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幾何学において、多面体のネットとは、平面上で重なり合わない辺で結合された多角形を配置したもので、これを（辺に沿って）折り畳むと多面体の面となる。多面体ネットは、薄いボール紙などの材料から多面体の物理的モデルを構築できるため、多面体や立体幾何学全般の研究に役立つ。[1]
多面体ネットの初期の事例はアルブレヒト・デューラーの著作に見られる。デューラーが1525年に著した『定規とコンパスによる測定技術講座』には、プラトン立体といくつかのアルキメデス立体のネットが含まれていた。[2] [3]これらの構造は、1543年にアウグスティン・ヒルシュフォーゲルによって初めてネットと呼ばれた。[4]
存在と独自性
与えられた多面体に対して、どの辺を結合し、どの辺を分離するかの選択に応じて、多くの異なるネットが存在する可能性がある。凸多面体からネットを形成するために切り取られた辺は、多面体の全域木を形成する必要があるが、一部の全域木を切ると、多面体は展開時にネットを形成せず、自己重なり合う可能性がある。[5]逆に、与えられたネットは、辺が折り畳まれる角度と、どの辺を接着するかの選択に応じて、複数の異なる凸多面体に折りたたまれる可能性がある。[6]ネットが、結果として得られる形状の各頂点が正の角度の欠陥を持ち、これらの欠陥の合計がちょうど 4 πになるように辺を接着するためのパターンとともに与えられた場合、そこから折りたたむことができる多面体が必ず 1 つ存在する。これがアレクサンドロフの一意性定理である。しかし、このようにして形成された多面体は、ネットの一部として指定された面とは異なる面を持つ場合があります。ネットポリゴンの一部には折り目があり、ネットポリゴン間の辺の一部は折り畳まれていない場合があります。さらに、同じネットに複数の有効な接着パターンがあり、異なる折り畳み多面体が生じる可能性があります。[7]
1975年、GCシェパードは、すべての凸多面体は少なくとも1つのネット、つまり単純な辺展開を持つかどうかを疑問視しました。[8]この疑問は、デューラー予想、またはデューラーの展開問題としても知られており、未だに答えが出ていません。[9] [10] [11]ネットを持たない非凸多面体も存在し、すべての凸多面体の面を（たとえば切断軌跡に沿って）細分化して、細分化された面の集合にネットを持たせることが可能です。[5] 2014年、モハマド・ゴーミは、すべての凸多面体はアフィン変換の後にネットを持つことが可能なことを示しました。[12]さらに、2019年にバルヴィノクとゴミは、デューラー予想の一般化が疑似辺[13]、すなわち多面体の頂点を結び凸面を持つグラフを形成する測地線のネットワークに対しては当てはまらないことを示しました。
関連する未解決の問題として、凸多面体のあらゆるネットにブルーミング（平面から折り畳まれた状態への連続的な非自己交差運動）があり、その運動を通して各面が平面に保たれるかどうかがある。[14]
最短経路
多面体の表面上の2点間の最短経路は、経路が接する面のサブセットに適したネット上の直線に対応する。ネットは直線が完全にその中に入るようなものでなければならず、どれが最短経路を与えるかを調べるために複数のネットを考慮する必要があるかもしれない。例えば、立方体の場合、点が隣接する面上にある場合、最短経路の1つの候補は共通辺を横切る経路である。この種の最短経路は、2つの面も隣接しているネットを使用して見つけられる。最短経路の他の候補は、両方に隣接する第3の面（2つある）の表面を通る経路であり、対応するネットを使用して各カテゴリの最短経路を見つけることができる。[15]
蜘蛛とハエの問題は、直方体上の 2 点間の最短経路を見つける 娯楽数学パズルです。
高次元多面体ネット
4次元多面体のネットは、面で接続され、すべて同じ3次元空間を占める多面体セルで構成されています。これは、多面体のネットの多角形の面が辺で接続され、すべて同じ平面を占めるのと同じです。4次元超立方体であるテッセラクトネットは、サルバドール・ダリの絵画「磔刑（超立方体大全）」（1954年）で目立つように使用されています。[16]同じテッセラクトネットは、ロバート・A・ハインラインの短編小説「—そして彼は歪んだ家を建てた—」の筋の中心となっています。[17]
次元超立方体のネットの組み合わせ的に異なる個数は、これらのネットを、超立方体の面のペアがネットを形成するために接着されるパターンを記述するノード上のツリーとして表現し、折り畳まれた超立方体上で互いに向かい合う面のペアを記述するツリーの補グラフ上の完全マッチングと組み合わせることによって求めることができる。この表現を使用して、次元 2、3、4、... の超立方体の異なる展開の数は次のように数えられている。
- 1、11、261、9694、502110、33064966、2642657228、...（OEISの配列A091159）
参照
参考文献
- ^ ウェニンガー、マグナス J. (1971)、多面体モデル、ケンブリッジ大学出版局
- ^ デューラー、アルブレヒト(1525)、Unterweysung der Messung mit dem Zyrkel und Rychtscheyd、ニュルンベルク: ミュンヘン、南ドイツモナトシェフ、pp. 139–152英語訳と解説は、ストラウス、ウォルター L. (1977)、The Painter's Manual、ニューヨークに掲載されています。
