CWコンプレックス

数学、特に位相幾何学において、CW複体（セル複体、セルコンプレックスとも呼ばれる）は、異なる次元の位相球（いわゆるセル）を特定の方法で接着することによって構築される位相空間である。これは、多様体と単体複体の両方を一般化し、代数位相幾何学にとって特に重要な意味を持つ。^{[1]これは、当初、}ホモトピー理論のニーズを満たすためにJHCホワイトヘッドによって導入された。^[2] CW複体は単体複体よりも優れた圏論的特性を持っているが、それでも計算（多くの場合、はるかに小さな複体で）を可能にする組み合わせの性質を保持している。

CWのCは「閉包有限」を意味し、Wは「弱い」位相を意味します。^[2]

CW複合体は、それぞれが開球に同相なk セルのコピーを連続的な貼り付けマップによってに貼り付けることによって から得られるような位相空間のシーケンスの和集合を取ることによって構築されます。マップは添付マップとも呼ばれます。したがって、集合として、. $${\displaystyle \emptyset =X_{-1}\subset X_{0}\subset X_{1}\subset \cdots }$$${\displaystyle X_{k}}$${\displaystyle X_{k-1}}$${\displaystyle (e_{\alpha }^{k})_{\alpha }}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle B^{k}}$${\displaystyle X_{k-1}}$${\displaystyle g_{\alpha }^{k}:\partial e_{\alpha }^{k}\to X_{k-1}}$${\displaystyle X_{k}=X_{k-1}\sqcup _{\alpha }e_{\alpha }^{k}}$

それぞれは複合体の k 骨格と呼ばれます。${\displaystyle X_{k}}$

の位相は弱い位相です。つまり、サブセットが開いている場合と、各 k スケルトンに対して が開いている場合とは同じです。 ${\displaystyle X=\cup _{k}X_{k}}$${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle U\cap X_{k}}$${\displaystyle X_{k}}$

圏論の言語では、上の位相は図の直接の極限です。「CW」という名前は「閉包有限弱位相」を表し、次の定理によって説明されます。 ${\displaystyle X}$$${\displaystyle X_{-1}\hookrightarrow X_{0}\hookrightarrow X_{1}\hookrightarrow \cdots }$$

このXの分割はセル化とも呼ばれます。

CW 複合体の構築は、次のプロセスを単純に一般化したものです。

• 0次元 CW 複体は、単に 0 個以上の離散点 (離散トポロジーを持つ)の集合です。
• 1次元 CW 複体は、 0 次元 CW 複体と単位区間の 1 つ以上のコピーとの分離和をとることによって構築されます。各コピーには、その境界 (2 つの端点) を 0 次元複体の要素 (点) に「接着」するマップがあります。CW 複体のトポロジーは、これらの接着マップによって定義される商空間のトポロジーです。
• 一般に、n 次元 CW 複体は、k次元 CW 複体 (ある) とn次元球の 1 つ以上のコピーとの分離和をとることによって構築されます。各コピーには、その境界 (次元球) を 次元複体の要素に「接着」するマップがあります。CW 複体のトポロジーは、これらの接着マップによって定義される商トポロジーです。${\displaystyle k<n}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle k}$
• 無限次元の CW 複合体は、上記のプロセスを数え切れないほど繰り返すことで構築できます。 結合のトポロジーは不確定であるため、図が直接極限を強く示唆しているため、直接極限トポロジーを採用します。 これには大きな技術的利点があることがわかります。${\displaystyle \cup _{k}X_{k}}$

正則CW 複体は、その接着写像が同相写像である CW 複体です。したがって、 Xの分割は正則セル化とも呼ばれます。

ループのないグラフは、正則 1 次元 CW 複合体によって表されます。表面に埋め込まれた閉じた 2 セル グラフは、正則 2 次元 CW 複合体です。最後に、3 次元球面正則セル化予想は、すべての2 連結グラフが3 次元球面上の正則 CW 複合体の 1 スケルトンであると主張しています。^[3]

