立方八面体

立方八面体の表面積${\displaystyle A}$立方八面体の体積は、その多角形の面の面積をすべて合計することで求めることができます。${\displaystyle V}$それを2つの正三角形ドームに切り分け、それらの体積を合計することで決定できます。辺の長さが与えられていることを考慮すると${\displaystyle a}$その表面積と体積は次のとおりです。^{[ 5 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\left(6+2{\sqrt {3}}\right)a^{2}&&\approx 9.464a^{2}\\V&={\frac {5{\sqrt {2}}}{3}}a^{3}&&\approx 2.357a^{3}.\end{aligned}}}$$

立方八面体の二面角は、三角形ドームの角度から計算できます。正方形と三角形の間の三角形ドームの二面角は約 125°、正方形と六角形の間の二面角は 54.7°、三角形と六角形の間の二面角は 70.5° です。したがって、2 つの三角形ドームの底面が取り付けられている辺上の正方形と三角形の間の立方八面体の二面角は 54.7° + 70.5° で、約 125° です。したがって、正方形と三角形の間の立方八面体の二面角は約 125° です。^{[ 7 ]}正確な角度は${\displaystyle \arccos(-1/{\sqrt {3}})}$。

バックミンスター・フラーは、立方八面体には中心から頂点までの距離が辺の長さと同じであるという珍しい性質があることに気づいた。言い換えれば、3次元空間において同じ長さのベクトルを持ち、これはベクトル平衡として知られている。立方八面体の剛性の支柱と柔軟な頂点は、正二十面体、正八面体、正四面体へと段階的に変換することもできる。フラーはこれをジッターバグ変換と名付けた。^{[ 8 ]}

立方八面体はルパート特性を持ち、これは同じかそれ以上の大きさの多面体がその穴を通過できることを意味します。^{[ 9 ]}

立方八面体はアルキメデス立体であり、これは対称性が高く半正多面体であり、2つ以上の異なる正多角形の面が頂点で交わることを意味します。^{[ 10 ]}立方八面体は、上述の構成から生じる2つの対称性を持っています。正八面体または立方体と同じ対称性、正八面体対称性です。${\displaystyle \mathrm {O} _{\mathrm {h} }}$正四面体と同じ対称性、正四面体対称性${\displaystyle \mathrm {T} _{\mathrm {d} }}$[ ^{11 ]各頂点で交わる多角形の面は、} 2 つの正三角形と 2 つの正方形であり、立方八面体の頂点図形は 3.4.3.4 です。立方八面体の双対は菱形十二面体です。^{[ 12 ]}

立方八面体では、長半径（中心から頂点まで）は辺の長さと同じです。したがって、長直径（頂点から反対側の頂点まで）は辺の長さの 2 倍になります。^{[ 13 ]}その中心は、正準ピラミッドの頂点に似ています。他のすべての頂点から辺の長さの 1 つ分離れています。（立方八面体の場合、中心は実際には 6 つの正四角錐と 8 つの三角錐の頂点です）。この放射状の正三角形対称性は、2 次元の六角形、3 次元の立方八面体、4 次元の24 セルと8 セル（テセラクト）など、ごく少数の均一な多面体の特性です。^{0R/l''-14" id="mwkg">[0R/l''-14" id="mwkg"> 14 0R/l''-14" id="mwkg">]}放射状の正三角形多面体とは、長半径が、多面体の中心で交わる正三角形から構成でき、各正三角形が 2 つの半径と 1 つの辺を提供する多面体のことです。したがって、これらの多面体の中心で交わるすべての内部要素は、正三角形の内面を持ちます。これは、立方八面体を6つの正四角錐と8つの正四面体に分割した場合と同様です。^{0R/l''-14" id="mwkg">}

