複素多面体

幾何学において、複素多面体とは、実空間の多面体を複素ヒルベルト空間の類似の構造に一般化したものであって、各実次元には虚次元が伴うものである。

複素多面体は、複雑な点、線、平面などの集合として理解できます。ここで、すべての点は複数の線の接合点であり、すべての線は複数の平面の接合点などです。

正確な定義が存在するのは、構成である正則複素多面体だけです。正則複素多面体は完全に特徴付けられており、Coxeterによって開発された記号表記法を使用して記述できます。

完全に正則ではない複雑な多面体もいくつか記述されています。

複素直線には 、実座標の次元と虚座標の次元があります。両方の次元に実座標を適用すると、実数上の 2 次元になります。虚軸に実数としてラベルが付けられた実平面は、アルガン図と呼ばれます。このため、複素平面と呼ばれることもあります。複素 2 空間 (複素平面と呼ばれることもあります) は、したがって実数上の 4 次元空間であり、高次元でも同様です。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$

複素n空間の複素n多面体は、実n空間の実n多面体の類似体です。ただし、実直線上の点の順序 (または関連する組み合わせ特性) の自然な複素類似体はありません。このため、複素多面体は連続面として見ることができず、実多面体のように内部を境界付けません。

正多面体の場合、対称性の概念を使用することで正確な定義を行うことができます。任意の正多面体に対して、対称群 (ここではシェパード群と呼ばれる複素反射群) は、フラグ、つまり、平面に含まれる直線に含まれる点などのネストされたシーケンスに推移的に作用します。

より詳しくは、 n次元の複素ユニタリ空間Vのアフィン部分空間（または平面）の集合Pが次の条件を満たすとき、それは正則複素多面体であると言う：^{[1] [2]}

• 任意の−1 ≤ i < j < k ≤ nに対して、F がPのi次元のフラットであり、H がPのk次元のフラットでF ⊂ Hとなる場合、 Pのj次元のフラットGが少なくとも 2 つ存在し、F ⊂ G ⊂ Hとなる。
• −1 ≤ i < j − 2, j ≤ nとなる任意のi 、 jに対して、F ⊂ GがPのi 、j次元のフラットである場合、 FとGの間のフラットの集合は連結であり、この集合の任意の要素から他の任意の要素へは包含関係のシーケンスによって到達できる。
• Pを固定するVのユニタリ変換のサブセットは、 PのフラットのフラグF ₀ ⊂ F ₁ ⊂ … ⊂ F _n上で推移的である（すべてのiに対して、 i次元のF _iである）。

(ここでは、次元 -1 の平面は空集合を意味するものとします。) したがって、定義により、正則複素多面体は複素ユニタリ空間内の 構成です。

正則複素多面体はShephard ( 1952)によって発見され、その理論は Coxeter (1974) によってさらに発展させられました。

複素多面体は、同等の次元の複素空間に存在します。たとえば、複素多角形の頂点は複素平面(各点が 2 つの複素数を座標として持つ平面。複素数のアルガン平面と混同しないでください) 上の点であり、辺は平面の (アフィン) 部分空間として存在し、頂点で交差する複素線です。したがって、1 次元複素空間として、辺には独自の座標系を与えることができ、その中で辺の点はそれぞれ 1 つの複素数で表されます。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$

正複素多面体では、辺に接続する頂点は、その重心の周りに対称的に配置されます。重心 は、辺の座標系の原点としてよく使用されます (実際のケースでは、重心は辺の中点です)。この対称性は、重心に関する複素反射から生じます。この反射では、どの頂点の大きさも不変ですが、その引数が一定量だけ変化し、次の頂点の座標に移動します。したがって、(適切なスケールを選択した後) 辺上の頂点は、接続する頂点の数をpとして、次の式を満たすと想定できます。したがって、辺のアルガン図では、頂点は原点を中心とする 正多角形の頂点にあります。${\displaystyle x^{p}-1=0}$

上図は、正複素多角形 4{4}2 の 3 つの実射影と、辺a、b、c、d、e、f、g、hを示しています。この多角形には 16 個の頂点がありますが、わかりやすくするために個別にはマークしていません。各辺には 4 つの頂点があり、各頂点は 2 つの辺上にあるため、各辺は他の 4 つの辺と接しています。最初の図では、各辺は正方形で表されています。正方形の辺は多角形の一部ではなく、4 つの頂点を視覚的に関連付けるためにのみ描かれています。辺は対称的に配置されています (この図は、四次元方陣の B 4 コクセター平面射影に似ていますが、構造_が異なります)。

中央の図では、明瞭さを優先して八角形の対称性を捨てています。各辺は実線として示され、2 本の線が交わる各点は頂点です。さまざまな辺の間の接続性がはっきりとわかります。

