均一多面体

幾何学では、一様多面体は面として正多角形を持ち、頂点推移的です。つまり、任意の頂点を他の任意の頂点に写像する等長変換が存在します。したがって、すべての頂点は合同です。一様多面体は、正多面体（面および辺推移的でもある場合）、準正多面体（辺推移的だが面推移的でない場合）、または半正多面体（辺推移的でも面推移的でない場合）のいずれかです。面と頂点は凸状である必要はないため、一様多面体の多くは星型多面体でもあります。

均一多面体には 2 つの無限クラスがあり、他に 75 個の多面体がある。これらは、2 つの無限クラスのプリズムと反プリズム、5 つのプラトン立体と 13 個のアルキメデス立体のような凸多面体(2 つの準正多面体と 11 個の半正多面体)、4 つのケプラー・ポアンソ多面体と 53 個の均一な星型多面体(14 個の準正多面体と 39 個の半正多面体) のような非凸星型多面体である。また、一対の辺が一致する退化した均一多面体も多数存在し、ジョン・スキリングが発見した、スキリングの図形と呼ばれる大きな不連続二菱形十二面体も含まれる。^[1]

双対多面体から正多面体までは面推移的（同面体）で正多角形の頂点図形を持ち、一般に双対（正多面体）多面体と平行に分類されます。正多面体の双対は正多面体ですが、アルキメデス立体の双対はカタラン立体です。

均一多面体の概念は均一多面体の概念の特殊なケースであり、高次元（または低次元）空間の形状にも適用されます。

Coxeter、Longuet-Higgins、Miller (1954) は、一様多面体を、正多角形を持つ頂点推移多面体と定義しています。彼らは、多角形の各辺が他の 1 つの多角形の辺であり、多角形の空でない適切な部分集合が同じ特性を持たないような多角形の有限集合を多面体と定義しています。多角形とは、3 次元ユークリッド空間の多角形を暗黙的に意味します。これらは非凸で、互いに交差していてもかまいません。^[2]

均一多面体の概念には、いくつかの一般化があります。連結性の仮定を外すと、5 つの立方体の合成物など、多面体の和集合として分割できる均一合成物が得られます。多面体の実現が非退化であるという条件を外すと、いわゆる退化均一多面体が得られます。これらには、より一般的な多面体の定義が必要です。Grünbaum (1994) は多面体のかなり複雑な定義を与えましたが、McMullen & Schulte (2002) は多面体のより単純で一般的な定義を与えました。彼らの用語では、多面体は、非退化の 3 次元実現を持つ2 次元の抽象多面体です。ここで、抽象多面体はさまざまな条件を満たす「面」の集合であり、実現体はその頂点から何らかの空間への関数であり、抽象多面体の 2 つの異なる面に異なる実現体がある場合、その実現体は非退化と呼ばれます。これらが退化する方法のいくつかは次のとおりです。

• 隠れた面。多面体の中には、外側から内部の点が見えないという意味で隠れた面を持つものがあります。これらは通常、均一な多面体として数えられません。
• 退化した化合物。多面体の中には複数の辺を持ち、その面が 2 つ以上の多面体の面になっているものもありますが、多面体が辺を共有しているため、前述の意味での化合物ではありません。
• 二重被覆。一部の非向き付け多面体には、一様多面体の定義を満たす二重被覆があります。二重被覆には、2 倍の面、辺、頂点があります。これらは通常、一様多面体としてカウントされません。
• 二重面。ワイトフの構成によって生成される二重面を持つ多面体がいくつかあります。ほとんどの著者は二重面を許可せず、構成の一部として削除します。
• 二重辺。スキルリング図形は二重辺を持つという特性を持っていますが (退化した一様多面体の場合と同様)、その面は 2 つの一様多面体の和集合として表すことはできません。