{{citation}}: CS1 メンテナンス: 場所が見つかりません 発行者 (リンク) - ^ シュライバー、フィッシャー、スターナートは、デューラーより前にレオナルド・ダ・ヴィンチがルカ・パチョーリの『神の比例』のために正十二面体を含むいくつかの網を描いたと主張している。しかし、これらはこの作品の1509年初版のオンラインコピーにも1498年のジュネーブ写本210にも見つからないため、この主張は未検証とみなされるべきである。参照：シュライバー、ピーター、フィッシャー、ギセラ。スターナス、マリア・ルイーズ（2008 年 7 月）「ルネッサンス期のアルキメデス立体の再発見に関する新たな視点」、Archive for History of Exact Sciences、62 (4): 457–467、doi :10.1007/s00407-008-0024-z、JSTOR 41134285
- ^ フリードマン、マイケル（2018）、数学における折り畳みの歴史：余白の数学化、サイエンスネットワーク。歴史研究、第59巻、ビルクハウザー、p。8、doi：10.1007 / 978-3-319-72487-4、ISBN 978-3-319-72486-7
- ^ ab Demaine, Erik D. ; O'Rourke, Joseph (2007)、「第 22 章 多面体のエッジ展開」、幾何学的折り畳みアルゴリズム: リンク、折り紙、多面体、ケンブリッジ大学出版局、pp. 306–338
- ^ Malkevitch, Joseph、「ネット：2次元で多面体を表現するツール」、アメリカ数学会特集コラム、2014年5月14日閲覧
- ^ Demaine, Erik D. ; Demaine, Martin L. ; Lubiw, Anna ; O'Rourke, Joseph (2002)、「多角形と多面体間の折り畳みと展開の列挙」、Graphs and Combinatorics、18 (1): 93–104 、arXiv : cs.CG/0107024、doi:10.1007/s003730200005、MR 1892436 、S2CID 1489
- ^ Shephard, GC (1975)、「凸ネットを持つ凸多面体」、ケンブリッジ哲学協会数学紀要、78 (3): 389–403、Bibcode :1975MPCPS..78..389S、doi :10.1017/s0305004100051860、MR 0390915、S2CID 122287769
- ^ ワイスタイン、エリック W.、「シェパードの予想」、MathWorld
- ^ モスコビッチ、D. (2012 年 6 月 4 日)、「デューラーの予想」、Open Problem Garden
- ^ Ghomi, Mohammad (2018-01-01)、「凸多面体に対するデューラーの展開問題」、アメリカ数学会誌、65 (1): 25–27、doi : 10.1090/noti1609
- ^ Ghomi, Mohammad (2014)、「凸多面体のアフィン展開」、Geom. Topol.、18 (5): 3055–3090、arXiv : 1305.3231、Bibcode :2013arXiv1305.3231G、doi :10.2140/gt.2014.18.3055、S2CID 16827957
- ^ バルヴィノック、ニコラス; ゴミ、モハマド (2019-04-03)、「凸多面体の擬似エッジ展開」、離散および計算幾何学、64 (3): 671–689、arXiv : 1709.04944、doi :10.1007/s00454-019-00082-1、ISSN 0179-5376、S2CID 37547025
- ^ ミラー、エズラ、パク、イゴール（2008）、「凸多面体の計量組合せ論：カット位置と重複しない展開」、離散および計算幾何学、39（1–3）：339–388、doi：10.1007 / s00454-008-9052-3、MR 2383765
- ^ オルーク、ジョセフ（2011）、折り方：リンク、折り紙、多面体の数学、ケンブリッジ大学出版局、pp. 115-116、ISBN 9781139498548
- ^ ケンプ、マーティン（1998年1月1日）、「ダリの次元」、ネイチャー、391（6662）：27、Bibcode：1998Natur.391...27K、doi：10.1038/34063、S2CID 5317132
- ^ ヘンダーソン、リンダ・ダルリンプル（2014年11月）、「サイエンスフィクション、アート、そして第4次元」、エマー、ミシェル（編）、イマジン・マス3：文化と数学の間、シュプリンガー・インターナショナル・パブリッシング、pp. 69–84、doi：10.1007/978-3-319-01231-5_7、ISBN 978-3-319-01230-8
外部リンク
- ワイスタイン、エリック W.、「ネット」、MathWorld
- ワイスシュタイン、エリック W.、「Unfolding」、MathWorld
- 通常の 4D 多面体折りたたみ
- インタラクティブな 3D ビューを備えた編集可能で印刷可能な多面体ネット
- 多面体の紙モデル
- Blenderの展開
- Mathematicaの展開パッケージ