アルキメデス立体

アルキメデスの立体は、面が正多角形だがすべてが同じではなく、頂点がすべて互いに対称である13 個の凸多面体の集合です。この立体はアルキメデスにちなんで名付けられましたが、アルキメデスはこれを考案したとは主張していません。アルキメデスの立体は、面が正多角形で頂点が対称である多面体である均一多面体のクラスに属します。ルネサンス期の芸術家や数学者の作品には、アルキメデスの立体がいくつか描かれています。

細長い正方形のジャイロビキューポラまたは擬菱形立方八面体は、規則的な面と合同な頂点を持つ追加のが、頂点推移的でないため、通常はアルキメデスの立体として数えられません。

アルキメデスの立体は、頂点が1 つしかなく、対称性が非常に高い。頂点構成とは、どの正多角形が各頂点で交わるかを示すものである。たとえば、この構成は、各頂点が 2 つの三角形と 2 つの五角形が交互に交わる多面体を示している。この場合の対称性が非常に高いということは、各立体の対称群がプラトンの立体から派生し、その構成から生じたものであることを意味する。^[1]一部の情報源によると、アルキメデスの立体は半正多面体と同義である。^{[2]ただし、半正多面体の定義には、}細長い正方形のジャイロビキューポラを含む無限のプリズムと反プリズムも含まれる場合がある。^[3]${\displaystyle 3\cdot 5\cdot 3\cdot 5}$

いくつかのアルキメデスの立体の構築は、プラトンの立体から始まります。切断では、角を切り落とします。対称性を保つため、切断は、角と多面体の中心を結ぶ線に垂直な平面で行われ、すべての角で同じになります。その一例は、二十面体の頂点をすべて切り落とすことで構築された切頂二十面体で、二十面体と同じ対称性（二十面体対称性）を持ちます。^[7]切断が、隣接する頂点の各面のペアがちょうど 1 つの点を共有するほど十分に深い場合、それは平行移動と呼ばれます。拡大では、各面を中心から遠ざけ（プラトンの立体の対称性を保つために同じ距離だけ）、凸包を取ります。一例として、立方体または八面体の面を重心から分離し、正方形で埋めることで構築される菱形立方八面体があります。^[8]スナブは、多面体の面を分離し、特定の角度で面をねじり、正三角形で埋めることによって多面体を構築するプロセスです。例として、スナブ立方体とスナブ十二面体があります。これらの立体の結果として得られる構築は、鏡に映したときに同一ではないことを意味するキラルな特性を与えます。 ^[9]ただし、すべてがそのように構築できるわけではなく、別の方法で構築することもできます。たとえば、二十十二面体は、 2つの五角形の円形の底辺を互いに接続することによって構築できます。または、菱形立方八面体は、八角柱の底辺に2つの正方形のキューポラを接続することによっても構築できます。 [ 5 ^]

ルパート特性を持つ立体は少なくとも10種類知られており、ルパート特性とは、同じか類似の大きさを持つ自身のコピーを通過できる多面体である。それらは、立方八面体、切頂八面体、切頂立方体、菱形立方八面体、二十二十十面体、切頂立方八面体、切頂二十面体、切頂十二面体、切頂四面体である。^[10] カタラン立体はアルキメデス立体の双対多面体である。 ^[1]

アルキメデス立体の名称は、現在は失われた著作の中でアルキメデス立体について論じた古代ギリシャの数学者アルキメデスに由来する。元々アルキメデスの著作ではなかったが、アレクサンドリアのパップスは著書『シナゴーグ』の第5章で、アルキメデスが13個の多面体を列挙し、各多面体にはいくつの面があるかについて簡単に説明したと述べている。^[11]

