59面体

『59 個の 20 面体』は、 HSM Coxeter、 P. Du Val 、HT Flather、JF Petrieによって執筆およびイラストが描かれた本です。この本では、 JCP Millerによって提唱された一連の規則に従って、正凸面体またはプラトン20 面体の特定の星型配置が列挙されています。

1938 年にトロント大学から初版が出版され、1982 年に Springer-Verlag から第 2 版が再版されました。Tarquin の 1999 年の第 3 版には、K. および D. Crennell による新しい参考資料と写真が掲載されました。

ミラーはこの本に直接貢献していないが、コクセターとペトリーの親しい同僚だった。彼の貢献は、どの星形が「適切に重要かつ明確」であると見なされるべきかを定義する一連の規則に不滅である: ^[1]

(i) 面は20の平面、すなわち正20面体の境界平面に位置していなければならない。

(ii) 面を構成するすべての部分は、完全に分離されていても、各平面で同じでなければなりません。

(iii) いずれの平面に含まれる部分も、反射の有無にかかわらず、三角対称性を持つ必要があります。これにより、立体全体の二十面体対称性が確保されます。

(iv) あらゆる平面に含まれる部分は、完成した立体ですべて「アクセス可能」でなければなりません (つまり、「外側」にある必要があります。場合によっては、外側全体を見るために巨大なサイズのモデルが必要になります。通常サイズのモデルでは、「外側」の一部は這う昆虫でしか探索できません)。

(v) 部分を 2 つの集合に分割し、それぞれが図形全体と同じ対称性を持つ立体を与える場合は考慮しません。ただし、共通部分を持たないエナンチオモルファス ペアの組み合わせは許容します (実際には 1 つのケースのみに発生します)。

ルール (i) から (iii) は、面の対称性の要件です。ルール (iv) は、2 つの星型が外見上同一に見えないように、埋め込み穴を除外します。ルール (v) は、より単純な星型が分離して結合されることを防ぎます。

コクセターは、この研究の原動力となった人物です。彼は、当時は幾何学の分野では斬新だった組み合わせ論や抽象グラフ理論などの多くの手法を採用し、ミラーの規則に基づいて独自の分析を行いました。

彼は星型図が多数の線分から構成されていることに着目し、隣接する平面領域の組み合わせを操作する手順を開発して、ミラーの規則で許可される組み合わせを正式に列挙しました。

ここで再現されている彼のグラフは、星型図で特定されたさまざまな面のつながりを示しています (下記参照)。ギリシャ文字は、可能な選択肢のセットを表しています。

λは3または4である。

μは7または8である可能性がある

νは11または12である可能性がある

デュ・ヴァルは、合同なセルのセットが元の二十面体の周りの「殻」にあるという観察に基づいて、合同なセルのセットを識別するための記号表記法を考案しました。これに基づいて、彼はミラーの規則に対してすべての可能な組み合わせをテストし、コクセターのより分析的なアプローチの結果を確認しました。

フラザーの貢献は間接的である。彼は59種類すべてのカードモデルを作成した。彼がコクセターと初めて会ったとき、彼はすでに多くの星形図を作成しており、その中には「ミラー以外の」例も含まれていた。彼は59種類のシリーズを完成させ、それらはイギリスのケンブリッジ大学の数学図書館に保存されている。この図書館にはミラー以外のモデルもいくつか保管されているが、これらがフラザーによって作成されたのか、ミラーの後の弟子によって作成されたのかは不明である。^[2]

ジョン・フリンダーズ・ペトリーはコクセターの生涯の友人であり、四次元幾何学を視覚化する優れた能力を持っていました。彼とコクセターは多くの数学の問題に共同で取り組みました。59 面体に対する彼の直接的な貢献は、出版された作品の魅力の多くを提供する一連の精巧な三次元図面でした。

第3版では、ケイトとデイヴィッド・クレネルが本文をリセットし、図表を描き直した。また、ケンブリッジのモデル（当時はすべてフラザーのモデルだと考えられていた）の表、図表、写真を含む参考セクションも追加した。この版の修正はオンラインで公開されている。^[3]

