リーブ四面体

幾何学において、リーブ四面体は、頂点が （rは正の整数）に ある多面体の一種である。1957年にジョン・リーブがこれを用いてピックの定理の高次元一般化は存在しないことを示したことにちなんで名付けられた。 ^[1]$${\displaystyle {\begin{array}{lcl}(0,&0,&0),\\(1,&0,&0),\\(0,&1,&0),\\(1,&1,&r),\end{array}}}$$

リーブ四面体の頂点はすべて格子点（座標がすべて整数である点）である。他の格子点は四面体の表面や内部には存在しない。頂点（1, 1, r）を持つリーブ四面体の体積はr /6である。1957年にリーブはこの四面体を使用して、4つの格子点を頂点とし、他の格子点は含まないが、任意の大きさの体積を持つ四面体が存在することを示しました。^[2]

2次元では、格子頂点を持つすべての多面体の面積は、ピックの定理に従って、頂点、境界、内部の格子点の数の式として決定されます。リーブ四面体は、3次元以上の体積に対応する式が存在しないことを意味します。そのような式では、 rの異なる選択を持つリーブ四面体を互いに区別することはできませんが、それらの体積はすべて異なります。 ^[2]

この否定的な結果にもかかわらず、リーブが示したように、多面体の格子点の数、多面体のより細かい格子の点の数、および多面体のオイラー特性を組み合わせた、より複雑な格子多面体の体積の式を考案することは可能です。^{[2] [3]}

任意の格子多面体のエーハート多項式は、整数倍に拡大されたときに含まれる格子点の数を数える。高さrのリーブ四面体T _r^{のエーハート多項式は[4]}である。したがって、 r ≥ 13 の場合、 T _rのエーハート多項式のtの係数は負である。この例は、エーハート多項式が負の係数を持つ場合があることを示している。^[4] $${\displaystyle L({\mathcal {T}}_{r},t)={\frac {r}{6}}t^{3}+t^{2}+\left(2-{\frac {r}{6}}\right)t+1.}$$