大まかに言えば、相対CW複合体は、必ずしも細胞構造を持たない1つの余分な構成要素を持つことが許される点でCW複合体と異なります。この余分なブロックは、前者の定義では（-1）次元の細胞として扱うことができます。^{[4] [5] [6]}

すべての離散位相空間は 0 次元 CW 複体です。

1次元CW複合体の例としては次のようなものがある: ^[7]

• 区間。2 つの点 ( xとy ) と 1 次元球B (区間)から構成され、 Bの一方の端点はxに、もう一方の端点はyに接着されます。2 つの点xとy は0 セルで、Bの内部は 1 セルです。あるいは、0 セルのない単一の区間から構成することもできます。
• 円。これは、単一の点xと 1 次元球Bから構築でき、Bの両端点はxに接着されます。または、2 つの点xとyと 2 つの 1 次元球AとBから構築でき、 Aの両端点はxとyに接着され、Bの両端点もxとyに接着されます。
• グラフ。グラフが与えられると、0 セルが頂点、1 セルがグラフの辺である 1 次元 CW 複合体を構築できます。各辺の終点は、それに接続する頂点と同一視されます。組み合わせグラフを位相空間として実現したものを、位相グラフと呼ぶことがあります。
  • 3 正則グラフは、一般的な1 次元 CW 複体として考えることができます。具体的には、X が1 次元 CW 複体である場合、1 セルの添付マップは、2 点空間からX、へのマップです。このマップは、 とがXの 0 価頂点でない場合に限り、Xの 0 スケルトンと分離するように摂動できます。${\displaystyle f:\{0,1\}\to X}$${\displaystyle f(0)}$${\displaystyle f(1)}$
• 実数上の標準 CW 構造は、整数を 0 スケルトンとして持ち、区間を 1 セルとして持ちます。同様に、 上の標準 CW 構造は、 の 0 セルと 1 セルの積である立方セルを持ちます。これが 上の標準立方格子セル構造です。${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \{[n,n+1]:n\in \mathbb {Z} \}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

有限次元CW複体の例としては次のようなものがある: ^[7]

• n次元球。これは、0 セル 1 つと n セル 1 つの 2 つのセルを持つ CW 構造を許容します。ここで、n セルは、その境界から単一の 0 セルへの定数マッピングによって接続されます。別のセル分解には、1 つの ( n -1) 次元球 (「赤道」) と、それに接続された 2 つのnセル (「上半球」と「下半球」) があります。帰納的に、これは、k の各次元に 2 つのセルを持つ CW 分解となり、 となります。${\displaystyle D^{n}}$${\displaystyle S^{n-1}}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle 0\leq k\leq n}$
• n次元の実射影空間。各次元に 1 つのセルを持つ CW 構造を許容します。
• 一般的な2次元CW複合体の用語はシャドウです。 [ ^8]
• 多面体は当然 CW 複合体です。
• グラスマン多様体はシューベルト細胞と呼ばれる CW 構造を許容します。
• 微分可能多様体、代数多様体、射影多様体はCW 複体のホモトピー型を持ちます。
• 尖頭双曲多様体の1点コンパクト化には、エプスタイン・ペナー分解と呼ばれる 0 セル (コンパクト化点) が 1 つだけの標準的な CW 分解があります。このようなセル分解は、理想多面体分解と呼ばれることが多く、 SnapPeaなどの一般的なコンピュータ ソフトウェアで使用されます。

• 無限次元ヒルベルト空間は CW 複体ではありません。これはベール空間であり、したがって、それぞれが空の内部を持つ閉集合であるnスケルトンの可算な和集合として記述することはできません。この議論は、他の多くの無限次元空間にも適用されます。
• ヘッジホッグ空間は CW複体 (点) とホモトピー同値ですが、局所的に収縮できないため CW 分解は許可されません。${\displaystyle \{re^{2\pi i\theta }:0\leq r\leq 1,\theta \in \mathbb {Q} \}\subseteq \mathbb {C} }$
• ハワイアンイヤリングは、原点で局所的に縮退できないため、CW 分解がありません。また、良いオープン カバーがないため、CW 複合体とホモトピー同値ではありません。