最後の図は、3 次元に投影された構造の雰囲気を示しています。頂点の 2 つの立方体は実際には同じサイズですが、4 次元では異なる距離から遠近法で見られています。

実 1 次元多面体は、実直線上の 2 つの端点または頂点によって定義される、実直線上の閉じた線分として存在します。そのSchläfli 記号は {} です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$

同様に、複素1次元多面体は複素直線上のp個の頂点の集合として存在する。これらはアルガンド図( x , y )= x + iy上の点の集合として表すことができる。正則複素1次元多面体_p {}は、アルガンド平面上に凸正多角形{ p }を形成するように配置されたp ( p≥2 )個の頂点を持つ。^[4]${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$

実数直線上の点とは異なり、複素数直線上の点には自然な順序付けがありません。したがって、実数多面体とは異なり、内部を定義することはできません。^[5]それにもかかわらず、複素1-多面体は、ここでのように、アルガンド平面上の有界正多角形として描かれることがよくあります。

正則な実1次元多面体は、空のシュレーフリ記号{}、またはコクセター・ディンキン図で表される。 コクセター・ディンキン図の点またはノード自体は反射生成器を表し、ノードの周りの円は生成器点が反射上にないことを意味し、したがってその反射像はそれ自身とは異なる点である。拡張により、 の正則複素1次元多面体はコクセター・ディンキン図を持つ。${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$ 、任意の正の整数p、 2 以上、p 個の頂点を含む。pは 2 の場合は省略できます。 また、空のSchläfli 記号 _p {}、 } _p {、 {} _p、または_p {2} _{1で表すこともできます。 1 は表記上のプレースホルダーであり、存在しない反射、または周期 1 の単位元を表します。 (0 多面体、実数または複素数は点であり、 } {、または1} {2} ₁として表されます。)

対称性はコクセター図で示される。 であり、コクセター記法では_p []、[] _pまたは] _p [、_p [2] ₁または_p [1] _pと記述することもできます。対称性は巡回群と同型で、順序はpです。^[6] _p []の部分群は任意の整数因子d、_d []で、d ≥ 2です。

ユニタリ演算子ジェネレータは反時計回りに2π/ pラジアン回転すると見なされ、エッジは、単一のユニタリ反射を連続的に適用することで作成されます。p個の頂点を持つ 1 次元多面体のユニタリ反射生成子は、 e ^{2π i / p} = cos(2π/ p ) + i sin(2π/ p )です。p = 2 のとき、生成子はe ^{π i} = –1 で、実平面での点反射と同じです。

より高次の複素多面体では、1 多面体はp辺を形成します。2 辺は、2 つの頂点を含むという点で通常の実辺に似ていますが、実数直線上に存在する必要はありません。

1次元多面体は無制限のpを持つことができますが、二重柱多角形_p {4} ₂を除く有限正複素多角形は5辺（五角形辺）の要素に制限され、無限正アピロゴンには6辺（六角形辺）の要素も含まれます。

シェパードはもともと、正多面体に対するシュレーフリの表記法の修正版を考案しました。p ₁辺で囲まれた多角形、頂点図形としてp ₂集合、全体の対称群の順序がgの場合、その多角形をp ₁ ( g ) p ₂と表記します。

頂点の数Vはg / p ₂、辺の数Eはg / p ₁です。

上に示した複雑な多角形には、8 つの正方形の辺 ( p ₁ =4) と 16 個の頂点 ( p ₂ =2) があります。このことから、g​​ = 32 となり、修正されたシュレーフリ記号は 4(32)2 となります。

より現代的な表記法_{p 1} { q } _{p 2は}Coxeterによるもの^[7]で、群論に基づいています。対称群として、その記号は_{p 1} [ q ] _{p 2}です。

対称群_{p 1} [ q ] _{p 2 は2 つの生成元 R 1}、 R ₂で表され、ここで R ₁ ^{p ₁} = R ₂ ^{p ₂} = I です。qが偶数の場合、 (R ₂ R ₁ ) ^{q /2} = (R ₁ R ₂ ) ^{q /2です}。qが奇数の場合、 (R ₂ R ₁ ) ^(q−1)/2 R ₂ = (R ₁ R ₂ ) ^{( q −1)/2} R _1です。qが奇数の場合、p ₁ = p ₂です。

₄ [4] ₂の場合、R ₁ ⁴ = R ₂ ² = I、(R ₂ R ₁ ) ² = (R ₁ R ₂ ) ²となる。

₃ [5] ₃についてはR ₁ ³ = R ₂ ³ = I、(R ₂ R ₁ ) ² R ₂ = (R ₁ R ₂ ) ² R ₁である。

コクセターはコクセター・ディンキン図の複素多面体への応用も一般化した。例えば複素多角形_p { q } _rは次のように表される。そして、同値な対称群_p [ q ] _{r は}環のない図式である。ノードpとrは、平面にpとrの像を生成する鏡を表します。図のラベルのないノードには、暗黙的に2つのラベルがあります。たとえば、実際の正多角形は₂ { q } ₂または{ q }または。

