重心

数学と物理学において、平面図形または立体図形の重心は、図形の表面にあるすべての点の算術平均位置であり、幾何学的中心または図形の中心とも呼ばれます。 ^{[さらなる説明が必要]}同じ定義が、1次元ユークリッド空間内の任意のオブジェクトに拡張されます。[ 1 ^]${\displaystyle n}$

幾何学では、質量密度が均一であると仮定することが多く、その場合、重心または質量の中心は重心と一致します。非公式には、形状の切り抜き（質量が均一に分散されている）がピンの先端で完全にバランスをとることができる点として理解できます。^[2]

物理学では、重力の変化を考慮すると、重心は、特定の重さで重み付けされたすべての点の加重平均として定義できます。

地理学では、地球の表面の領域を海面まで放射状に投影した重心が、その領域の地理的な中心となります。

「重心」という用語は最近（1814年）に造られた。^[3]これは、その点の純粋に幾何学的な側面を強調したい場合に、古い用語である「重心」や「質量の中心」の代わりに使用される。この用語は英語に特有であり、たとえばフランス語ではほとんどの場合「 centre de gravité」が使用され、他の言語でも同様の意味の用語が使用される。^[要出典]

重心は、その名前が示すように、力学で生まれた概念であり、おそらく建築活動に関連して生まれたものである。この概念が最初に現れたのはいつかは定かではないが、おそらく多くの人々がそれぞれ微妙な違いを伴って思いついたものと思われる。とはいえ、図形の重心は古代に広く研究されていた。ボスットは、平面図形の重心を最初に発見したのはアルキメデス（紀元前287年 - 212年）であるとしているが、アルキメデスは重心の定義をしていない。^[4]アルキメデスによる立体の重心に関する記述は失われている。^[5]

三角形の中線が一点（三角形の重心）で交わるという定理をアルキメデスがユークリッドから直接学んだとは考えにくい。この命題は『原論』には載っていないからだ。この命題が最初に明示的に述べられたのはアレクサンドリアのヘロン（おそらく紀元1世紀）によるもので、彼の『力学』に出てくる。ついでに付け加えると、この命題は19世紀まで平面幾何学の教科書では一般的ではなかった。^[要出典]

凸状の物体の幾何学的重心は、常に物体の中にあります。凸状でない物体の重心は、図形自体の外側にある場合があります。たとえば、 指輪やボウルの重心は、物体の中心の空洞の中にあります。

重心が定義されている場合、それはその対称群内のすべての等長変換の不動点です。特に、オブジェクトの幾何学的重心は、そのすべての対称超平面の交点にあります。多くの図形（正多角形、正多面体、円柱、長方形、菱形、円、球、楕円、楕円体、超楕円、超楕円体など）の重心は、この原理だけで決定できます。

特に、平行四辺形の重心は 2 つの対角線の交点です。これは他の四辺形には当てはまりません。

同じ理由で、並進対称性を持つオブジェクトの重心は定義されません (または、囲む空間の外側にあります)。これは、並進には固定点がないためです。

三角形の重心は、三角形の3つの中線（各中線は頂点と反対側の中点を結ぶ）の交点である。^[6]

三角形の重心のその他の特性については、以下を参照してください。

下の図 (a) のような均一密度の平面薄板の重心は、鉛直線とピンを使用して、同じ形状の均一密度の薄い物体の共存質量中心を見つけることによって実験的に決定できます。物体は、推定される重心から外れた一点に挿入されたピンによって保持され、ピンの周りを自由に回転できます。次に、鉛直線をピンから下ろします (図 b)。鉛直線の位置を表面上でトレースし、物体の重心から外れた任意の異なる点 (または複数の点) に挿入されたピンでこの手順を繰り返します。これらの線の唯一の交差点が重心になります (図 c)。物体の密度が均一であれば、この方法で作成されたすべての線には重心が含まれ、すべての線がまったく同じ場所で交差します。

この方法は、（理論上は）凹面形状（重心が形状の外側にある場合）や、実質的には（密度が均一な）固体（重心が物体の内側にある場合）に拡張できます。鉛直線の（仮想）位置は、形状に沿って描く以外の方法で記録する必要があります。

凸型の 2 次元形状の場合、狭い円筒の上部など、より小さな形状の上で形状のバランスをとることで重心を見つけることができます。重心は、2 つの形状が接触する範囲内のどこか (形状がピンの上でバランスをとる正確な位置) にあります。原理的には、徐々に細くなる円筒を使用して、任意の精度で重心を見つけることができます。実際には、空気の流れによりこれは不可能です。ただし、複数のバランスから重なり合う範囲をマークすることで、かなりの精度を実現できます。