• プラトン立体は古代ギリシャにまで遡り、ピタゴラス学派、プラトン（紀元前424年頃 - 348年頃）、テアイテトス（紀元前417年頃 - 369年頃）、ロクリのティマイオス（紀元前420年頃 - 380年頃）、ユークリッド（紀元前300年頃活躍）らによって研究された。エトルリア人は紀元前500年以前に正十二面体を発見した。^[3]

• 立方八面体はプラトンによって知られていました。
• アルキメデス（紀元前287年 - 紀元前212年）は、13のアルキメデスの立体をすべて発見しました。この主題に関する彼の原著は失われましたが、アレクサンドリアのパップス（紀元後290年頃 - 紀元後350年頃）は、アルキメデスが13の多面体をリストアップしたと述べています。
• ピエロ・デラ・フランチェスカ（1415年 - 1492年）は、プラトン立体の5つの切断面（切断四面体、切断八面体、切断立方体、切断十二面体、切断二十面体）を再発見し、その図解と計量特性の計算を著書『正則五体』に収録した。また、別の本で立方八面体についても論じた。^[4]
• ルカ・パチョーリは、 1509 年に『De divina proportene』でフランチェスカの作品を盗用し、レオナルド・ダ・ヴィンチが描いた菱形立方八面体を追加し、その 26 面を二十六面体と呼びました。
• ヨハネス・ケプラー（1571年 - 1630年）は、1619年にアルキメデスの立体の完全なリストを初めて出版した人物である。彼はまた、均一なプリズムと反プリズムの無限族を特定した。

• ケプラー（1619）は、ケプラー・ポアンソ多面体のうち、小星型十二面体と大星型十二面体の2つを発見した。
• ルイ・ポアンソ（1809年）は、他の2つ、大十二面体と大二十面体を発見しました。
• この 4 つの集合は1813 年にオーギュスタン＝ルイ・コーシーによって完全であることが証明され、 1859 年にアーサー・ケイリーによって命名されました。

• 残りの 53 個のうち、エドマンド・ヘス(1878) が 2 個を発見し、アルバート・バドゥロー (1881) がさらに 36 個を発見し、ピッチ (1881) が独立して 18 個を発見しました。そのうち 3 個はこれまで発見されていなかったものです。これらを合わせると 41 個の多面体になります。
• 幾何学者HSM コクセターはJCP ミラー(1930-1932)と共同で残りの 12 個を発見しましたが、公表しませんでした。MSロンゲ ヒギンズとHC ロンゲ ヒギンズは独立してこれらのうち 11 個を発見しました。レサブルとメルシエは 1947 年にこれらのうち 5 個を再発見しました。
• Coxeter、Longuet-Higgins、Miller (1954) は均一な多面体のリストを発表しました。
• ソポフ（1970）は、リストが完全であるという彼らの推測を​​証明した。
• 1974年、マグナス・ウェニンガーは著書『多面体モデル』を出版した。この本には、75個の非角柱状の均一多面体すべてが記載されており、それらにはノーマン・ジョンソンによって与えられた、これまで未発表だった多くの名前が付けられている。
• スキルリング (1975) は独立して完全性を証明し、一様多面体の定義を緩和して辺が一致するようにすると、もう 1 つの可能性 (大きな不連続な二菱十二面体) が存在することを示しました。
• 1987年、エドモンド・ボナンはPolycaと呼ばれるTurbo Pascalプログラムを使用して、すべての均一多面体とその双対を3Dで描きました。それらのほとんどは、1993年にイギ​​リスのイーストボーンにあるコングレスシアターで開催された国際立体視連合会議で公開され、2005年にはフランスのブザンソンのクルサールでも再び公開されました。^[5]
• 1993年、ツヴィ・ハルエル（1949–2008）^[6]は、 Kaleidoと呼ばれるコンピュータプログラムを使用して、均一多面体と双対の完全な万華鏡のような構成を作成し、図1から80までを数えた論文「均一多面体の均一解」にまとめました。^[7]
• また1993年に、R.Mäderは、わずかに異なるインデックスシステムを使用して、このKaleidoソリューションをMathematicaに移植しました。 ^[8]
• 2002年にピーター・W・メッサーは、任意の一様多面体（およびその双対）の主要な組合せ量と計量量を、そのウィトフ記号のみで決定するための最小限の閉形式表現を発見した。^[9]