1つの制限は、奇数の分岐順序で接続されたノードは、同一のノード順序を持つ必要があることです。そうでない場合、グループは重複する要素を持つ「星型」ポリゴンを作成します。そして普通ですが、星が輝いています。

コクセターは、この正複素多角形のリストを に列挙しました。正複素多角形_p { q } _rまたは${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$はp辺とr角形の_頂点図形を持ちます。p { q } _{r は}、( p + r ) q > pr ( q -2 ) の場合には有限多面体です。

その対称性は_p [ q ] _rと書かれ、シェパード群と呼ばれ、コクセター群に類似しているが、ユニタリ反射も許容する。

非星状群の場合、群の位数_p [ q ] _rは次のように計算できる。^[9]${\displaystyle g=8/q\cdot (1/p+2/q+1/r-1)^{-2}}$

_p [ q ] _rのCoxeter数は なので 、群の順序は として計算することもできます。正複素多角形は、h角対称の直交投影で描くことができます。 ${\displaystyle h=2/(1/p+2/q+1/r-1)}$${\displaystyle g=2h^{2}/q}$

複雑なポリゴンを生成するランク 2 ソリューションは次のとおりです。

qが奇数でpとrが等しくない除外解は₆ [3] _{2、6 [} 3] 3、9 _[ 3] _{3、12 [ 3} ] 3 _、 ...、₅ [5] _2、6 [ 5 _{] 2、8} [ ₅ ] _{2、9 [} 5] _{2、4 [} 7] _{2、9 [ 5} ] _2、3 [ ₉ ] ₂、および₃ [ 11] ₂である。

pとrが等しくない他の整数q は、重複する基本領域を持つ星型グループを作成します。、、、、、 そして。

_p { q } _rの双対多角形は_r { q } _pである_。p { q } _pの形の多角形は自己双対である。p [2 q ] ₂の形の群は半対称性_{p [} q ] p_を持つので、正多角形準正規形と同じ同様に、同じノード順序を持つ正多角形は、、交互構造を持つ隣接する辺を異なる色にすることができる。^[10]

グループの順序gは、頂点と辺の合計数を計算するために使用されます。頂点はg / r個、辺はg / p個になります。p = rの場合、頂点と辺の数は等しくなります。この条件は、 qが奇数の場合に必要です。

グループp [ q ] r、は、2つの行列で表すことができます。^[11]

と

か=${\displaystyle {\sqrt {\frac {cos({\frac {\pi }{p}}-{\frac {\pi }{r}})+cos({\frac {2\pi }{q}})}{2\sin {\frac {\pi }{p}}\sin {\frac {\pi }{r}}}}}}$

例

コクセターは複素多角形を正則複素多面体の表IIIに列挙した。^[12]

_p {2 r } _qの形式の多角形は、 p辺のq色セットによって視覚化できます。各p辺は正多角形として表示されますが、面はありません。

複雑な多角形の2次元直交投影₂ { r } _q

₂ {4} _qの形の多角形は、一般化正多角形と呼ばれます。これらは、4D q - q デュオピラミッドと頂点を共有し、頂点は 2 辺で接続されています。

• 
  ₂ {4} ₂、4つの頂点と4つの辺を持つ
• 
  ₂ {4} ₃、6つの頂点と9つの辺を持つ^[13]
• 
  ₂ {4} ₄、8つの頂点と16の辺を持つ
• 
  ₂ {4} ₅、10個の頂点と25個の辺を持つ
• 
  ₂ {4} ₆、12の頂点と36の辺を持つ
• 
  ₂ {4} ₇、14の頂点と49の辺を持つ
• 
  ₂ {4} ₈、16頂点、64辺を持つ
• 
  ₂ {4} ₉、18個の頂点と81個の辺を持つ
• 
  ₂ {4} ₁₀、20個の頂点と100個の辺を持つ

複素多角形_p {4} ₂

_p {4} ₂の形の多角形は、一般化ハイパーキューブ(多角形の正方形)と呼ばれます。これらは、4D p - p デュオプリズムと頂点を共有し、頂点は p 辺で接続されます。頂点は緑で描かれ、p辺は赤と青の交互の色で描かれます。奇数次元では、重なり合う頂点が中心からずれるため、遠近法はわずかに歪んでいます。

• 
  ₂ {4} ₂、または4つの頂点と4つの2辺を持つ
• 
  ₃ {4} ₂、または9つの頂点と6つの（三角形の）3辺を持つ^[13]
• 
  ₄ {4} ₂、または16個の頂点と8個の（正方形の）4辺を持つ
• 
  ₅ {4} ₂ ,または25の頂点と10の（五角形の）5辺を持つ
• 
  ₆ {4} ₂ ,または36の頂点と12の（六角形の）6辺を持つ
• 
  ₇ {4} ₂ ,または49の頂点と14の（七角形の）7辺を持つ
• 
  ₈ {4} ₂ ,または64の頂点と16の（八角形の）8辺を持つ
• 
  ₉ {4} ₂ ,または81の頂点と18の（9角形の）9辺を持つ
• 
  ₁₀ {4} ₂ ,または100個の頂点と20個の（10角形）10辺を持つ

