正多面体

正多面体とは、対称群がその旗に推移的に作用する多面体です。正多面体は、辺推移的、頂点推移的、面推移的のすべてを備え、対称性が非常に高いです。古典的な文脈では、多くの異なる同等の定義が使用されています。一般的な定義は、面が各頂点の周りに同じように組み立てられた合同な正多角形であるというものです。

正多面体は、 { n , m }という形式のシュレーフリ記号で識別されます。ここで、nは各面の辺の数、m は各頂点で交わる面の数です。有限凸正多面体 (プラトン立体) が 5 つ、正星型多面体(ケプラー・ポアンソ多面体) が 4 つあり、合計で 9 つの正多面体になります。さらに、正多面体の正複合体が 5 つあります。

プラトン立体として知られる 5 つの凸正多面体、4 つの正星型多面体(ケプラー・ポアンソ多面体)、および 5 つの正多面体の正複合体 があります。

各頂点の周囲に面が類似した配置になるという特性は、定義内の次の同等の条件のいずれかに置き換えることができます。

• 凸正多面体の頂点はすべて球面上にあります。
• 多面体の二面角はすべて等しい
• 多面体の頂点図形はすべて正多角形です。
• 多面体の立体角はすべて等しい。 ^[1]

凸正多面体には、中心を共有する 3 つの関連する球がすべて存在します (他の多面体には少なくとも 1 種類はありません)。

• すべての面に接する内接球面。
• すべての辺に接する中間球または中球。
• すべての頂点に接する外接球。

正多面体は、すべての多面体の中で最も対称性が高い。正多面体は、プラトン立体にちなんで名付けられた 3 つの対称群に属する。

• 四面体
• 八面体（または立方体）
• 二十面体（または十二面体）

二十面体または八面体の対称性を持つ形状には、四面体の対称性も含まれます。

5 つのプラトン立体のオイラー特性は 2 です。これは単に、表面が位相的な 2 次元球面であることを反映しており、たとえば、ある内部点に関して星形になっている多面体にも当てはまります。

正多面体の内部の任意の点から辺までの距離の合計は、その点の位置に依存しません（これはヴィヴィアーニの定理の拡張です）。しかし、逆は四面体の場合でも成り立ちません。^[2]

多面体の双対では、一方の多面体の頂点がもう一方の多面体の面に対応し、その逆もまた同様です。

正多面体はこの二重性を次のように示します。

• 四面体は自己双対であり、つまり自分自身と対になっています。
• 立方体と八面体は互いに双対です。
• 二十面体と十二面体は互いに双対です。
• 小さな星型十二面体と大十二面体は互いに双対です。
• 大星型十二面体と大二十面体は互いに双対です。

双対のシュレーフリ記号は、元の記号を逆に書いたものです。たとえば、{5, 3} の双対は {3, 5} です。

スコットランドでは、球や突起の塊のような形に彫られた石が発見されており、4,000年も前のものとも考えられる。これらの石の中には、5つのプラトン立体の対称性だけでなく、それらの間の双対関係も示しているものもある（つまり、立方体の面の中心が八面体の頂点となる）。これらの石の例は、オックスフォード大学アシュモリアン博物館のジョン・エヴァンス室に展示されている。これらの物体が作られた理由や、製作者がどのようにしてインスピレーションを得たのかは謎である。これらの物体の数学的解釈については疑問があり、多くが非プラトン的な形をしており、おそらく1つだけが真の二十面体であり、二十面体の双対である十二面体の再解釈ではないことがわかっている。^[3]

また、19 世紀後半にパドヴァ(北イタリア) 近郊で 2,500 年以上前の石鹸石でできた十二面体が発見されたことからもわかるように、エトルリア人がギリシャ人よりも先に正多面体の少なくとも一部を認識していた可能性もある (Lindemann、1987)。

正凸立体に関する最も古い記録は、古代ギリシャに遡る。これらの立体がいつ誰によって発見されたのかは不明であるが、アテネ人のテアイテトスが初めて 5 つすべての数学的記述を与えた (Van der Waerden、1954) (ユークリッド、第 13 巻)。HSMコクセター(Coxeter、1948、セクション 1.9)は、プラトン(紀元前 400 年) がそれらのモデルを作成したとしており、初期のピタゴラス学派の 1 人であるロクリのティマイオスが、当時認識されていた宇宙の性質と多面体との対応関係において 5 つすべてを使用したと述べています。この対応関係は、プラトンの対話『ティマイオス』に記録されています。ユークリッドがプラトンに言及したことから、これらはプラトンの立体として一般的に記述されるようになりました。