大二菱形十二面体を除く 57 個の非柱状非凸形状は、シュワルツの三角形内のウィトフ構成によってまとめられます。

凸一様多面体は、正規形に対する ウィトフ構成演算によって命名できます。

凸一様多面体は、各対称群内の Wythoff 構成によってさらに詳細に以下で示されます。

ワイトホフ構成には、対称性の低い形状によって繰り返しが作られます。立方体は正多面体であり、正四角柱です。八面体は正多面体であり、三角形の反角柱です。八面体は、平行四面体でもあります。多くの多面体は、異なる構成ソースから繰り返され、異なる色で表示されます。

ウィトフ構成は、球面上の均一な多面体と均一なタイリングに等しく適用されるため、両方の画像が提供されます。球面タイリングには、退化した多面体である細面体と二面体の集合が含まれます。

これらの対称群は、3 次元の反射点群から形成され、それぞれが基本三角形 ( p  q  r ) で表されます。ここで、p  > 1、q  > 1、r  > 1、および1/ p + 1/ q + 1/ r < 1です。

• 四面体対称性(3 3 2) – 順序 24
• 八面体対称性（4 3 2） – 順序48
• 正二十面体対称性（5 3 2） – 次数120
• 二面対称性（n 2 2）、n = 3,4,5、... – 次数4 n

残りの非反射形状は、偶数個の辺を持つ多面体に適用される 交代演算によって構築されます。

プリズムとその二面体対称性に加えて、球面ウィトフ構築プロセスでは、多面体として退化する2 つの正規クラス、すなわち二面体と細面体が追加されます。前者は 2 つの面のみを持ち、後者は 2 つの頂点のみを持ちます。正規細面体の切断により、プリズムが作成されます。

凸型均一多面体の下には、対称形別に表に示されているように、非柱状形に対して 1 ～ 18 のインデックスが付けられています。

無限のプリズマティック形状の集合は、次の 4 つのファミリーに分類されます。

1. Hosohedra H _2... (球状タイルとしてのみ)
2. 二面体 D _2... (球面タイリングのみ)
3. プリズム P _3... (切頂細面体)
4. アンチプリズム A _3... (スナブプリズム)

二面対称性のサンプル:

(球体はカットされず、タイリングのみがカットされます。) (球面上では、エッジは 2 つの頂点間の最短距離である大円の弧です。したがって、頂点が反対極ではない二角形は平らで、エッジのように見えます。)

球の四面体対称性により、 5つの均一な多面体が生成され、スナブ操作によって 6 番目のフォームが生成されます。

四面体対称性は、1つの頂点に2つの鏡像、2つの頂点に3つの鏡像を持つ基本三角形で表され、記号 (3 3 2) で表されます。また、コクセター群A ₂または [3,3] やコクセター図でも表すことができます。。

24 個の三角形があり、四面体六面体の面と、球面上の交互に色分けされた三角形に表示されます。

球の八面体対称性により、 7 つの均一な多面体が生成され、交互にさらに 7 つの多面体が生成されます。これらの形状のうち 6 つは、上記の四面体対称性表から繰り返されます。

八面体対称性は、各頂点の鏡像を数えた基本三角形 (4 3 2) で表される。これは、コクセター群B ₂または [4,3]、およびコクセター図によっても表される。。

2面体正十二面体の表面と、球面上の交互に色分けされた三角形には、48個の三角形が見えます。

球の二十面体対称性により、7 つの均一な多面体が生成され、交互に 1 つ追加されます。上記の四面体と八面体の対称性表から繰り返されるのは 1 つだけです。

二十面体対称性は、各頂点の鏡像を数えた基本三角形 (5 3 2) で表される。これは、コクセター群G ₂または [5,3]、およびコクセター図によっても表される。。