有限の点集合の重心は^[1]であり、 この点は集合内の各点とそれ自身との間のユークリッド距離の二乗和を最小化する。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots ,\mathbf {x} _{k}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle \mathbf {C} ={\frac {\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2}+\cdots +\mathbf {x} _{k}}{k}}.}$$

平面図形の重心は、それを有限個のより単純な図形に分割し、各部分の重心と面積を計算し、次に計算すること によって計算できます。${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n},}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle A_{i}}$

$${\displaystyle C_{x}={\frac {\sum _{i}{C_{i}}_{x}A_{i}}{\sum _{i}A_{i}}},\quad C_{y}={\frac {\sum _{i}{C_{i}}_{y}A_{i}}{\sum _{i}A_{i}}}.}$$

図の穴がパーツ間で重なったり、図の外側に広がったりした場合は、すべて負の領域を使用して処理できます。つまり、正負の符号を使用して、特定の点を囲むすべてのパーツの の符号の合計が に属する場合は になり、そうでない場合は になるように対策を講じる必要があります。 ${\displaystyle X,}$${\displaystyle A_{i}.}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle 0}$

たとえば、下の図 (a) は、正の面積を持つ正方形と三角形、および負の面積を持つ円形の穴 (b) に簡単に分割できます。

各部分の重心は、単純な図形の重心のリスト(c)で見つけることができます。次に、図形の重心は 3 つの点の加重平均です。重心の水平位置は、図形の左端からです。 重心の垂直位置も同様の方法で見つけられます。 $${\displaystyle x={\frac {5\times 10^{2}+13.33\times {\frac {1}{2}}10^{2}-3\times \pi 2.5^{2}}{10^{2}+{\frac {1}{2}}10^{2}-\pi 2.5^{2}}}\approx 8.5{\text{ units}}.}$$

同じ式は、それぞれの が面積ではなく体積である点を除いて、任意の 3 次元オブジェクトにも当てはまります。また、面積を部分の 次元測定値に置き換えた任意の次元の の任意のサブセットにも当てはまります。${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle X_{i},}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d},}$${\displaystyle d,}$${\displaystyle d}$

の部分集合の重心は、次の式で計算することもできる。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle C={\frac {\int xg(x)\ dx}{\int g(x)\ dx}}}$$

ここで積分は空間全体にわたって行われ、は の場合には のサブセットの特性関数であり、それ以外の場合には である。^[7] 分母は単にセットの測度であることに注意してください。セットの測度がゼロの場合、またはいずれかの積分が発散する場合は、この式は適用できません。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle g}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\!:\ g(x)=1}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle g(x)=0}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$

重心の別の公式は

$${\displaystyle C_{k}={\frac {\int zS_{k}(z)\ dz}{\int g(x)\ dx}},}$$

ここで はの 番目の座標であり、 はとの交点の度合いであり、 は次式で定義される超平面である 。ここでも、分母は単に の度合いである。${\displaystyle C_{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle C,}$${\displaystyle S_{k}(z)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{k}=z.}$${\displaystyle X.}$

特に平面図形の場合、重心座標は

$${\displaystyle C_{\mathrm {x} }={\frac {\int xS_{\mathrm {y} }(x)\ dx}{A}},\quad C_{\mathrm {y} }={\frac {\int yS_{\mathrm {x} }(y)\ dy}{A}},}$$

ここで、図形の面積は横軸の垂直線との交点の長さであり、縦軸の水平線との交点の長さである。${\displaystyle A}$${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S_{\mathrm {y} }(x)}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,}$${\displaystyle S_{\mathrm {x} }(y)}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y.}$

区間上の連続関数のグラフで囲まれた領域の重心は^{[7] [8]}で与えられる。${\displaystyle ({\bar {x}},\;{\bar {y}})}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f(x)\geq g(x)}$${\displaystyle [a,b],}$ ${\displaystyle a\leq x\leq b}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {x}}&={\frac {1}{A}}\int _{a}^{b}x{\bigl (}f(x)-g(x){\bigr )}\,dx,\\[5mu]{\bar {y}}&={\frac {1}{A}}\int _{a}^{b}{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}f(x)+g(x){\bigr )}{\bigl (}f(x)-g(x){\bigr )}\,dx,\end{aligned}}}$$