ギリシャ語の定義は次のように特徴づけられるかもしれません。

• 正多角形は、すべての辺が等しく、すべての角が等しい（凸状の）平面図形です。
• 正多面体は、すべての面が合同な正多角形であり、各頂点の周りに同じ数が均等に配置されている立体（凸型）図形です。

この定義では、例えば、四角錐（すべての面が正三角形であるにもかかわらず、四角形の底辺が三角形の辺と一致しないため）や、2 つの四面体を結合して形成される形状（その三角形の両錐体のすべての面が正三角形、つまり正三角形であるにもかかわらず、頂点によっては三角形が 3 つあり、他の頂点には三角形が 4 つあるため）は除外されます。

正多面体というこの概念は、ほぼ 2000 年間にわたって疑問視されることはありませんでした。

五芒星（星型五角形）などの正星型多面体は、古代ギリシャにも知られていた。五芒星はピタゴラス学派によって秘密の記号として使われていたが、多面体の構築には使われなかった。ヨハネス・ケプラーが五芒星を正星型多面体の面として使えることに気付いたのは、17世紀初頭になってからだった。これらの星型多面体のいくつかは、ケプラーの時代以前にも発見されていたかもしれないが、正多面体は凸型でなければならないという制約を取り除けば「正多面体」とみなせると認識したのはケプラーが初めてだった。200年後、ルイ・ポアンソも星型頂点図形（各角の周りの円）を認め、ケプラーの正星型多面体を再発見するとともに、2つの新しい正星型多面体を発見することができた。これら4つが唯一の正星型多面体であり、ケプラー・ポアンソ多面体として知られるようになった。ポアンソが出版してから数十年後の19世紀半ばになって、ケイリーがこれらに現代的な英語名、すなわち（ケプラーの）小星型十二面体と大星型十二面体、および（ポアンソの）大二十面体と大十二面体を与えた。

ケプラー・ポアンソ多面体は、プラトン立体から星形化と呼ばれるプロセスによって構築できます。星形化の逆のプロセスはファセット化(またはファセット化) と呼ばれます。1 つの多面体の星形化はすべて、その双対多面体のファセット化と双対、つまり逆です。正星形多面体もプラトン立体をファセット化することで得られます。これは、ケーリーが多面体に名前を付けたのとほぼ同時期に、ベルトランによって初めて行われました。

したがって、19 世紀末までに、正多面体は 9 個 (凸型が 5 個、星型が 4 個) 存在しました。

それぞれのプラトン立体は、何らかの形で自然に発生します。

四面体、立方体、八面体はすべて結晶として存在します。これらは、結晶の可能な形状のすべてを網羅するものではありません (Smith、1982、p212)。結晶の可能な形状は 48 種類あります。正二十面体も正十二面体もその中には含まれていませんが、結晶は黄鉛面体の形状をとることがあり、これは見た目では正十二面体とほとんど区別がつきません。真に正二十面体の結晶は、自然界では非常にまれですが、実験室で生成できる 準結晶材料によって形成される場合があります。

最近の発見は、フラーレンとして知られる一連の新しいタイプの炭素分子です(Curl、1991 を参照)。最も簡単に生成できるフラーレンである C ₆₀は、ほぼ球形に見えますが、より大きな種類 (C ₂₄₀、C ₄₈₀、C ₉₆₀など) は、直径が数ナノメートルのわずかに丸みを帯びた二十面体の形状をとると仮定されています。

正多面体は生物学にも登場する。円石藻類 Braarudosphaera bigelowiiは、直径約 10マイクロメートルの正十二面体構造をしている。^[4] 20 世紀初頭、エルンスト・ヘッケルは、殻が様々な正多面体のような形をしている放散虫の種をいくつか記述した。 ^[5]例としては、 Circoporus octahedrus、Circogonia icosahedra、Lithocubus geographicus、Circorrhegma dodecahedraなどがあり、これらの生物の形状は名前で示されている。^[5]多くのウイルスの外側のタンパク質殻は正多面体を形成している。例えば、HIV は正二十面体に囲まれており、典型的なミオウイルスの頭部も同様である。^{[6] [7]}

