多面体群

幾何学において、多面体群はプラトン立体の対称群のいずれかである。

多面体グループは 3 つあります。

• 12次の四面体群、正四面体の回転対称群。A ₄と同型である。
  • T の 共役類は次のとおりです。
    • 身元
    • 4 × 120°回転、順序3、時計回り
    • 4 × 120°回転、順序3、反時計回り
    • 3 × 180°回転、順序2
• 24次の正八面体群、立方体と正八面体の回転対称群。S ₄と同型である。
  • O の共役類は次のとおりです。
    • 身元
    • 6 × 頂点の周りを±90°回転、順序4
    • 8 × 三角形の中心を中心として±120°回転、順序3
    • 頂点の周りを180°回転3回、順序2
    • 6 × 辺の中点を中心に180°回転、順序2
• _60次の正20面体群、正12面体と正20面体の回転対称群。A 5と同型である。
  • I の共役類は次のとおりです。
    • 身元
    • 12 × ±72°回転、順序5
    • 12 × ±144°回転、5次
    • 20 × ±120°回転、順序3
    • 15 × 180°回転、順序2

これらの対称性は、完全反射群ではそれぞれ 24、48、120 に倍増します。反射対称性にはそれぞれ 6、9、15 のミラーがあります。八面体対称性 [4,3] は、6 つの四面体対称性 [3,3] ミラーと、3 つの二面体対称性Dih 2 _[ 2,2] ミラーの和集合として考えることができます。黄鉄鉱対称性は、四面体対称性の別の倍増です。

完全な四面体対称性の共役類T _d ≅ S ₄は次の通りである。

• 身元
• 8 × 120°回転
• 3 × 180°回転
• 2つの回転軸を通る平面での6×反射
• 6 × 90°回転反射

ピリトヘドロン対称性の共役類 T _hには、 T の 4 の 2 つの類が組み合わされ、それぞれが反転したものが含まれます。

• 身元
• 8 × 120°回転
• 3 × 180°回転
• 反転
• 8 × 60°回転反射
• 3 × 平面反射

完全八面体群O _h ≅ S ₄ × C ₂の共役類は次の通りである。

• 反転
• 6 × 90°回転反射
• 8 × 60°回転反射
• 4回軸に垂直な平面での3×反射
• 2倍軸に垂直な平面での6×反射

完全な二十面体対称性の共役類I _h ≅ A ₅ × C ₂には、反転を伴うものも含まれる。

• 反転
• 12 × 回転子反射 108°、次数 10
• 12 × 回転子反射 36°、次数 10
• 20 × 60°回転反射、次数6
• 15 × 反射、順序 2

• ウィトフシンボル
• 球対称群の一覧

• Coxeter, HSM Regular Polytopes、第 3 版。ニューヨーク: Dover、1973 年。(多面体群。§3.5、pp. 46–47)

• ワイスタイン、エリック W.「多面体グループ」。マスワールド。