四面体対称性

正四面体には12 の回転対称性 (または方向保存対称性) があり、反射と回転を組み合わせた変換を含めて 24 の 対称順序があります。

すべての対称性（必ずしも方向が保存されるわけではない）のグループは、4 つのオブジェクトの順列の対称グループであるグループ S 4 と同型です。_これは、四面体の頂点の順列ごとに、このような対称性が 1 つだけ存在するためです。方向が保存される対称性の集合は、 S _4の交代部分群A ₄と呼ばれるグループを形成します。

キラル対称性と完全対称性（またはアキラル四面体対称性およびピリトヘドロン対称性）は離散点対称性（または球面上の対称性）である。これらは立方晶系の結晶学的点群に含まれる。

立体投影で見ると、テトラキス六面体のエッジは平面内に 6 つの円 (または中心放射状線) を形成します。これらの 6 つの円はそれぞれ、四面体対称の鏡像線を表します。これらの円の交点は、2 次および 3 次回転点で交わります。

T、 332、[3,3] ⁺、または23、位数 12 –カイラルまたは回転四面体対称性。カイラル二面体対称性 D ₂または 222 と同様に、3 つの直交する 2 倍回転軸があり、さらに3 つの直交方向の間に中心がある 4 つの 3 倍軸があります。この群は、 4 つの要素の交代群であるA ₄と同型です。実際、これは4 つの 3 倍軸の偶数順列の群です: e、(123)、(132)、(124)、(142)、(134)、(143)、(234)、(243)、(12)(34)、(13)(24)、(14)(23)。

T の 共役類は次のとおりです。

• 身元
• 4 × 時計回りに120°回転（頂点から見て）：（234）、（143）、（412）、（321）
• 反時計回りに120°回転（4回）（同上）
• 3 × 180°回転

180° 回転は恒等関数とともに、Dih _2型の正規部分群を形成し、商群は Z ₃型となる。後者の 3 つの要素は恒等関数、「時計回りの回転」、および「反時計回りの回転」であり、これらは 3 つの直交する 2 倍軸の順列に対応し、方向は保持される。

A _4は、ラグランジュの定理の逆が一般には成り立たないことを示す最小の群です。有限群Gと| G | の約数dが与えられた場合、位数dのGのサブグループが必ずしも存在するわけではありません。群G = A ₄には位数 6 のサブグループはありません。これは一般に抽象群の特性ですが、キラル四面体対称性の等長変換群から明らかです。キラリティーのため、サブグループは C ₆または D ₃である必要がありますが、どちらも当てはまりません。

T _d , *332 , [3,3] または4 3m、位数 24 –アキラルまたは完全な四面体対称性、 (2,3,3)三角形群とも呼ばれます。この群は T と同じ回転軸を持ちますが、それぞれが 2 つの 3 倍軸を通る 6 つの鏡面を持ちます。2 倍軸は S ₄ ( 4 ) 軸になります。T _dと O は抽象群として同型です。つまり、どちらも4 つのオブジェクトの対称群である S ₄に対応します。T _{d は、T と、} O \ Tの各要素を反転して組み合わせることで得られる集合との和集合です。正四面体の等長変換も参照してください。

T _dの共役類は次の通りです。

• 身元
• 8 × 120°回転（C ₃）
• 3 × 180°回転（C ₂）
• 2つの回転軸を通る平面での6×反射（C _s）
• 6 × 90°回転反射（S ₄）

T _h , 3*2 , [4,3 ⁺ ] または m 3、位数 24 –ピリトヘドロン対称性。^[1]この群は T と同じ回転軸を持ち、直交方向のうち 2 つを通る鏡面を持ちます。3 倍軸はS ₆ ( 3 ) 軸になり、中心反転対称性があります。 T _hはT × Z ₂と同型です。つまり、 T _hのすべての要素は、 T の要素か、反転と組み合わされた要素のいずれかです。これら 2 つの正規部分群とは別に、Dih ₂ × Z ₂ = Z ₂ × Z ₂ × Z ₂型の正規部分群 D _2h (直方体の正規部分群) もあります。これは、 T の正規部分群 (上記参照) とC _iとの直積です。商群は上記と同じで、 Z ₃型です。後者の 3 つの要素は、恒等式、「時計回りの回転」、および「反時計回りの回転」であり、方向を維持しながら、3 つの直交する 2 倍軸の順列に対応します。

これは立方体の対称性で、各面には面を 2 つの等しい長方形に分割する線分があり、隣接する面の線分は端で交わりません。対称性は、体の対角線の偶数順列と、反転を組み合わせたものに対応します。これは、説明した立方体に非常によく似たピリトヘドロン (黄鉛面体) の対称性でもあります。黄鉛面体では、各長方形が 1 つの対称軸と 4 つの等しい辺と 1 つの異なる辺 (立方体の面を分割する線分に対応する辺) を持つ五角形に置き換えられています。つまり、立方体の面は分割線で膨らみ、そこから狭くなります。これは、10 個の 3 倍軸のうち 4 つを持つ、完全な20 面体対称性群 (抽象群としてだけでなく等長群として) のサブグループです。

_{T h}の共役類には、T の共役類と 4 の 2 つの類が組み合わされ、それぞれが反転したものが含まれます。

• 身元
• 8 × 120°回転（C ₃）
• 3 × 180°回転（C ₂）
• 反転（S ₂）
• 8 × 60°回転反射（S ₆）
• 3 × 平面反射 (C _s )

スナブ四面体 として色付けされた二十面体は、キラル対称性を持ちます。

• 八面体対称性
• 二十面体対称性
• 二元四面体群

• Weisstein、Eric W.「四面体群」。MathWorld。
• Wikiversity の対称群 S4 に関する学習教材