構成（多面体）

幾何学において、HSM コクセターは正多面体を特別な種類の構成と呼びました。

幾何学における他の構成は、少し異なります。これらの多面体構成は、より正確には、接続行列と呼ばれるかもしれません。接続行列では、同じ要素が行と列に集められます。通常の多面体では、 k面要素ごとに 1 つの行と列がありますが、他の多面体では、対称クラスごとに k 面タイプごとに 1 つの行と列があります。対称性のない多面体では、すべての要素に対して 1 つの行と列があり、要素が接続されていない場合は行列に 0 が、接続されている場合は 1 が入ります。同じkの要素は接続されておらず、テーブル エントリに "*" が入ります。^[1]

すべての多面体と抽象多面体には、これらの接続性を表現するハッセ図があり、接続行列を使用して体系的に記述できます。

正多面体の構成は、対角要素N _iが多面体のi面の数である行列で表されます。対角要素は多面体のf ベクトルとも呼ばれます。非対角 ( i ≠ j ) 要素N _ijは、各i面要素に接するj面の数であり、 N _i N _ij = N _j N _jiとなります。^[2]

この原理は一般にn次元（0 ≤ j < n）に拡張されます。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}N_{0}&N_{0,1}&N_{0,2}&\cdots &N_{0,n-1}\\N_{1,0} &N_{1}&N_{1,2}&\cdots &N_{1,n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\N_{n-1,0}&N_{n-1,1}&N_{n-1,2}&\cdots &N_{n-1}\end{matrix}}\end{bmatrix}} }$

正多角形（シュレーフリ記号{ q }）は2x2 行列を持ち、最初の行は頂点、2 番目の行は辺を表します。g の位数は 2 qです。  

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}N_{0}&N_{01}\\N_{10}&N_{1}\end{matrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}g/2&2\\2&g/2\end{matrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}q&2\\2&q\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

一般的な n 角形は 2n x 2n の行列を持ち、最初の n 行と n 列が頂点、最後の n 行と n 列が辺になります。

三角形の対称性には、正三角形、二等辺三角形、不等辺三角形の 3 つの分類があります。これらはすべて同じ接続行列を持ちますが、対称性により頂点と辺をまとめて数えることができます。これらの三角形には、A、B、C というラベルの付いた頂点と、a、b、c というラベルの付いた辺があり、対称操作によって互いにマッピングできる頂点と辺には、同じラベルが付けられます。

四辺形は対称性によって分類でき、それぞれ独自の行列を持ちます。四辺形には、同じ行列を持ち、180 度回転し、頂点と辺が逆になる双対のペアが存在します。正方形、平行四辺形、および一般的な四辺形はクラスによって自己双対であるため、180 度回転しても行列は変化しません。

この考え方は、次のように構築される正複素多角形_p { q } _rにも適用できます。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}N_{0}&N_{01}\\N_{10}&N_{1}\end{matrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}g/r&r\\p&g/p\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

複素反射群は_p [ q ] _r、次数で ある。^{[3] [4]}${\displaystyle g=8/q\cdot (1/p+2/q+1/r-1)^{-2}}$

この考え方は、点、線、面、またはj空間(0 ≤ j < 3)の入射を考慮することで 3 次元に適用できます。ここで、各j空間はN _jk k空間( j ≠ k )と入射します。存在するj空間の数をN _jと書き、与えられた構成は行列で表すことができます。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}N_{0}&N_{01}&N_{02}\\N_{10}&N_{1}&N_{12}\\N_{20}&N_{21}&N_{2}\end{matrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}g/2q&q&q\\2&g/4&2\\p&p&g/2p\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$シュレーフリ記号{p,q}に対して、群位数 g  = 4 pq /(4 − ( p  − 2)( q  − 2))である。

四面体には対称性によってグループ化できるマトリックスがあり、一般的な四面体は 4 つの頂点、6 つの辺、4 つの面に対して 14 の行と列を持ちます。四面体は自己双対であり、マトリックスを 180 度回転 (頂点と面を入れ替え) しても変化しません。

• コクセター、HSM (1948)、正多面体、メチューエン・アンド・カンパニー。
• コクセター、HSM（1991）、Regular Complex Polytopes、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-39490-2
• Coxeter, HSM (1999)、「自己双対構成と正則グラフ」、The Beauty of Geometry、Dover、ISBN 0-486-40919-8