• 
  円石藻類 Braarudosphaera bigelowiiは正十二面体構造をしている。
• 
  放散虫 Circogonia icosahedraは正20面体構造を持つ。
• 
  ミオウイルスは通常、直径約 100ナノメートルの正二十面体のカプシド(頭部)を持っています。

古代、ピタゴラス学派は、正多面体と惑星の軌道が調和していると信じていました。17世紀、ヨハネス・ケプラーはティコ・ブラーエがまとめた惑星運動に関するデータを研究し、10年にわたって多面体のサイズと惑星の軌道のサイズが一致するものを見つけることでピタゴラスの理想を確立しようとしました。彼の探求は当初の目的は達成できませんでしたが、この研究から、ケプラー立体が正多面体であることの発見、惑星の軌道は円ではないという認識、そして現在彼を有名にしている惑星運動の法則が生まれました。ケプラーの時代には、地球を除いて5つの惑星しか知られておらず、プラトン立体の数とちょうど一致していました。ケプラーの研究と、それ以降の天王星と海王星の発見により、ピタゴラスの考えは無効になりました。

ピタゴラス学派とほぼ同時期に、プラトンは物質の理論を述べました。その理論では、5 つの要素 (土、空気、火、水、精神) はそれぞれ 5 つの正多面体の小さなコピーで構成されていました。物質はこれらの多面体の混合物から構成され、各物質は混合物の中で異なる割合で存在していました。2000 年後、ドルトンの原子論により、この考えは、正多面体に直接関連しているわけではありませんが、正しいものであることが示されました。

20 世紀には、正多面体の概念が次々と一般化され、いくつかの新しいクラスが生まれました。

最初の数十年間、コクセターとペトリーは、尾根と谷が交互に並ぶ「鞍型」の頂点を認め、3つの無限に折り畳まれた表面を構築し、これを正歪多面体と呼んだ。^[8]コクセターはこれらの図形に修正されたシュレーフリ記号{l,m|n} を提案した。ここで、{l,m} は頂点図形を意味し、頂点の周りにm 個の正l角形がある。nはn角形の穴を定義する。これらの頂点図形は正歪多角形であり、頂点は 2 つの平面の間をジグザグに走る。

4 次元空間には有限正斜多面体が存在します。4 次元空間のこれらの有限正斜多面体は、一様 4 次元多面体の面のサブセットとして見ることができます。これらは平面正多角形面を持ちますが、正斜多角形の 頂点図形は正多角形です。

2 つの双対解は5 セルに関連し、2 つの双対解は24 セルに関連し、自己双対デュオプリズムの無限セットは {4, 4 | n} として正規の歪んだ多面体を生成します。無限の極限では、これらはデュオシリンダーに近づき、3 次元空間への立体投影ではトーラスのように見えます。

過去 1 世紀にわたって発見された非ユークリッド空間(双曲空間と楕円空間) や複素空間などの他の空間の研究により、それらの空間でのみ規則的な幾何学的形状をとることができる複素多面体などの新しい多面体がさらに発見されました。

H ³ 双曲空間では、パラコンパクト正則ハニカムは、有限多面体のように動作するユークリッドタイリング面と頂点図形を持ちます。このようなタイリングには角度の欠陥があり、どちらかの方向に曲げることで閉じることができます。タイリングが適切にスケーリングされている場合、単一の理想点で漸近極限として閉じます。これらのユークリッドタイリングは、多面体が球面 (理想点が 0 個) に内接するのと同じように、ホロスフィアに内接します。このシーケンスは、双曲タイリング自体が非コンパクト双曲面分割の面として使用される場合に拡張されます。たとえば、七角形タイリングハニカム{7,3,3} では、それらは 2 つの理想点を持つ等距離面 (2ハイパーサイクル) に内接します。

正多面体の別のグループは、実射影平面のタイリングから構成されます。これには、半立方体、半八面体、半十二面体、半二十面体が含まれます。これらは (全体的に)射影多面体であり、プラトン立体の射影上の対応物です。四面体には、他の 4 つのプラトン立体のように識別できる平行面のペアがないため、射影上の対応物はありません。