2面体三十面体の面と、球面上の交互に色分けされた三角形には、120個の三角形が見えます。

球面の二面体対称性により、均一な多面体、プリズム、反プリズムの 2 つの無限セットと、球面上にタイリングとして存在する退化した多面体、細面体と二面体のさらに 2 つの無限セットが生成されます。

二面対称性は、各頂点の鏡像を数えた基本三角形 (p 2 2) で表されます。また、コクセター群I ₂ (p) または [n,2]、およびプリズムコクセター図で表すこともできます。。

以下は最初の 5 つの二面体対称性です: D ₂ ... D ₆。二面体対称性 D _{p は}4nの位数を持ち、両錐体の面として表され、球面上では経線上の赤道線と n 本の等間隔の経線として表されます。

基本的な三角形は 8 つあり、正方両錐体(八面体)の面と球面上の交互に色分けされた三角形に表示されます。

六角両錐の面と球面上の交互に色分けされた三角形に見える、12 個の基本的な三角形があります。

八角錐の面と球面上の交互に色分けされた三角形に見える基本的な三角形は 16 個あります。

十角形両錐の面と球面上の交互に色分けされた三角形に見える基本的な三角形は 20 個あります。

12 角錐の面と球面上の交互に色分けされた三角形に、24 個の基本三角形が表示されます。

• 多面体
  • 正多面体
  • 準正多面体
  • 半正多面体
• 均一多面体の一覧
  • 頂点図形による一様多面体の一覧
  • ウィトフ記号による一様多面体の一覧
  • シュワルツ三角形による一様多面体の一覧
• ジョンソン固体のリスト
• ヴェニンガー多面体モデルのリスト
• 多面体モデル
• 均一なタイリング
• 双曲面上の均一なタイリング
• 擬似均一多面体
• 図形のリスト

• ブルックナー、M. フィーレッケとフィールフラッヘ。理論と理論。。ドイツ、ライプツィヒ: Teubner、1900年。 [2]
• コクセター、ハロルド・スコット・マクドナルド;ロンゲット・ヒギンズ、MS ;ミラー、JCP (1954)。「均一多面体」(  PDF )。王立協会哲学論文集 A。246 (916): 401–450。Bibcode :1954RSPTA.246..401C。doi : 10.1098 / rsta.1954.0003。ISSN 0080-4614。JSTOR  91532。MR  0062446。S2CID 202575183  。
• Diudea, MV (2018)、マルチシェル多面体クラスター、Springer、doi :10.1007/978-3-319-64123-2、ISBN 978-3-319-64123-2
• Grünbaum, B. (1994)、「中空面を持つ多面体」、Tibor Bisztriczky、Peter McMullen、Rolf Schneider、他編、『NATO 高度多面体研究機関の議事録: 抽象、凸、計算』、Springer、pp. 43–70、doi :10.1007/978-94-011-0924-6_3、ISBN 978-94-010-4398-4
• マクマレン、ピーター、シュルテ、エゴン（2002）、抽象正則多面体、ケンブリッジ大学出版局
• Skilling, J. (1975). 「均一な多面体の完全なセット」.ロンドン王立協会哲学論文集. シリーズ A. 数学および物理科学. 278 (1278): 111–135. Bibcode :1975RSPTA.278..111S. doi :10.1098/rsta.1975.0022. ISSN  0080-4614. JSTOR  74475. MR  0365333. S2CID  122634260.
• Sopov, SP (1970)。「基本的な同次多面体のリストの完全性の証明」。ウクライナ幾何学的スボルニク(8): 139–156。MR  0326550。
• ウェニンガー、マグナス（1974）。多面体モデル。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-09859-5。

• Weisstein、Eric W.「均一多面体」。MathWorld。
• 均一多面体の均一解
• 均一な多面体
• 仮想多面体 均一多面体
• 均一多面体ギャラリー
• 均一多面体 - Wolfram MathWorldより75個の多面体全てを視覚的に表すチャートがあります