コクセター以前には、ブルックナーとホイーラーだけが重要な星形を記録していたが、大二十面体などいくつかの星形は以前から知られていた。『The 59』の出版後、ヴェニンガーはいくつかの星形の模型の作り方を解説した本を出版した。ヴェニンガーが記録した星形はほんのわずかだが、彼の本で使われた番号付けの方法は広く参照されるようになった。

索引番号は、特に記載がない限り、Crennells のものです。

クレネル

• クレネル夫妻が第 3 版に付け加えた索引番号では、最初の 32 の形式 (索引 1 ～ 32) は反射モデルであり、最後の 27 の形式 (索引 33 ～ 59) は右手形式のみが記載されたキラルです。これは、本の中で星形が描かれている順序に従っています。

細胞

• デュ・ヴァル記法では、各シェルは太字で示され、外側に向かってa、b、c、...、hと表記され、 aは元の 20 面体です。シェルによっては、 2 種類のセルに細分化されます。たとえば、 e はe ₁と e ₂で構成されます。集合f ₁はさらに、右巻き形式と左巻き形式に細分化され、それぞれ f ₁ (プレーン タイプ) とf ₁ (イタリック体) になります。星形がすべてのセルを外側のシェル内に存在する場合、外側のシェルは大文字で表記され、内側のシェルは省略されます。たとえば、a + b + c + e ₁はCe ₁と表記されます。

顔

• すべての星形は星形図で指定できます。ここに示す図では、番号の付いた色は、完全な二十面体対称性を維持するために、セットとして一緒に出現する必要がある星形図の領域を示しています。図には、このようなセットが 13 個あります。これらの一部は、カイラル ペア (図示せず) に細分化され、回転対称性を持つ星形が可能になりますが、反射対称性はありません。表では、下から見た面は、たとえば3 'のようにアポストロフィで示されます。

ヴェニンガー

• 索引番号と番号付きの名前は、ウェニンガーの出版社が著書「多面体モデル」での出現順に任意に割り当てたものであり、数学的な順序とは何の関係もありません。ウェニンガーのモデルのうち、20 面体のものはごくわずかでした。名前は「... 20 面体の」を省略した短縮形で与えられています。

ウィーラー

• ウィーラーは、星形図から線分を選択して、二十面体の図形、つまり「形」を見つけました。彼はこれをケプラーの古典的な星形化プロセスと注意深く区別しました。コクセターらはこの区別を無視し、すべてを星形と呼びました。

ブルックナー

• マックス・ブルックナーは、数多くの多面体の模型を作り、写真を撮りましたが、そのうち二十面体はほんのわずかでした。Taf . は、ドイツ語で「板」を意味するTafelの略語です。

備考

• 8 番は、ハリモグラに似ていると想像されてハリモグラ面体と呼ばれることもあります。この用法は、ケプラーが正多面体をハリモグラと表現したこととは無関係です。

いくつかの図では、 f _{1セルではなく}f ₁を持つ鏡像二十面体を示しています。

• ウェニンガー多面体モデルのリスト- ウェニンガーの著書「多面体モデル」には、このような星型が 21 個含まれていました。
• 二十面体対称の立体

• マックス・ブルックナー（1900年）。 Vielecke und Vielflache: 理論とゲシヒテ。ライプツィヒ：BG・トロイブナー。ISBN  978-1-4181-6590-1。(ドイツ語で)

WorldCat 英語:多角形と多面体: 理論と歴史。模型の写真: Tafel VIII (Plate VIII) など。高解像度スキャン。

• HSM Coxeter、Patrick du Val、HT Flather、JF Petrie (1938) 「59の20面体」、トロント大学研究、数学シリーズ6: 1–26。
  • 第3版（1999年）タルキンISBN 978-1-899618-32-3 MR 676126 
• Wenninger, Magnus J. ( 1983) Polyhedron models ; Cambridge University Press、ペーパーバック版 (2003)。ISBN 978-0-521-09859-5。 
• AH Wheeler (1924)「イコサヘドロンのある形式と高次の多面体の導出および指定方法」、国際数学者会議議事録、トロント、第 1 巻、pp 701-708。

• 二十面体の星型配置の例
• 正二十面体の59個の星形
• Weisstein、Eric W.「59 個の 20 面体星型」。MathWorld。
  • Weisstein、Eric W.「エキドナヘドロン」。MathWorld。
• 二十面体の星形
• George Hart、59 Stellations of the Icosahedron - VRML 3D ファイル。