これらは、元のプラトン立体と同じように双対として現れます。それらのオイラー特性はすべて 1 です。

この時までに、多面体は、任意の数の次元におけるより一般的な多面体の 3 次元の例としてしっかりと理解されていました。 20 世紀後半には、多面体組合せ論などの抽象代数のアイデアが発展し、抽象多面体を部分的に順序付けられた要素の集合(poset)として考えるというアイデアに至りました。抽象多面体の要素は、その本体 (最大要素)、面、辺、頂点、およびヌル多面体または空集合です。これらの抽象要素は、通常の空間にマッピングすることも、幾何学的図形として実現することもできます。抽象多面体には、整形式または忠実に実現されたものもあれば、そうでないものもあります。旗は、各次元の要素の接続されたセットです。多面体の場合は、本体、面、面の辺、辺の頂点、およびヌル多面体です。抽象多面体は、その組み合わせ対称性がその旗上で推移的である場合、つまり多面体の対称性の下で任意の旗を他の旗にマッピングできる場合、 正則であると言われます。抽象正則多面体は、現在も活発に研究されている分野です。

忠実に実現することができないこのような正多面体は、HSM Coxeterの著書Regular Polytopes (1977) で、また JM Wills の論文「The combinatorially formal polyhedra of index 2」(1987) で 5 つ特定されています。5 つすべて C ₂ ×S _{5対称性を持ちますが、対称性の半分、つまり C 2} ×A ₅または 20 面体対称性でのみ実現できます。 ^{[9] [10] [11]これらはすべて、位相的には}トロイドと同等です。各頂点の周囲にn 個の面を配置することによるそれらの構築は、双曲面のタイリングとして無限に繰り返すことができます。下の図では、双曲タイリング画像の色は多面体画像の色に対応しています。

正多面体のペトリー双対は、その頂点と辺が元の多面体の頂点と辺に対応し、その面が歪んだペトリー多角形の集合である正多面体である。^[12]

通常の 5 つの正多面体は、球面タイリング (球のタイリング) として表現することもできます。

シュレーフリ記号が{ m ,  n }である正多面体の場合、多角形の面の数は次のように求められます。

${\displaystyle N_{2}={\frac {4n}{2m+2n-mn}}}$

古代に知られたプラトン立体は、 m ≥ 3 およびn ≥ 3の唯一の整数解です。m ≥ 3という制約は、多角形の面が少なくとも 3 つの辺を持つ必要があることを強制します。

多面体を球状のタイリングとして考えると、この制限は緩和されるかもしれない。なぜなら、二角形（2角形）は面積がゼロでない球状の三角として表すことができるからである。m = 2を許容すると、正多面体の新しい無限のクラス、すなわち細面体が許容される。球面上では、正多面体 {2,  n } は、内角が 2 π / nであるn 個の隣接する三角として表される。これらの三角はすべて、2つの共通の頂点を共有する。^[13]

3次元ユークリッド空間における正二面体{ n ,2} ^[13] （2面体）は、2つの（平面の）n辺形多角形が背中合わせで接続された退化した角柱と見なすことができるため、結果として得られるオブジェクトには奥行きがなく、2つの線分で二角形を作成できる方法と類似しています。ただし、球面タイリングとして、二面体は、球面を覆う2つのn辺の面（各面は半球）と大円の周りの頂点を持つ非退化形式で存在できます。頂点が等間隔に配置されている場合、 それは正則です。

直面体 {2, n } は、二面体 { n ,2} の双対です。n = 2 のとき、直面体と二面体の両方である多面体 {2,2} が得られることに注意してください。これらすべては、オイラー特性 2 を持ちます。

• 準正多面体
• 半正多面体
• 均一多面体
• 正多面体

• ベルトラン、J. (1858)。 sur la théorie des Polyèdres réguliers、Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences、46、79–82 ページに注意してください。
• ヘッケル、E. (1904)。自然の芸術作品。 Haeckel、E. Art Forms in Nature、Prestel USA (1998)、ISBN 3-7913-1990-6として入手可能、またはオンライン http://caliban.mpiz-koeln.mpg.de/~stueber/haeckel/kunstformen/ で入手可能自然.html 
• スミス、JV (1982)。『幾何構造結晶学』、ジョン・ワイリー・アンド・サンズ。
• サマービル、DMY (1930)。n次元幾何学入門。EPダットン、ニューヨーク。(ドーバー出版版、1958 年)。第 10 章: 正多面体。
• コクセター、HSM ; 正多面体（第3版）。ドーバー出版。ISBN 0-486-61480-8 

• Weisstein、Eric W.「正多面体」。MathWorld。
• ジャン・ミサリによる YouTube 動画「正多面体は 48 個あります」