アンチプリズム

正円の水平外接円の半径${\displaystyle n}$基部の-gonは

${\displaystyle R(0)={\frac {l}{2\sin {\frac {\pi }{n}}}}。$

基底の頂点は

${\displaystyle \left({\begin{array}{c}R(0)\cos {\frac {2\pi m}{n}}\\R(0)\sin {\frac {2\pi m}{n}}\\0\end{array}}\right),\quad m=0..n-1;}$

上部の頂点は

${\displaystyle \left({\begin{array}{c}R(0)\cos {\frac {2\pi (m+1/2)}{n}}\\R(0)\sin {\frac {2\pi (m+1/2)}{n}}\\h\end{array}}\right),\quad m=0..n-1.}$

線形補間により、底部の頂点と上部の頂点を結ぶ反角柱の外側の三角形の辺上の点は次のようになります。

${\displaystyle \left({\begin{array}{c}{\frac {R(0)}{h}}[(hz)\cos {\frac {2\pi m}{n}}+z\cos {\frac {\pi (2m+1)}{n}}]\\{\frac {R(0)}{h}}[(hz)\sin {\frac {2\pi m}{n}}+z\sin {\frac {\pi (2m+1)}{n}}]\\\\z\end{array}}\right),\quad 0\leq z\leq h,m=0..n-1}$

そして

${\displaystyle \left({\begin{array}{c}{\frac {R(0)}{h}}[(hz)\cos {\frac {2\pi (m+1)}{n}}+z\cos {\frac {\pi (2m+1)}{n}}]\\{\frac {R(0)}{h}}[(hz)\sin {\frac {2\pi (m+1)}{n}}+z\sin {\frac {\pi (2m+1)}{n}}]\\\\z\end{array}}\right),\quad 0\leq z\leq h,m=0..n-1.}$

の二乗の和を構築することによって${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$前の2つのベクトルのいずれかの座標、高度におけるこのセクションの2乗外接半径${\displaystyle z}$は

${\displaystyle R(z)^{2}={\frac {R(0)^{2}}{h^{2}}}[h^{2}-2hz+2z^{2}+2z(hz)\cos {\frac {\pi }{n}}].}$

高度における水平断面${\displaystyle 0\leq z\leq h}$ベースの上には${\displaystyle 2n}$-角（切り詰められた）${\displaystyle n}$-gon) で${\displaystyle n}$長さの辺${\displaystyle l_{1}(z)=l(1-z/h)}$交互に${\displaystyle n}$長さの辺${\displaystyle l_{2}(z)=lz/h}$（これらは前の2つのベクトルの差の長さから導き出されます。）これを分解すると次のようになります。${\displaystyle n}$辺の等角三角形がない${\displaystyle R(z),R(z)}$そして${\displaystyle l_{1}}$（半周）${\displaystyle R(z)+l_{1}(z)/2}$）プラス${\displaystyle n}$ 辺の等角三角形がない${\displaystyle R(z),R(z)}$そして${\displaystyle l_{2}(z)}$（半周）${\displaystyle R(z)+l_{2}(z)/2}$) ヘロンの公式によれば、これらの三角形の面積は次のようになります。

${\displaystyle Q_{1}(z)={\frac {R(0)^{2}}{h^{2}}}(hz)\left[(hz)\cos {\frac {\pi }{n}}+z\right]\sin {\frac {\pi }{n}}}$

そして

${\displaystyle Q_{2}(z)={\frac {R(0)^{2}}{h^{2}}}z\left[z\cos {\frac {\pi }{n}}+hz\right]\sin {\frac {\pi }{n}}.}$

セクションの面積は${\displaystyle n[Q_{1}(z)+Q_{2}(z)]}$、そしてそのボリュームは

${\displaystyle V=n\int _{0}^{h}[Q_{1}(z)+Q_{2}(z)]dz={\frac {nh}{3}}R(0)^{2}\sin {\frac {\pi }{n}}(1+2\cos {\frac {\pi }{n}})={\frac {nh}{12}}l^{2}{\frac {1+2\cos {\frac {\pi }{n}}}{\sin {\frac {\pi }{n}}}.}$

長さlと高さhが同じ直角n角柱の体積は次のとおりである。 $${\displaystyle V_{\mathrm {prism} }={\frac {nhl^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{n}}}$$ これは反角柱のそれよりも小さい。

反角柱に表記( p / q )を使用する場合、 q > p /2の場合は反角柱は交差しており (定義による)、q < p /2の場合は交差していません。このセクションでは、すべての反角柱は非退化、つまりp ≥ 3、q ≠ p /2であると仮定します。また、複合はカウントから除外されるため、条件( p , q ) = 1 ( pとqは互いに素) が成り立ちます。固定されたpに対する一様な交差反角柱の数は、単純な不等式を使用して決定できます。可能なqの条件は次のとおりです。

⁠ p / 2 ⁠ < q < ⁠ 2 / 3 ⁠ pかつ( p , q ) = 1。

例：

• p = 3: 2 ≤ q ≤ 1 – 均一な三角形の交差反角柱は存在しない。
• p = 5: 3 ≤ q ≤ 3 – （5/3）型の反角柱は一様である可能性がある。
• p = 29: 15 ≤ q ≤ 19 – 上の図の (29/1) 凸反角柱の下の右端の列には、5 つの可能性 (15 から 19) が示されています。
• p = 15: 8 ≤ q ≤ 9 – q = 8 の反角柱は解ですが、 q = 9 は (15,9) = 3 および15 / 9 = 5 / 3なので却下しなければなりません。反角柱 ( 15/9 ) は 3 つの反角柱 (5/3) の複合体です。9 は不等式を満たすので、複合体は一様になり得、もし一様であれば、その部分も一様でなければなりません。実際、反角柱 (5/3) は例 2 により一様になり得ます。

次の表の最初の列では、記号はシェーンフリース記号、コクセター記号、オービフォールド記号の順に並んでいます。