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幾何学において、プリズムとは、n面の多角形の底面、最初の底面を平行移動した (回転せずに剛体的に移動した) 2 番目の底面、および2 つの底面の対応する辺を結ぶn個の他の面(すべて平行四辺形である必要がある) から構成される多面体である。底面に平行なすべての断面は、底面の平行移動である。プリズムは底面にちなんで命名され、たとえば、五角形の底面を持つプリズムは五角柱と呼ばれる。プリズムはプリズム類のサブクラスである。[ 2 ]
多くの基本的な幾何学用語と同様に、プリズム（ギリシャ語のπρίσμα （prisma）「のこぎりで切ったもの」に由来）という言葉は、ユークリッドの『原論』で初めて使用されました。ユークリッドは第11巻でこの用語を「互いに反対で等しい平行な2つの平面で囲まれた立体で、残りの部分は平行四辺形である」と定義しました。しかし、この定義は底面の性質に関して十分に明確ではないため（後の世代の幾何学の著述家の間で混乱の原因となった）、批判されてきました。[ 3 ] [ 4 ]
斜角柱とは、接合する辺や面が底面に対して垂直でない角柱のことである。
例：平行六面体は、底面が平行四辺形である斜角柱、または同等に、6つの平行四辺形の面を持つ多面体です。
直角柱とは、接合する辺と面が底面に垂直な角柱のことである。 [ 5 ]これは、接合する面がすべて長方形である場合に限る。
正n角形の底面を持つ直角柱 (長方形の側面を持つ) は、シュレーフリ記号{ }×{ n } を持ちます。nが無限大に近づくと、円柱に近づきます。[ 6 ]
注：一部の文献では、直方体底面の長方形の角柱と直方体底面の正方形の角柱の両方に「直方体」または「正方形の角柱」という用語が用いられる場合があります。
正角柱とは、底面が正多角形である角柱のことである。
一様角柱または半正角柱とは、底面が正多角形で、すべての辺の長さが等しい直角柱のことである。
したがって、均一な角柱の側面はすべて正方形である。
したがって、一様な角柱のすべての面は正多角形である。また、このような角柱は等角形であるため、一様な多面体である。これらは、反角柱によって形成されるもう1つの無限系列である、2つの半正多面体の系列のうちの1つを形成する。
一様なn角柱は、シュレーフリ記号t{2, n } を持つ。
角柱の体積は、底面の面積と高さ（つまり、底面の2つの面間の距離）の積です（直角柱でない場合は、垂直距離を意味します）。
したがって、その体積は次のようになります。
ここで、Bは底面積、hは高さである。
したがって、底面が辺の長さsのn角形正多角形である角柱の体積は次のようになる。
直角柱の表面積は次のとおりです。
ここで、Bは底面積、hは高さ、Pは底辺の周囲長である。
底面が辺の長さsの正n角形であり、高さがhである直角柱の表面積は、次のようになる。
正底面を持つ直角n角柱の対称群は、位数4nのDnhである。ただし、立方体の場合は、より大きな位数48の対称群Ohを持ち、その部分群にはD4hの3つのバージョンが含まれる。回転群は、位数2nのDnである。ただし、立方体の場合は、より大きな位数24の対称群Oを持ち、その部分群にはD4の3つのバージョンが含まれる。
対称群D n hは、 nが偶数である場合に限り反転 を含む。
ホソヘドラとダイヘドラは二面体対称性も持ち、n角柱はn角ホソヘドラの幾何学的切断、およびn角ダイヘドラのカンテレーションまたは拡張によって構築することができる。
切頭角柱は、角柱を底面に平行でない平面で切断したときに形成されます。切頭角柱の底面は合同ではなく、側面は平行四辺形でもありません。[ 7 ]
ねじれた角柱は、各側面が正方形の対角線で二等分された均一な n 角柱から、上部を通常 (ただし必ずしもそうではない) π / n ラジアン ( 180 / n 度) だけねじることによって作られる非凸多面体です。二等分線が左に傾いている場合、上部の底面を右方向 (角柱の上部から見て) に小さな角度でねじると非凸多面体になり、左方向にねじると凸多面体になります (画像のねじれた正方形角柱を参照)。二等分線が右に傾いている場合、上部の底面を左方向にねじると非凸多面体になり、右方向にねじると凸多面体になります (ねじれた十二角柱を参照)。[ 8 ] [ 9 ]