これらの放射状に正多面体はそれぞれ、特徴的な空間充填テセレーションのセルとしても出現します。正六角形のタイル張り、整列立方ハニカム（立方八面体と正八面体が交互に並ぶ）、24セルハニカム、テセラティックハニカムです。^{[ 15 ]}各テセレーションには双対テセレーションがあり、テセレーションのセル中心は双対テセレーションのセル頂点です。2次元、3次元、4次元で知られている最も密な正球充填では、これらのテセレーションの1つのセル中心を球の中心として使用します。

正八面体は放射状に正三角形であるため、その中心は12個の頂点から辺の長さ分だけ離れている。

立方八面体は、辺に沿って蝶番で接続された剛体平面の枠組みとして解釈すると、コーシーの定理により、すべての凸多面体と同様に剛体構造となります。しかし、面を取り除き、頂点で柔軟な関節によって接続された剛体辺だけを残すと、結果として得られるのは剛体システムではありません（面がすべて三角形である多面体とは異なり、そのような多面体には面が欠けていてもコーシーの定理が適用されます）。

中央の頂点を追加し、他のすべての頂点と剛体的な辺で接続すると、立方八面体は中央の頂点で交わる正四角錐と正四面体に分割されます。立方八面体自体とは異なり、結果として生じる辺と接合部のシステムは剛体であり、無限に続く正四面体と正八面体のハニカム構造の頂点形状を形成します。

立方八面体は、4つの多面体を通して周期的に変換することができ、そのサイクルは無限に繰り返されます。位相的には、この変換はメビウスの輪に従います。つまり、正八面体の向き付け可能な二重被覆です。物理的には、これはスピノルです。

立方八面体、正二十面体、イェッセンの正二十面体、および正八面体は、空間的な関係においてロシア人形のように入れ子になり、螺旋状の収縮によって関連付けられています。収縮は、立方八面体の正方形の面が対角線に沿って内側に折り畳まれ、三角形のペアを形成することから始まります。立方八面体の 12 個の頂点は内側 (中心に向かって) に螺旋を描きながら互いに近づき、正二十面体を形成する点に達します。さらにわずかに近づき、イェッセンの正二十面体を形成します。そして、正八面体の 6 個の頂点としてペアで一致するまで、互いに螺旋を描き続けます。^{[ 25 ]}

一般的な立方八面体変換は、2つの極限ケースを持つ特殊なケース変換の連続体に沿ってパラメータ化することができる。1つは立方八面体の辺が剛体である場合、もう1つは辺が弾性である場合である。

剛体エッジ立方八面体変換は、立方八面体を正二十面体、ジェッセンの正二十面体、および正八面体に順次対称的に変換します。

立方八面体は実際には他の多面体にはならず、また（剛性のある辺を持つ場合）互いに変換することもできません。なぜなら、立方八面体とは異なり、他の多面体は三角形の面しか持たないため、構造的な剛性を持っているからです。

剛性エッジを持つ立方八面体が実際に変換できるもの（および通過できるもの）は、6 つのエッジが欠落した正二十面体（擬似二十面体）^{[ 26 ]} 、 6 つの反射エッジが欠落または弾性であるイェッセンの二十面体、および各頂点のペアを接続する2 つの一致する剛性エッジを持つ八面体の二重被覆（立方八面体の頂点のペアを一致させることによって形成される）です。

密接に関連する弾性エッジ立方八面体変換を具現化し、強制するテンセグリティ多面体が存在する。テンセグリティ二十面体は、微小可動性と呼ばれる動的な構造剛性を持ち、立方八面体から八面体までのスペクトルに沿って対称多面体にのみ変形できる。 ^{[ 27 ]}その中間安定形がジェッセンの二十面体であるため、テンセグリティ二十面体と呼ばれている。