• CW複合体は局所的に収縮可能である。^[9]
• ある空間がCW複体とホモトピー同値である場合、その空間は良い開被覆を持つ。 ^[10]良い開被覆とは、すべての空でない有限交差が縮約可能であるような開被覆である。
• CW複体はパラコンパクトである。有限CW複体はコンパクトである。CW複体のコンパクト部分空間は、常に有限部分複体に含まれる。^{[11] [12]}
• CW 複体はホワイトヘッド定理を満たします。つまり、CW 複体間の写像は、すべてのホモトピー群に同型性を誘導する場合に限り、ホモトピー同値です。
• CW複体の被覆空間もまたCW複体である。[ 13 ^]
• 2 つの CW 複体の積は、CW 複体にすることができます。具体的には、XとYが CW 複体であれば、各セルがXのセルとYのセルとの積であり、弱位相が備わっているCW 複体X × Yを形成できます。すると、 X × Yの基底集合は、予想どおり、 XとYの直積になります。さらに、この集合上の弱位相は、たとえばXまたはY のいずれかが有限である場合など、 X × Y上のより一般的な積位相と一致することがよくあります。ただし、たとえばXもYも局所的にコンパクトでない場合は、弱位相が積位相よりも細かい場合があります。この不利なケースでは、積位相内の積X × Yは CW 複体ではありません。一方、コンパクト生成空間のカテゴリでのXとYの積は、弱位相と一致し、したがって CW 複体を定義します。
• XとY をCW 複体とする。すると、関数空間Hom( X , Y ) (コンパクト開位相を持つ) は一般に CW 複体ではない。Xが有限であれば、 John Milnor (1959) の定理により、Hom( X , Y ) は CW 複体とホモトピー同値になる。^[14] XとYはコンパクト生成ハウスドルフ空間であるため、Hom( X , Y ) はコンパクト生成のコンパクト開位相の変種としてよく使われることに 注意する。その場合、上記の記述は真である。^[15]
• 細胞近似定理

CW 複体の特異ホモロジーおよびコホモロジーは、細胞ホモロジーを介して容易に計算できます。さらに、CW 複体と細胞マップのカテゴリでは、細胞ホモロジーはホモロジー理論として解釈できます。CW複体の特別な (コ) ホモロジー理論を計算するために、アティヤ - ヒルツェブルッフ スペクトル列が細胞ホモロジーの類似物となります。

例:

• 球面の場合、 2 つのセル (1 つの 0 セルと 1 つのnセル)でセル分解を行います。セルの相同性連鎖の複合体と相同性は次のように表されます。${\displaystyle S^{n},}$ ${\displaystyle C_{*}}$

${\displaystyle C_{k}={\begin{cases}\mathbb {Z} &k\in \{0,n\}\\0&k\notin \{0,n\}\end{cases}}\quad H_{k}={\begin{cases}\mathbb {Z} &k\in \{0,n\}\\0&k\notin \{0,n\}\end{cases}}}$

すべての微分がゼロだからです。

あるいは、各次元に2つのセルを持つ赤道分解を使用すると、

${\displaystyle C_{k}={\begin{cases}\mathbb {Z} ^{2}&0\leqslant k\leqslant n\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

そして、微分は、形式の行列である。これは、鎖複体が、およびを除くすべての項で正確であるため、上記と同じホモロジー計算を与える。${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&-1\\1&-1\end{smallmatrix}}\right).}$${\displaystyle C_{0}}$${\displaystyle C_{n}.}$

• 同じように${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}(\mathbb {C} )}$

${\displaystyle H^{k}\left(\mathbb {P} ^{n}(\mathbb {C} )\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &0\leqslant k\leqslant 2n,{\text{ even}}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

上記の例は両方とも、相同性が細胞の数によって決定されるため、特に単純です。つまり、細胞付着マップはこれらの計算では役割を果たしません。これは非常に特殊な現象であり、一般的なケースを示すものではありません。

