリクレ畳み込みとピラミッドポリキューブの列挙」、C. Carré、N. Debroux、M. Deneufchâtel、J. Dubernard、C. Hillairet、J. Luque、O. Mallet、2013 年 11 月 19 日 PDF

[6] アーツ、ロナルド M.「ペンタキューブ」。 MathWorldより。

[7] ケンプ、マーティン（1998年1月1日）、「ダリの次元」、ネイチャー、391（27）：27、Bibcode：1998Natur.391...27K、doi：10.1038/34063

[8] Fowler, David (2010)、「サイエンスフィクションにおける数学: サイエンスフィクションとしての数学」、World Literature Today、84 (3): 48–52、doi :10.1353/wlt.2010.0188、JSTOR 27871086、S2CID 115769478、1940年に出版されたロバートハインラインの「そして彼は歪んだ家を建てた」と 1946 年に出版されたマーティンガードナーの「ノーサイド教授」は、メビウスの帯、クラインの壺、超立方体 (テッセラクト) を読者に紹介した最初のサイエンスフィクション作品の 1 つです。。

[hut-9] ディアス、ジョヴァンナ;オルーク、ジョセフ(2015)、タイルとハイパーキューブ展開、arXiv : 1512.02086、Bibcode :2015arXiv151202086D $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{2}$ 。

[pucc-10] Langerman, Stefan ; Winslow, Andrew (2016)、「Conway の基準を満たすポリキューブ展開」(PDF)、第 19 回離散および計算幾何学、グラフ、ゲームに関する日本カンファレンス (JCDCG^3 2016)。

[11] ターニー、ピーター（1984）、「テッセラクト展開」、レクリエーション数学ジャーナル、17（1）：1–16、MR 0765344。

[12] Bagchi, Amitabha; Bhargava, Ankur; Chaudhary, Amitabh; Eppstein, David ; Scheideler, Christian (2006)、「ネットワーク拡張における障害の影響」、Theory of Computing Systems、39 (6): 903–928、arXiv : cs/0404029、doi :10.1007/s00224-006-1349-0、MR 2279081、S2CID 9332443特に、この境界接続特性の高次元ポリキューブへの一般化を述べている補題3.9（924ページ）を参照してください。

[13] Barequet, Ronnie; Barequet, Gill; Rote, Günter (2010)、「高次元ポリキューブの公式と成長率」、Combinatorica、30 (3): 257–275、CiteSeerX 10.1.1.217.7661、doi :10.1007/s00493-010-2448-8、MR 2728490、S2CID 18571788 。

[14] アロウピス、グレッグ;ボーズ、プロセンジット・Ｋ．コレット、セバスチャン。デメイン、エリック D. ;ディメイン、マーティン・Ｌ．ドゥイーブ、カリム。Dujmović, ヴィダ;ジョン・イアコノ;ステファン・ランガーマン;モーリン、パット(2011)、「ポリオミノとポリキューブの共通展開」、計算幾何学、グラフおよびアプリケーション(PDF)、Comput の講義ノート。科学、vol. 7033、シュプリンガー、ハイデルベルク、44–54 ページ、土井:10.1007/978-3-642-24983-9_5、hdl :1721.1/73836、MR 2927309。