複雑な多角形の3D透視投影_p {4} ₂。双対₂ {4} _p

エッジの内側に頂点を追加し、頂点の代わりにエッジを追加することで確認できます。

• 
  ₃ {4} ₂、 または9つの頂点、6つの3辺、2セットの色
• 
  ₂ {4} ₃、6つの頂点、3セットの9つの辺を持つ
• 
  ₄ {4} ₂、または16 個の頂点、2 セットの色を持つ 8 個の 4 辺、および塗りつぶされた正方形の 4 辺を持つ
• 
  ₅ {4} ₂ ,または25 個の頂点、2 セットの色で 10 個の 5 辺を持つ

その他の複雑な多角形_p { r } ₂

• 
  ₃ {6} ₂、または24個の頂点が黒で、16個の3辺が赤と青の2組の3辺で色付けされている^[14]
• 
  ₃ {8} ₂、または72個の頂点は黒色で、48個の3辺は赤と青の2組の3辺で色付けされている^[15]

複雑な多角形の2次元直交投影、_p { r } _p

_p { r } _pの形式の多角形は、頂点と辺の数が等しく、自己双対でもあります。

• 
  ₃ {3} ₃、または8つの頂点は黒で、8つの3辺は赤と青の2組の3辺で色付けされている^[16]
• 
  ₃ {4} ₃、または24個の頂点と24個の3辺が3組の色で表示され、1組は塗りつぶされている^[17]
• 
  ₄ {3} ₄、または24個の頂点と24個の4辺が4色で表示される^[17]
• 
  ₃ {5} ₃、または120個の頂点と120個の3辺を持つ^[18]
• 
  ₅ {3} ₅、または120の頂点と120の5辺を持つ^[19]

一般に、正則複素多面体はコクセターによって_p { z ₁ } _q {z ₂ } _r {z ₃ } _s ...またはコクセター図として表される。...、対称性_p [ z ₁ ] _q [ z ₂ ] _r [ z ₃ ] _sを持つ...または.... ^[20]

あらゆる次元に現れる正則複素多面体の無限族が存在し、実空間における超立方体と交差多面体を一般化する。シェパードの「一般化直交面」は超立方体を一般化するものであり、その記号はγで表される。^pn
_の= _p {4} ₂ {3} ₂ ... ₂ {3} ₂および図...その対称群は図_p [4] ₂ [3] ₂ ... ₂ [3] ₂を持つ。シェパード・トッド分類では、これは符号付き置換行列を一般化した群 G( p , 1, n ) である。その双対正則多面体である「一般化交差多面体」は、記号 β で表される。^pn
_の= ₂ {3} ₂ {3} ₂ ... ₂ {4} _pと図...^[21 ]

の1次元正則複素多面体は次のように表される。${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$はp 個の頂点を持ち、実数表現は正多角形{ p } となる。コクセターはこれに記号 γ も与えた。₁^ページ
またはβ₁^ページ
1次元の一般化超立方体または交差多面体として。その対称性は_p []または、位数pの巡回群。高次の多面体では、_p {} または2辺を持つp辺要素を表す{}または2つの頂点間の通常の実辺を表す。^[21]

双対複素多面体は、n多面体のk元と( n -1- k )元を交換することによって構築されます。たとえば、双対複素多面体は各辺を中心とする頂点を持ち、新しい辺は古い頂点を中心とします。v価頂点は新しいv辺を作成し、e辺はe価頂点になります。^[22]正則複素多面体の双対は反転した記号を持ちます。対称記号を持つ正則複素多面体、つまりp _{ q } p _、 p _{ q } r _{ q } p _、 p _{ q } r _{ s } r _{ q } p_などは自己双対です。

コクセターは、の5つのプラトン立体を含む、の非星状正複素多面体のリストを列挙した。^[23]${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

正複素多面体、_p { n ₁ } _q { n ₂ } _rまたは、 もっている顔、エッジ、そして 頂点図形。

複素正多面体_p { n1 } _q { n2 } _rでは、g1 = order( _p [ n1 ] _q )と_{g2=order(q[n2} ] _r )_の両方が有限_である必要があり_ます。

g = order( _p [ n ₁ ] _q [ n ₂ ] _r )とすると、頂点の数はg / g ₂、面の数はg / g ₁です。辺の数はg / prです。