上記の変換は立方八面体の収縮として説明されていますが、テンセグリティの安定平衡点はジェッセンの二十面体です。テンセグリティ二十面体は、その形状から変形することに抵抗し、その辺が弾性（張力によって伸びることができる）である限り、そこから拡張または収縮させることができます。多面体を安定静止形状から（どちらの方向にも）引き離すには、24本の短い辺をわずかに均等に伸ばす必要があります。平行な長い辺のペアに力を加えてそれらを近づけたり遠ざけたりすると、その力は自動的にすべての短い辺を均等に伸ばすことに伝達され、多面体は中サイズのジェッセンの二十面体からより小さな八面体に向かって縮小したり、より大きな正二十面体、さらに大きな立方八面体に向かって拡大したりします。力を解放すると、多面体は元のジェッセンの正二十面体の形状に戻る。

弾性エッジ変換では、立方八面体のエッジは固定されていません（ただし、ジェッセンの二十面体の6つの長いエッジは固定されています）。立方八面体が変換されるのは、半径とエッジの長さが短い正二十面体、さらに半径と（最小）エッジの長さが短いジェッセンの二十面体、そして最後に、半径はさらに短いが（最大）エッジの長さが立方八面体と同じ正八面体です（ただし、これはエッジが再び短くなったり長くなったりして、一致するペアで結合した後のみです）。

剛性エッジと弾性エッジの立方八面体変換は、逆パラメータを持つという点のみが異なります。弾性エッジ変換では、ジェッセンの二十面体の短い辺が伸び、長い辺は剛性であり、剛性エッジ変換では、長い辺が圧縮され、短い辺は剛性です。上記の記述のうち、計量以外のすべては、すべての立方八面体変換に適用されます。特に、立方八面体が八面体に変換されるとき、頂点は常に中心に向かって螺旋状に移動し、^{[ 29 ] [ 30 ]}ジェッセンの二十面体（90°の二面角と3つの不変直交平面を持つ）は常に中央点であり、伸縮に対する抵抗がある限り安定しています。^{[ 31 ]}

弾性エッジ立方八面体変換は、実際のテンセグリティ二十面体構造の挙動を最もよくモデル化しているため、通常はテンセグリティ二十面体の数学として与えられます^{[ 32 ]}。しかし、短い辺（ケーブル）が完全に非弾性で、長い辺（支柱）が圧縮可能なバネであるテンセグリティ二十面体を構築することは確かに可能です。そのようなテンセグリティは、剛性エッジ立方八面体変換を実行します。

最後に、どちらの変換も純粋な抽象化であり、2 つの弾性パラメータがあり、そのうちの 1 つが 0 である必要がない、無限の立方八面体変換族の 2 つの極限ケースです。どちらの極限ケースも、ケーブルと支柱の両方にある程度弾性があり、実際の動作指標を計算するのが自明ではないほとんどの実際のテンセグリティ構造に完全に適用できるものではありません。 ^{[ 33 ]}エンジニアリングの実践では、かなりの程度の動きを可能にするにはごくわずかな弾性しか必要ないため、ほとんどのテンセグリティ構造は、ほぼ非弾性の支柱とケーブルを使用して「ドラムのようにタイト」になるように構築されています。テンセグリティ二十面体変換は、相互に小さな弾性パラメータを持つ運動学的立方八面体変換です。

これらの多面体間のねじれ、膨張と収縮の変換は、バックミンスター・フラーによってジッターバグ変換と名付けられました。フラーは数学的な説明をしていません。^{[ 8 ] [ 34 ]}彼以前の多くの偉大な幾何学者（例えばアリシア・ブール・ストット）と同様に、彼には数学的な説明はありませんでした。しかし、彼は立方八面体の放射状正三角形対称性の重要性を最初に強調し、それを構造的に応用（特許取得）して八面体トラスとし、それが構造的完全性だけでなく多面体間の次元関係においても基本的な役割を果たしていることを直感的に理解していました。彼は立方八面体の対称変換を発見し、テンセグリティ二十面体との関係を理解し​​、聴衆の前で剛体エッジ立方八面体の変換の実演さえ行いました（コンピュータレンダリングアニメーションが登場する以前の時代）。彼が立方八面体と呼んだ「ベクトル平衡」 ^{[ 35 ]}の解説付きデモンストレーションは、この記事のアニメーションよりもはるかに分かりやすい。