凸多角形

幾何学において、凸多角形は凸集合の境界となる多角形である。つまり、多角形の2点間の線分が多角形の内部と境界の和集合に含まれる。特に、これは単純な多角形（自己交差しない）である。^{[1]同様に、辺を含まないすべての}線が最大2点で多角形と交差する 場合、その多角形は凸多角形である。

厳密に凸多角形とは、どの線にもその 2 つの辺が含まれない凸多角形です。凸多角形のすべての内角は180 度以下ですが、厳密に凸多角形のすべての内角は 180 度未満です。

単純な多角形の次の特性はすべて凸性と同等です。

• すべての内角は180度以下です。
• 多角形の境界内または境界上にある 2 点間のすべての線分上のすべての点は、境界内または境界上に残ります。
• 多角形は、各辺によって定義される閉じた半平面内に完全に含まれます。
• 各エッジの内部ポイントはすべて、エッジが定義する線の同じ側にあります。
• 各頂点の角度には、その辺と内部に他のすべての頂点が含まれます。
• 多角形はその辺の凸包です。

凸多角形のその他の特性は次のとおりです。

• 2 つの凸多角形の交差は凸多角形です。
• 凸多角形は、1 つの頂点から他のすべての頂点に対角線を追加するファン三角形分割によって線形時間で三角形分割できます。
• ヘリーの定理: 少なくとも 3 つの凸多角形の集合ごとに、1 つの多角形を除くすべての多角形の交点が空でない場合、すべての多角形の交点が空でなくなります。
• クライン・ミルマン定理: 凸多角形はその頂点の凸包です。したがって、凸多角形はその頂点の集合によって完全に定義され、多角形全体の形状を復元するには多角形の角のみが必要です。
• 超平面分離定理: 共通点のない 2 つの凸多角形には、分離線があります。多角形が閉じており、少なくとも 1 つがコンパクトである場合、2 つの平行な分離線 (間に隙間がある) が存在します。
• 内接三角形の性質：凸多角形に含まれるすべての三角形のうち、頂点がすべて多角形の頂点である三角形が最大面積で存在する。^[2]
• 三角形の内接特性: 面積 を持つすべての凸多角形は、面積が に等しい三角形に内接することができます。等式は平行四辺形に対してのみ成立します。^[3]${\displaystyle A}$${\displaystyle 2A}$
• 内接長方形の性質:平面上のあらゆる凸体に対して、の相似コピーが に外接し、正の相似比が最大で 2 かつ となるような長方形を に内接させることができます。^[4]${\displaystyle C}$${\displaystyle r}$${\displaystyle C}$${\displaystyle R}$${\displaystyle r}$${\displaystyle C}$${\displaystyle 0.5{\text{ × 面積}}(R)\leq {\text{面積}}(C)\leq 2{\text{ × 面積}}(r)}$
• 凸多角形の平均幅は、その周囲を で割った値に等しい。つまり、その幅は多角形と同じ周囲長を持つ円の直径に等しい。^[5]${\displaystyle \pi}$

円に内接するすべての多角形（多角形のすべての頂点が円に接する）は、自己交差しない限り凸多角形です。ただし、すべての凸多角形が円に内接できるわけではありません。

単純な多角形の次の特性はすべて厳密な凸性と同等です。

• すべての内角は厳密に 180 度未満です。
• 内部の 2 点間、または境界上にあるが同じエッジ上にない 2 点間のすべての線分は、ポリゴンの内部に厳密に存在します (端点がエッジ上にある場合は、その端点を除きます)。
• 各エッジについて、エッジに含まれない内部点と境界点は、エッジが定義する線の同じ側にあります。
• 各頂点の角度には、その内部に他のすべての頂点が含まれます (指定された頂点と 2 つの隣接する頂点を除く)。

すべての非退化三角形は厳密に凸です。

• 凸曲線 – 平面曲線の種類
• 凹多角形 – 凸ではない単純な多角形
• 凸多面体 – ユークリッド空間内の有限の点の集合の凸包
• 環状多角形 – 共通の円上の点リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• 暗黙曲線 § 凸多角形の滑らかな近似
• 接線多角形 – 内接円を含む凸多角形

ウィキメディア・コモンズには、凸多角形に関連するメディアがあります。

• Weisstein、Eric W.「凸多角形」。MathWorld。
• http://www.rustycode.com/tutorials/convex.html
• ショルン、ピーター、フィッシャー、フレデリック (1994)、「I.2 多角形の凸性のテスト」、ポール S. ヘックバート (編)、グラフィックス ジェムズ IV、モーガン カウフマン(アカデミック プレス)、p. 7–15、ISBN 9780123361554