ここで は領域の面積（ で与えられる）である。^{[9] [10]}${\displaystyle A}$${\textstyle \int _{a}^{b}{\bigl (}f(x)-g(x){\bigr )}dx}$

積分グラフ（プラニメータの類似物）は、滑らかな（または部分的に滑らかな）境界を持つ不規則な形状の物体の重心を見つけるために使用できます。関連する数学的原理は、グリーンの定理の特殊なケースです。^[11]

これは、L 字型のオブジェクトの重心を決定する方法です。

1. 図2に示すように、図形を2つの長方形に分割します。対角線を描いて、これら2つの長方形の重心を見つけます。重心を結ぶ線を描きます。図形の重心はこの線上にある必要があります。${\displaystyle AB.}$
2. 図3に示すように、この図形を2つの長方形に分割します。対角線を描いて、この2つの長方形の重心を見つけます。重心を結ぶ線を引きます。L字型の重心はこの線上にある必要があります。${\displaystyle CD.}$
3. 形状の重心は に沿っている必要があり、また に沿っている必要があるため、これらの 2 つの線の交点、つまり の点はL 字型のオブジェクトの内側または外側にある可能性があります。${\displaystyle AB}$${\displaystyle CD,}$${\displaystyle O.}$${\displaystyle O}$

三角形の重心は、その中線（各頂点と反対側の辺の中点を結ぶ線）の交点です。 ^[6]重心は、各中線を各辺から反対側の頂点までの距離の比 で割ります。つまり、重心は、各辺から反対側の頂点までの距離の比で位置します（右の図を参照）。^{[12] [13]} 重心の直交座標は、3つの頂点の座標の平均です。つまり、3つの頂点がであり、重心（ここでは三角形の幾何学で一般的に表記されます）は、 ${\displaystyle 2:1,}$${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$${\displaystyle L=(x_{L},y_{L}),}$ ${\displaystyle M=(x_{M},y_{M}),}$${\displaystyle N=(x_{N},y_{N}),}$${\displaystyle C}$${\displaystyle G}$

$${\displaystyle C={\tfrac {1}{3}}(L+M+N)={\bigl (}{\tfrac {1}{3}}(x_{L}+x_{M}+x_{N}),{\tfrac {1}{3}}(y_{L}+y_{M}+y_{N}){\bigr )}.}$$

したがって、重心は重心座標では にあります。 ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}:{\tfrac {1}{3}}:{\tfrac {1}{3}}}$

三線座標では、重心は辺の長さと頂点の角度によって次のように表現できる。^[14]${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle L,M,N}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}C&={\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}=bc:ca:ab=\csc L:\csc M:\csc N\\[6pt]&=\cos L+\cos M\cdot \cos N:\cos M+\cos N\cdot \cos L:\cos N+\cos L\cdot \cos M\\[6pt]&=\sec L+\sec M\cdot \sec N:\sec M+\sec N\cdot \sec L:\sec N+\sec L\cdot \sec M.\end{aligned}}}$$

三角形が均一な一枚の材料から作られている場合、またはすべての質量が 3 つの頂点に集中し、それらの間で均等に分割されている場合、重心は物理的な質量の中心でもあります。一方、質量が三角形の周囲に沿って均一な線密度で分散されている場合、質量の中心はシュピーカー中心(中心三角形の内心) にあり、これは (一般に) 三角形全体の幾何学的な重心とは一致しません。

三角形の面積は、各辺の長さとその辺から重心までの垂線の距離の積である。^[15]${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}$

三角形の重心は、その垂心と外心を結ぶオイラー線上にあり、外心は垂心よりちょうど2倍近くなります。^{[16] [17]} ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle O,}$

$${\displaystyle {\overline {CH}}=2{\overline {CO}}.}$$

さらに、内心 と9点中心については、 ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle N,}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {CH}}&=4{\overline {CN}},\\[5pt]{\overline {CO}}&=2{\overline {CN}},\\[5pt]{\overline {IC}}&<{\overline {HC}},\\[5pt]{\overline {IH}}&<{\overline {HC}},\\[5pt]{\overline {IC}}&<{\overline {IO}}.\end{aligned}}}$$

が三角形の重心であれ ば${\displaystyle G}$${\displaystyle ABC,}$

$${\displaystyle ({\text{Area of }}\triangle ABG)=({\text{Area of }}\triangle ACG)=({\text{Area of }}\triangle BCG)={\tfrac {1}{3}}({\text{Area of }}\triangle ABC).}$$