複素多面体の2次元直交投影、_p { s } _t { r } _r

• 
  実数{3,3}、または4つの頂点、6つの辺、4つの面を持つ
• 
  ₃ {3} ₃ {3} ₃、またはは27個の頂点、72個の3辺、27個の面を持ち、そのうち1つの面が青くハイライトされている。^[25]
• 
  ₂ {4} ₃ {3} ₃、54個の頂点、216個の単純辺、72個の面があり、そのうち1つの面が青くハイライト表示されている。^[26]
• 
  ₃ {3} ₃ {4} ₂、またはは72個の頂点、216個の3辺、54個の頂点を持ち、1つの面が青く強調表示されている。^[27]

一般化された八面体

一般化された八面体は、次のような規則的な構造を持つ。および準正規形としてすべての要素は単体です。

• 
  実数{3,4}、または6つの頂点、12の辺、8つの面を持つ
• 
  ₂ {3} ₂ {4} ₃、または9つの頂点、27の辺、27の面を持つ
• 
  ₂ {3} ₂ {4} ₄、または12の頂点、48の辺、64の面を持つ
• 
  ₂ {3} ₂ {4} ₅、または15の頂点、75の辺、125の面を持つ
• 
  ₂ {3} ₂ {4} ₆、または18個の頂点、108個の辺、216個の面を持つ
• 
  ₂ {3} ₂ {4} ₇、または21の頂点、147の辺、343の面を持つ
• 
  ₂ {3} ₂ {4} ₈、または24の頂点、192の辺、512の面を持つ
• 
  ₂ {3} ₂ {4} ₉、または27頂点、243辺、729面を持つ
• 
  ₂ {3} ₂ {4} ₁₀、または30 個の頂点、300 個の辺、1000 個の面を持つ

一般化されたキューブ

一般化された立方体は、次のような規則的な構造を持つ。および角柱構造として、3 つのp角形 1 多面体 の積。要素は低次元の一般化立方体です。

• 
  実数{4,3}、または8つの頂点、12の辺、6つの面を持つ
• 
  ₃ {4} ₂ {3} ₂、または27の頂点、27の3辺、9の面を持つ^[25]
• 
  ₄ {4} ₂ {3} ₂、または64個の頂点、48個の辺、12個の面を持つ
• 
  ₅ {4} ₂ {3} ₂、または125の頂点、75の辺、15の面を持つ
• 
  ₆ {4} ₂ {3} ₂、または216の頂点、108の辺、18の面を持つ
• 
  ₇ {4} ₂ {3} ₂、または343の頂点、147の辺、21の面を持つ
• 
  ₈ {4} ₂ {3} ₂、または512の頂点、192の辺、24の面を持つ
• 
  ₉ {4} ₂ {3} ₂、または729の頂点、243の辺、27の面を持つ
• 
  ₁₀ {4} ₂ {3} ₂、または1000 頂点、300 辺、30 面を持つ

コクセターは、の6つの凸正4次元多面体を含む、の非星状正複素4次元多面体のリストを列挙した。^[23]${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

• 
  実数{3,3,3}、、5つの頂点、10の辺、10の{3}面、5つの{3,3}セルを持っていた。
• 
  実数{3,4,3}、、24個の頂点、96個の辺、96個の{3}面、および24個の{3,4}セルを持っていた。
• 
  実数{5,3,3}、、600の頂点、1200の辺、720の{5}面、120の{5,3}セルを持っていた。
• 
  実数{3,3,5}、、120の頂点、720の辺、1200の{3}面、および600の{3,3}セルがありました。
• 
  ウィッティング多面体、は、240個の頂点、2160個の3辺、2160個の3{3}3面、および240個の3{3}3{3}3セルを持ちます。

一般化された4-オルソプレックス

一般化された4-オルソプレックスは、次のような規則的な構造を持つ。および準正規形としてすべての要素は単体です。

• 
  実数{3,3,4}、または8つの頂点、24の辺、32の面、16のセルを持つ
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₃、または12の頂点、54の辺、108の面、81のセルを持つ
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₄、または16頂点、96辺、256面、256セル
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₅、または20 頂点、150 辺、500 面、625 セル
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₆、または24頂点、216辺、864面、1296セル
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₇、または28 個の頂点、294 個の辺、1372 個の面、2401 個のセルを持つ
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₈、または32の頂点、384の辺、2048の面、4096のセルを持つ
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₉、または36頂点、486辺、2916面、6561セル
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₁₀、または40 頂点、600 辺、4000 面、10000 セル

一般化された4キューブ

一般化された四次元方陣は、次のような規則的な構成を持つ。および角柱構造として、4 つのp角形 1 多面体 の積。要素は低次元の一般化された立方体です。

• 
  実数{4,3,3}、または16頂点、32辺、24面、8セル
• 
  ₃ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂、または81 個の頂点、108 個の辺、54 個の面、12 個のセルを持つ
• 
  ₄ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂、または256頂点、96辺、96面、16セル
• 
  ₅ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂、または625 個の頂点、500 個の辺、150 個の面、20 個のセルを持つ
• 
  ₆ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂、または1296頂点、864辺、216面、24セル
• 
  ₇ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂、または2401 頂点、1372 辺、294 面、28 セル
• 
  ₈ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂、または4096頂点、2048辺、384面、32セル
• 
  ₉ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂、または6561 頂点、2916 辺、486 面、36 セル
• 
  ₁₀ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂、または10000頂点、4000辺、600面、40セル