ねじれた角柱は、新たな頂点を追加せずに四面体に分割することはできません。最も単純なねじれた角柱は三角形の底面を持ち、シェーンハルト多面体と呼ばれます。
n角ねじれプリズムは、位相的にはn角一様反プリズムと同一ですが、対称群は半分になります。D n , [ n ,2] +、位数2 nです。三角形のペアの間にある四面体を取り除いた非凸反プリズムと見なすことができます。任意のねじれn角プリズムは反プリズムであるため、図に示されているねじれ正方形プリズムとねじれ十二角プリズムはどちらも反プリズムです。
円錐台は、台形の側面と、大きさの異なる上面と底面の多角形を持つ、角柱に似た構造である。
星形プリズムは、上面と下面に平行で一定の距離だけずれた2つの同一の星形多角形の面があり、長方形の面で接続された非凸多面体です。均一な星形プリズムは、シュレーフリ記号{ p / q }×{}を持ち、 p個の長方形と2 { p / q }個の面があります。位相的にはp角形プリズムと同一です。
交差プリズムは、プリズムから構成される非凸多面体であり、一方の底面の頂点がその底面の中心を中心に反転（または180°回転）されています。これにより、側面の長方形面が交差した長方形に変わります。正多角形の底面の場合、n角形の砂時計のような形状になります。すべての斜辺は単一の体中心を通ります。注：この体中心には頂点はありません。交差プリズムは、位相的にはn角形のプリズムと同一です。
トーラス状プリズムは、交差プリズムのような非凸多面体ですが、底面と上面がなく、単純な長方形の側面で多面体を閉じます。これは、辺の長さが偶数の底面多角形の場合にのみ可能です。これらは、オイラー標数がゼロの位相トーラスです。位相多面体ネットは、正方形タイリングの 2 列(頂点構成4.4.4.4 )から切り取ることができます。n個の正方形の帯で、それぞれが交差長方形に接続されています。n角形のトーラス状プリズムは、 2 n 個の頂点、2 n個の面 ( n個の正方形とn 個の交差長方形)、および4 n個の辺を持ちます。位相的に自己双対です。
プリズム多面体は、プリズムを高次元に一般化したものです。n次元プリズム多面体は、2つの( n -1 )次元多面体を次の次元に平行移動して構成されます。
プリズム状のn多面体要素は、( n − 1 ) 多面体要素から倍増され、次に次の下位要素から新しい要素が作成されます。
面要素がF i iであるn次元多面体( i = 0, ..., n )を考えます。その ( n + 1 ) 次元多面体プリズムは、 2 F i + F i −1 iの面要素を持ちます。(ただし、F −1 = 0、F n = 1とします。)
寸法別：
Schläfli シンボル{ p , q ,..., t }で表される正n多面体は、 2 つの Schläfli シンボルのデカルト積{ p , q ,..., t }×{ } で表される均一な角柱 ( n + 1 ) 多面体を形成することができます。
寸法別：
、正方形、{ }×{ }、 2つの平行な線分、2つの線分の辺で接続されています。
高次の角柱状多面体は、 2つ以上の多面体の直積としても存在します。積多面体の次元は、その要素の次元の合計です。これらの最初の例は4次元空間に存在し、4次元空間における2つの多角形の積として、双角柱と呼ばれます。
正二角柱は、 { p }×{ q } と表され、 pq個の頂点、2 pq 個の辺、pq個の正方形の面、p 個のq角形の面、q個のp角形の面を持ち、p個のq角柱とq個のp角柱によって囲まれています。
例えば、4-4 デュオプリズムである{4}×{4} は、立方体である{4,3}×{ }と同様に、テセラクトの低対称形式です。{4}×{4}×{ } (4-4 デュオプリズム プリズム)、{4,3}×{4} (立方体-4 デュオプリズム)、および{4,3,3}×{ } (テセラクト プリズム) は、5 立方体の低対称形式です。
