二重性（秩序理論）

数学の分野である順序理論では、すべての半順序集合 P は、しばしばP ^opまたはP ^dと表記される双対（または反対の）半順序集合を生じます。この双対順序P ^opは、同じ集合ですが逆順序、つまりP ^opでx ≤ yが成り立つのは、 Pでy ≤ x が成り立つ場合のみであると定義されます。Pのハッセ図を上下逆にすることで表すことができるこの構成が、確かに半順序集合を生み出すことは容易にわかります。より広い意味では、2 つの半順序集合は、双対同型、つまり一方の半順序集合がもう一方の半順序集合の双対と順序同型である場合にも、双対であると言われています。

この単純な定義の重要性は、順序理論のすべての定義と定理が双対順序に容易に転用できるという事実に由来しています。正式には、これは順序付き集合の双対性原理によって表現されます。

与えられたステートメントがすべての部分順序集合に対して有効である場合、すべての順序関係の方向を反転し、関係するすべての順序理論的定義を双対化することによって得られるその双対ステートメントも、すべての部分順序集合に対して有効です。

ステートメントまたは定義がその双対と同等である場合、それは自己双対であると言われます。双対順序の考慮は非常に基本的なため、この「新しい」シンボルを事前に定義せずに、≤ の双対順序に対して ≥ と書くときに暗黙的に考慮されることが多いことに注意してください。

当然のことながら、双対的な概念の例は数多くあります。

• 最大の要素と最小の要素
• 最大要素と最小要素
• 最小上限（suprema、∨）と最大下限（infima、∧）
• 上段セットと下段セット
• 理想とフィルター
• クロージャ演算子とカーネル演算子。

自己双対的な概念の例には次のものがあります。

• （完全な）格子であること
• 関数の単調性
• 格子の分配性、すなわち ∀ x , y , z : x ∧ ( y ∨ z ) = ( x ∧ y ) ∨ ( x ∧ z ) が成り立つ格子は、双対命題 ∀ x , y , z : x ∨ ( y ∧ z ) = ( x ∨ y ) ∧ ( x ∨ z ) が成り立つ格子とまったく同じである^[1]
• ブール代数であること
• 順序同型であること。

半順序は反対称なので、自己双対となるのは同値関係だけです(ただし、半順序の概念は自己双対 です)。

• 逆関係
• ブール代数のトピックのリスト
• 転置グラフ
• 圏論における双対性、その中で順序理論における双対性は特別なケースである

• Davey, BA; Priestley, HA (2002)、『格子と秩序入門』（第2版）、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-78451-1