以上の正則複素 5 次元多面体には、実単体、一般化超立方体、正多面体の 3 つのファミリが存在します。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{5}}$

一般化された5-オルソプレックス

一般化された5-オルソプレックスは、次のような規則的な構造を持つ。および準正規形としてすべての要素は単体です。

• 
  実数{3,3,3,4}、10 個の頂点、40 個の辺、80 個の面、80 個のセル、32 個の 4 面を持つ
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₃、15頂点、90辺、270面、405セル、243の4面を持つ
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₄、20頂点、160辺、640面、1280セル、1024の4面を持つ
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₅、25頂点、250辺、1250面、3125セル、31254面
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₆、30 頂点、360 辺、2160 面、6480 セル、7776 4 面
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₇、35 頂点、490 辺、3430 面、12005 セル、16807 4 面
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₈、40 頂点、640 辺、5120 面、20480 セル、32768 4 面
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₉、45 頂点、810 辺、7290 面、32805 セル、59049 4 面
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₁₀、、50 頂点、1000 辺、10000 面、50000 セル、100000 4 面

一般化された5キューブ

一般化された5次元立方体は、次のような規則的な構造を持つ。および角柱構造として5 つのp角形 1 多面体 の積。要素は低次元の一般化立方体です。

• 
  実数{4,3,3,3}、32 個の頂点、80 個の辺、80 個の面、40 個のセル、10 個の 4 面を持つ
• 
  ₃ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂、243の頂点、405の辺、270の面、90のセル、15の4面を持つ
• 
  ₄ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂、1024頂点、1280辺、640面、160セル、20の4面を持つ
• 
  ₅ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂、3125 頂点、3125 辺、1250 面、250 セル、25 4 面
• 
  ₆ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂、7776頂点、6480辺、2160面、360セル、30の4面を持つ

一般化された6-オルソプレックス

一般化された6-オルソプレックスは、次のような規則的な構造を持つ。および準正規形としてすべての要素は単体です。

• 
  実数{3,3,3,3,4}、12 個の頂点、60 個の辺、160 個の面、240 個のセル、192 個の 4 面、64 個の 5 面を持つ
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₃、18 個の頂点、135 個の辺、540 個の面、1215 個のセル、1458 個の 4 面、729 個の 5 面を持つ。
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₄、24 頂点、240 辺、1280 面、3840 セル、6144 4 面、4096 5 面
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₅、30 頂点、375 辺、2500 面、9375 セル、18750 4 面、15625 5 面
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₆、36 頂点、540 辺、4320 面、19440 セル、46656 4 面、46656 5 面
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₇、、42 頂点、735 辺、6860 面、36015 セル、100842 4 面、117649 5 面
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₈、、48 頂点、960 辺、10240 面、61440 セル、196608 4 面、262144 5 面
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₉、、54 頂点、1215 辺、14580 面、98415 セル、354294 4 面、531441 5 面
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₁₀、、60 頂点、1500 辺、20000 面、150000 セル、600000 4 面、1000000 5 面

一般化された6キューブ

一般化された6次元立方体は、次のような規則的な構造を持つ。および角柱構造として6 つのp角形 1 多面体 の積。要素は低次元の一般化立方体です。

• 
  実数{3,3,3,3,3,4}、64 個の頂点、192 個の辺、240 個の面、160 個のセル、60 個の 4 面、12 個の 5 面を持つ
• 
  ₃ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂、729 個の頂点、1458 個の辺、1215 個の面、540 個のセル、135 個の 4 面、18 個の 5 面を持つ。
• 
  ₄ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂、4096頂点、6144辺、3840面、1280セル、240の4面、24の5面を持つ
• 
  ₅ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂、15625 頂点、18750 辺、9375 面、2500 セル、375 4 面、30 5 面

コクセターは、星のない規則的な複雑なアペイロトープまたはハニカムのリストを列挙しました。^[28]

各次元にはδで表される12個のアペイロトープがある。^{p , r}
_n+1は任意の次元、またはp = q =2のときに存在する。コクセターはn >2のときにこれを一般化立方ハニカムと呼ぶ。^[29]${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

それぞれの要素数は次のように比例して与えられます。

k-faces = 、ここで、n !はnの階乗を表します。${\displaystyle {n \choose k}p^{n-k}r^{k}}$${\displaystyle {n \choose m}={\frac {n!}{m!\,(n-m)!}}}$

唯一の正則な複素1次元多面体は_∞ {}、つまり実数表現はアペイロゴン、 {∞}、または。

ランク2の複素アペイロゴンは対称性_p [ q ] _rを持ち、1/ p + 2/ q + 1/ r = 1である。コクセターはこれをδと表現する。^r ₂ ^、...
ここでqはq = 2/(1 – ( p + r )/ pr )を満たすように制約される。^[30]