三角形の重心の等角共役点は、その対称点です。

重心を通る3つの中線のいずれも、三角形の面積を半分に分割します。これは重心を通る他の線には当てはまりません。等面積分割から最も離れるのは、重心を通る線が三角形の辺と平行で、より小さな三角形と台形を作成するときです。この場合、台形の面積は元の三角形の面積と同じです。^[18]${\displaystyle {\tfrac {5}{9}}}$

頂点と重心を持つ三角形の平面上の任意の点を とすると、 の3つの頂点からの距離の二乗の合計は、との間の距離の二乗の3倍だけ、頂点から重心までの距離の二乗の合計を超えます。^[19]${\displaystyle P}$${\displaystyle A,B,C}$${\displaystyle G.}$${\displaystyle P}$${\displaystyle G}$${\displaystyle P}$${\displaystyle G}$

$${\displaystyle PA^{2}+PB^{2}+PC^{2}=GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}+3PG^{2}.}$$

三角形の辺の二乗の合計は、頂点からの重心の二乗の合計の3倍に等しい。^[19]

$${\displaystyle AB^{2}+BC^{2}+CA^{2}=3(GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}).}$$

三角形の重心は、三角形の辺から点までの有向距離の積を最大にする点である。^[20]

を三角形とし、をその重心とし、を線分の中点とする。 ^[21]の平面上の任意の点について、${\displaystyle ABC}$${\displaystyle G}$${\displaystyle D,E,F}$${\displaystyle BC,CA,AB,}$${\displaystyle P}$${\displaystyle ABC,}$

$${\displaystyle PA+PB+PC\leq 2(PD+PE+PF)+3PG.}$$

頂点によって定義される非自己交差閉多角形の重心は、点^[22]である。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle (x_{0},y_{0}),\;}$${\displaystyle (x_{1},y_{1}),\;\ldots ,\;}$${\displaystyle (x_{n-1},y_{n-1}),}$${\displaystyle (C_{x},C_{y}),}$

$${\displaystyle C_{\mathrm {x} }={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}+x_{i+1})(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i}),}$$

そして

$${\displaystyle C_{\mathrm {y} }={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i}),}$$

そして、多角形の符号付き面積は^[22]靴ひもの公式で記述されるとおりである。 ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i}).}$$

これらの式では、頂点は多角形の周囲に沿って出現する順に番号が付けられていると想定されています。さらに、頂点は最後のケースと同じ意味であると想定されており、ループする必要があります(ポイントが時計回りの順に番号付けされている場合、上記のように計算された面積は負になりますが、この場合でも重心座標は正確です)。 ${\displaystyle (x_{n},y_{n})}$${\displaystyle (x_{0},y_{0}),}$${\displaystyle i+1}$${\displaystyle i=0.}$${\displaystyle A,}$

円錐または角錐の重心は、頂点と底面の重心を結ぶ線分上にあります。円錐または角錐が中実の場合、重心は底面から頂点までの距離です。底面のない殻 (中空) だけの円錐または角錐の場合、重心は底面から頂点までの距離です。 ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$

四面体は、3次元空間内で4つの三角形を面として持つ物体である。四面体の頂点と反対面の重心を結ぶ線分は中線と呼ばれ、2つの反対の辺の中点を結ぶ線分は二重中線と呼ばれる。したがって、4つの中線と3つの二重中線がある。これらの7つの線分はすべて、四面体の重心で交わる。^[23]中線は重心で次の比で割られる。四面体の重心は、モンジュ点と外心（外接球の中心）の中点である。これら3つの点は、三角形のオイラー線に類似した四面体のオイラー線を定義します。 ${\displaystyle 3:1.}$

これらの結果は、次のように任意の次元単体に一般化される。単体の頂点の集合が頂点をベクトルと見なすと、重心は ${\displaystyle n}$${\displaystyle {v_{0},\ldots ,v_{n}},}$

$${\displaystyle C={\frac {1}{n+1}}\sum _{i=0}^{n}v_{i}.}$$

質量が単体全体に均一に分布している場合、または等しい質量として頂点に集中している場合、幾何学的重心は質量の中心と一致します。 ${\displaystyle n+1}$

中実の半球 (つまり、中実の球の半分) の重心は、球の中心と半球の極を結ぶ線分をその比率で分割します(つまり、中心から極までの途中にあります)。中空の半球 (つまり、中空の球の半分) の重心は、球の中心と半球の極を結ぶ線分を半分に分割します。 ${\displaystyle 3:5}$${\displaystyle {\tfrac {3}{8}}}$

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