ホワイトヘッドによって開発された、CW 複合体を、より単純なCW 分解を持つホモトピー等価な CW 複合体に置き換える手法があります。

たとえば、任意の CW 複合体を考えてみましょう。その 1 スケルトンはかなり複雑で、任意のグラフになります。次に、このグラフ内の最大フォレスト F を考えてみましょう。これはツリーのコレクションであり、ツリーは収縮可能であるため、最大フォレストF内の共通のツリーに含まれる場合に、同値関係が生成される空間を考えます。商マップはホモトピー同値です。さらに、 は自然に CW 構造を継承し、セルはFに含まれないのセルに対応します。特に、 の 1 スケルトンは、円のくさびの互いに素な和集合です。 ${\displaystyle X/{\sim }}$${\displaystyle x\sim y}$${\displaystyle X\to X/{\sim }}$${\displaystyle X/{\sim }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X/{\sim }}$

上記を別の言い方で述べると、連結された CW 複合体は、0 スケルトンが単一の点で構成されるホモトピー等価な CW 複合体に置き換えることができます。

接続性の階段を上ることを考えてみましょう。X は、 0 スケルトンが 1 つの点で構成される単連結 CW 複合体であると仮定します。適切な変更により、X を、1 つの点で構成されるホモトピー同値 CW 複合体に置き換えることができますか? 答えは「はい」です。最初のステップは、およびから構築される添付マップがグループ表示を形成することを観察することです。グループ表示のTietze 定理は、このグループ表示を自明なグループの自明な表示に縮小するために実行できる一連の手順があることを述べています。Tietze の動作には 2 つあります。 ${\displaystyle X^{1}}$${\displaystyle X^{1}}$${\displaystyle X^{2}}$${\displaystyle X^{1}}$

1) 生成子の追加/削除。生成子の追加は、CW 分解の観点からは、1 セルと 2 セルの追加から成り、その接続マップは新しい 1 セルで構成され、接続マップの残りは にあります。を対応する CW 複合体とすると、新しい 2 セルをXにスライドさせることによって得られるホモトピー同値があります。${\displaystyle X^{1}}$${\displaystyle {\tilde {X}}}$${\displaystyle {\tilde {X}}=X\cup e^{1}\cup e^{2}}$${\displaystyle {\tilde {X}}\to X}$

2) 関係の追加/削除。関係を追加する行為は似ていますが、X をに置き換える点が 1 つだけ異なります。ここで、新しい3セルには、新しい 2 セルと残りの へのマッピングで構成されるアタッチ マップがあります。同様のスライドに、ホモトピー同値 が示されています。${\displaystyle {\tilde {X}}=X\cup e^{2}\cup e^{3}}$${\displaystyle X^{2}}$${\displaystyle {\tilde {X}}\to X}$

CW 複体Xがn連結である場合、 nスケルトンが単一の点からなるホモトピー等価な CW 複体を見つけることができます。 の議論はの場合と似ていますが、基本群表示の Tietze 移動を、表示行列の基本行列演算に置き換えます(セルホモロジーから得られる表示行列を使用します)。つまり、セルの追加/削除のシーケンスまたは添付マップの適切なホモトピーによって、同様に基本行列演算を実現できます。 ${\displaystyle {\tilde {X}}}$${\displaystyle X^{n}}$${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle H_{n}(X;\mathbb {Z} )}$

CW複体のホモトピー圏は、一部の専門家の意見では、ホモトピー圏の唯一の候補ではないにしても最良のものである（技術的な理由から、実際には尖った空間のバージョンが使用される）。^[16] CW複体ではない空間を生成する補助的な構成を時々使用する必要がある。基本的な結果の1つは、ホモトピー圏上の表現可能な関数が単純な特徴付けを持つということである（ブラウン表現可能性定理）。

• 抽象的な細胞複合体
• CW 複体の概念は、ハンドル分解と呼ばれる滑らかな多様体への適応を持っており、これは手術理論と密接に関連しています。