解決策は 8 つあります。

qが奇数でpとrが等しくない2つの除外解があります：₁₀ [5] ₂と₁₂ [3] ₄、または そして 。

正則複素アペイロゴン_p { q } _rはp辺とr角形の頂点図形を持つ。 _p { q } _{rの双対アペイロゴンはr} { q } _pである。 _p { q } _pの形のアペイロゴンは自己双対である。_p [2 q ] ₂の形の群は半対称性_p [ q ] _pを持つので、正則アペイロゴンは準正規形と同じ. ^[31]

アペイロゴンは、アルガンド平面上で表現でき、4 つの異なる頂点配置を共有します。形式₂ { q } _rのアペイロゴンは、頂点配置が { q /2, p } になります。形式_p { q } ₂のアペイロゴンは、頂点配置が r{ p , q /2} になります。形式_p {4} _rのアペイロゴンは、頂点配置が { p , r } になります。

アフィンノードとを含めると、さらに3つの無限解が存在する：_∞ [2] _∞、_∞ [4] ₂、_∞ [3] ₃、および${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$、、 そして最初のものは 2 番目のものの指数 2 の部分群です。これらのアペイロゴンの頂点は に存在します。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$

_p { a } _q { b } _{r の}形式の正複素アペイロヘドラは 22 個あります。そのうち 8 個は自己双対 ( p = rおよびa = b ) で、14 個は双対多面体ペアとして存在します。3 個は完全に実数 ( p = q = r =2) です。

コクセターは12個をδとして表した。₃ ^{、 r 3}
または_p {4} ₂ {4} _rは積アペイロトープδの正規形である。^r ₂ ^、...
× δ^r ₂ ^、...
または_p { q } _r × _p { q } _r（q はpとrから決定されます） 。

と同じです、 同様に、p、r =2、3、4、6の場合。また、=^[33 ]

には16個の規則的な複素アペイロトープが存在する。コクセターはそのうち12個をδで表現する。${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$₃ ^{、 r 3}
ここでqはq = 2/(1 – ( p + r )/ pr )を満たすように制約されます。これらは積アペイロトープとして分解することもできます。=最初のケースは立方体ハニカムです。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

There are 15 regular complex apeirotopes in ${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$. Coxeter expresses 12 of them by δ^p,r
₄ where q is constrained to satisfy q = 2/(1 – (p + r)/pr). These can also be decomposed as product apeirotopes: = . The first case is the ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ tesseractic honeycomb. The 16-cell honeycomb and 24-cell honeycomb are real solutions. The last solution is generated has Witting polytope elements.

There are only 12 regular complex apeirotopes in ${\displaystyle \mathbb {C} ^{5}}$ or higher,^[35] expressed δ^p,r
_n where q is constrained to satisfy q = 2/(1 – (p + r)/pr). These can also be decomposed a product of n apeirogons: ... = ... . The first case is the real ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ hypercube honeycomb.

A van Oss polygon is a regular polygon in the plane (real plane ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, or unitary plane ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$) in which both an edge and the centroid of a regular polytope lie, and formed of elements of the polytope. Not all regular polytopes have Van Oss polygons.

For example, the van Oss polygons of a real octahedron are the three squares whose planes pass through its center. In contrast a cube does not have a van Oss polygon because the edge-to-center plane cuts diagonally across two square faces and the two edges of the cube which lie in the plane do not form a polygon.

Infinite honeycombs also have van Oss apeirogons. For example, the real square tiling and triangular tiling have apeirogons {∞} van Oss apeirogons.^[36]

If it exists, the van Oss polygon of regular complex polytope of the form _p{q}_r{s}_t... has p-edges.

Some complex polytopes can be represented as Cartesian products. These product polytopes are not strictly regular since they'll have more than one facet type, but some can represent lower symmetry of regular forms if all the orthogonal polytopes are identical. For example, the product _p{}×_p{} or of two 1-dimensional polytopes is the same as the regular _p{4}₂ or . More general products, like _p{}×_q{} have real representations as the 4-dimensional p-q duoprisms. The dual of a product polytope can be written as a sum _p{}+_q{} and have real representations as the 4-dimensional p-q duopyramid. The _p{}+_p{} can have its symmetry doubled as a regular complex polytope ₂{4}_p or .

Similarly, a ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$ complex polyhedron can be constructed as a triple product: _p{}×_p{}×_p{} or is the same as the regular generalized cube, _p{4}₂{3}₂ or , as well as product _p{4}₂×_p{} or .^[37]

A quasiregular polygon is a truncation of a regular polygon. A quasiregular polygon contains alternate edges of the regular polygons and . The quasiregular polygon has p vertices on the p-edges of the regular form.