ルネサンス期には、芸術家や数学者は対称性が高い純粋な形状を高く評価した。ピエロ・デラ・フランチェスカの『五つの正体について』には、アルキメデスの著作を研究し模写しようとした際にアルキメデスの立体がいくつか登場し、またアルキメデスへの引用も含まれている。^[12]しかし、デラ・フランチェスカはそれらの形状をアルキメデスの作品とはしておらず、アルキメデスの著作も知っていたわけではなく、むしろ独立した再発見であったようである。^{[13]立体は}、ヴェンツェル・ヤムニッツァーの『正体観点』や、レオナルド・ダ・ヴィンチが描いたルカ・パチョーリの『算術大全』と『神の比例』にも登場している。^[14]アルキメデスの立体の網は、パチョーリの著作を模写したアルブレヒト・デューラーの『網の目の下で』に登場する。 1620年頃、ヨハネス・ケプラーは著書『世界の調和』の中で、13の多面体の再発見と、プリズム、反プリズム、ケプラー・ポアンソ多面体として知られる非凸立体の定義を完了した。^[15]

ケプラーは、細長い正方形のジャイロビキューポラまたは擬菱立方八面体として知られる別の立体も発見した可能性がある。ケプラーはかつてアルキメデスの立体は14種類あると述べたが、彼が公表した数え上げでは13個の均一な多面体しか含まれていない。そのような立体の存在を初めて明確に述べたのは、1905年にダンカン・サマービルである。 ^{[16]この立体は、何人かの数学者が誤って}菱立方八面体を構築したときに現れた。菱立方八面体とは、八角柱に取り付けられた2つの正方形のキューポラで、そのうちの1つは45度回転している。^{[17] 13個の立体は}頂点推移的性質を持ち、つまり任意の2つの頂点を他の頂点に移動できるが、細長い正方形のジャイロビキューポラではそれができない。グリュンバウム (2009) は、それがアルキメデス立体のより弱い定義を満たしていると指摘した。その定義では、「同一の頂点」とは、単に任意の 2 つの頂点の近くにある多面体の部分が同じように見える (同じ順序で各頂点の周りで交わり、同じ角度を形成する同じ形状の面を持つ) ことを意味する。グリュンバウムは、著者が何らかの形でこの局所的な定義を使用してアルキメデス立体を定義しながら 14 番目の多面体を省略するというよくある誤りを指摘した。13 個の多面体のみをリストする場合、定義では局所的な近傍ではなく多面体の全体的な対称性を使用する必要があります。その後、細長い正方形のジャイロビキューポラはアルキメデス立体から削除され、代わりにジョンソン立体、つまりすべての面が正多角形である凸多面体に含まれるようになりました。^[16]

• アルキメデスのグラフ、13 個のアルキメデスの立体に似た平面グラフ。
• コンウェイ多面体表記

• ヴィアナ、ヴェラ（2024）「15世紀と16世紀のアルキメデスの立体」、正確な科学の歴史のアーカイブ、78（6）：631–715、doi：10.1007 / s00407-024-00331-7。
• ウィリアムズ、キム。モンテレオーネ、コジモ (2021)、ダニエレ バルバロの 1568 年の視点、p. 19–20、土井：10.1007/978-3-030-76687-0、ISBN 978-3-030-76687-0。

• Weisstein, Eric W.「アルキメデスの立体」。MathWorld。
• Eric W. Weisstein著「アルキメデスの立体」、Wolfram デモンストレーション プロジェクト。
• アルキメデス立体とカタラン立体の紙製モデル
• アルキメデス立体の無料ペーパーモデル（ネット）
• R. メーダー博士による均一多面体
• David I. McCooey による Visual Polyhedra のアルキメデス立体
• 仮想現実多面体、ジョージ・W・ハート著『多面体百科事典』
• ジェームズ・S・プランクによる最後から2番目のモジュラー折り紙
• Java でのインタラクティブな 3D 多面体
• Solid Body Viewer は、モデルを svg、stl、または obj 形式で保存できるインタラクティブな 3D 多面体ビューアです。
• Stella: Polyhedron Navigator: このページの多くの画像を作成するために使用されたソフトウェア。
• アルキメデスの多面体（およびその他の多面体）の紙製モデル