There are 7 quasiregular complex apeirogons which alternate edges of a regular apeirogon and its regular dual. The vertex arrangements of these apeirogon have real representations with the regular and uniform tilings of the Euclidean plane. The last column for the 6{3}6 apeirogon is not only self-dual, but the dual coincides with itself with overlapping hexagonal edges, thus their quasiregular form also has overlapping hexagonal edges, so it can't be drawn with two alternating colors like the others. The symmetry of the self-dual families can be doubled, so creating an identical geometry as the regular forms: =

Like real polytopes, a complex quasiregular polyhedron can be constructed as a rectification (a complete truncation) of a regular polyhedron. Vertices are created mid-edge of the regular polyhedron and faces of the regular polyhedron and its dual are positioned alternating across common edges.

For example, a p-generalized cube, , has p³ vertices, 3p² edges, and 3p p-generalized square faces, while the p-generalized octahedron, , has 3p vertices, 3p² edges and p³ triangular faces. The middle quasiregular form p-generalized cuboctahedron, , has 3p² vertices, 3p³ edges, and 3p+p³ faces.

Also the rectification of the Hessian polyhedron , is , a quasiregular form sharing the geometry of the regular complex polyhedron .

Other nonregular complex polytopes can be constructed within unitary reflection groups that don't make linear Coxeter graphs. In Coxeter diagrams with loops Coxeter marks a special period interior, like or symbol (1₁ 1 1)³, and group [1 1 1]³.^[38][39] These complex polytopes have not been systematically explored beyond a few cases.

The group is defined by 3 unitary reflections, R₁, R₂, R₃, all order 2: R₁² = R₁² = R₃² = (R₁R₂)³ = (R₂R₃)³ = (R₃R₁)³ = (R₁R₂R₃R₁)^p = 1. The period p can be seen as a double rotation in real ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$.

As with all Wythoff constructions, polytopes generated by reflections, the number of vertices of a single-ringed Coxeter diagram polytope is equal to the order of the group divided by the order of the subgroup where the ringed node is removed. For example, a real cube has Coxeter diagram , with octahedral symmetry order 48, and subgroup dihedral symmetry order 6, so the number of vertices of a cube is 48/6=8. Facets are constructed by removing one node furthest from the ringed node, for example for the cube. Vertex figures are generated by removing a ringed node and ringing one or more connected nodes, and for the cube.

Coxeter represents these groups by the following symbols. Some groups have the same order, but a different structure, defining the same vertex arrangement in complex polytopes, but different edges and higher elements, like and with p≠3.^[40]

Coxeter calls some of these complex polyhedra almost regular because they have regular facets and vertex figures. The first is a lower symmetry form of the generalized cross-polytope in ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$. The second is a fractional generalized cube, reducing p-edges into single vertices leaving ordinary 2-edges. Three of them are related to the finite regular skew polyhedron in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$.

Coxeter defines other groups with anti-unitary constructions, for example these three. The first was discovered and drawn by Peter McMullen in 1966.^[42]

• 
  (1 1 1₁⁴)⁴, has 42 vertices, 168 edges and 112 triangular faces, seen in this 14-gonal projection.
• 
  (1⁴ 1⁴ 1₁)⁽³⁾, has 56 vertices, 168 edges and 84 square faces, seen in this 14-gonal projection.
• 
  (1 1 2₂)⁴, has 80 vertices, 640 edges, 1280 triangular faces and 640 tetrahedral cells, seen in this 20-gonal projection.^[43]

• Quaternionic polytope

• Coxeter, H. S. M. and Moser, W. O. J.; Generators and Relations for Discrete Groups (1965), esp pp 67–80.
• Coxeter, H.S.M. (1991), Regular Complex Polytopes, Cambridge University Press, ISBN 0-521-39490-2
• Coxeter, H. S. M. and Shephard, G.C.; Portraits of a family of complex polytopes, Leonardo Vol 25, No 3/4, (1992), pp 239–244,
• Shephard, G.C.; Regular complex polytopes, Proc. London math. Soc. Series 3, Vol 2, (1952), pp 82–97.
• G. C. Shephard, J. A. Todd, Finite unitary reflection groups, Canadian Journal of Mathematics. 6(1954), 274-304, doi:10.4153/CJM-1954-028-3
• Gustav I. Lehrer and Donald E. Taylor, Unitary Reflection Groups, Cambridge University Press 2009

• F. アーサー シャーク、ピーター マクマレン、アンソニー C. トンプソン、アジア イヴィッチ ワイス編：万華鏡 — HSM コクセター選集。、論文 25、ユニタリ反射によって生成される有限群、p 415-425、ジョン ワイリー、1995 年、ISBN 0-471-01003-0 
• マクマレン、ピーター、シュルテ、エゴン（2002年12月）、Abstract Regular Polytopes（第1版）、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-81496-0第9章ユニタリ群とエルミート形式、pp. 289–298