歪んだアペイロヘドロン

幾何学において、歪んだアペイロヘドロンは、非平面の面または非平面の頂点図形で構成される無限の歪んだ多面体であり、閉じた表面を形成するために折り曲げることなく図形を無限に拡張することができます。

斜晶系アペイロヘドラは多面体スポンジとも呼ばれています。

多くは凸型均一ハニカムに直接関連しており、ハニカムの多角形表面からいくつかのセルが削除されています。特徴として、無限の歪んだ多面体は 3 次元空間を 2 つに分割します。半分が立体であると考えられる場合、その図形は部分ハニカムと呼ばれることがあります。

コクセターによれば、1926年にジョン・フリンダース・ペトリーは正歪多角形（非平面多角形）の概念を正歪多面体（アペイロヘドラ）に一般化した。^[1]

Coxeter と Petrie は、3 次元空間を埋める次の 3 つを発見しました。

{4,6}、{6,4}、{6,6} タイプのカイラルな歪んだアペイロヘドラも存在します。これらの歪んだアペイロヘドラは頂点推移、辺推移、面推移ですが、鏡面対称ではありません(Schulte 2004)。

ユークリッド3次元空間を超えて、1967年にCWLガーナーは双曲3次元空間における31個の正多面体の集合を発表しました。^[2]

1967年にJ・リチャード・ゴットは、コクセターの3つである{4,6}、{6,4}、{6,6}と、4つの新しい{5,5}、{4,5}、{3,8}、{3,10}を含む、7つの無限歪多面体のより大きなセットを正擬似多面体と名付けて発表した。^{[3] [4]}

ゴットは、新しい図形を可能にするために、規則性の定義を緩和しました。コクセターとペトリーは頂点が対称であることを要求しましたが、ゴットは頂点が合同であることのみを要求しました。したがって、ゴットの新しい例は、コクセターとペトリーの定義によれば規則的ではありません。

ゴットは、正多面体、正タイリング、正擬多面体の完全な集合を、各頂点の周囲に p 角形面、 qを持つ{p,q}シュレーフリ記号で表せる、正多面体一般化と呼んだ。しかし、「擬似多面体」という用語もゴットの正則性の定義も、広く使用されることはなかった。

結晶学者 AF Wells も 1960 年代に歪んだアペイロヘドラのリストを発表しました。Melinda Green は 1998 年にさらに多くのリストを発表しました。

角柱状の形には2 種類あります。

1. {4,5}: 頂点に 5 つの正方形 (立方体の穴で接続された2 つの平行な正方形のタイル)
2. {3,8}: 頂点に 8 つの三角形 (八面体の穴で接続された2 つの平行な三角形のタイリング)

{3,10}も三角形のタイルの平行な平面から形成され、両方向に交互に八面体の穴が開いています。

{5,5} は、頂点の周りの 3 つの共面五角形と、隙間を埋める 2 つの垂直五角形 で構成されます。

ゴットは、規則的な平面タイル張りには他の周期的な形式もあることを認めています。正方形のタイル張り{4,4} と三角形のタイル張り{3,6} はどちらも、3 次元空間で近似的に無限の円筒に曲げることができます。

彼はいくつかの定理を書いた:

1. すべての正多面体 {p,q} について: (p-2)*(q-2)<4。すべての正多面体について: (p-2)*(q-2)=4。すべての正擬似多面体について: (p-2)*(q-2)>4。
2. 任意の一般化多面体において、与えられた面を囲む面の数は p*(q-2) です。
3. すべての正擬似多面体は負の曲面に近似します。
4. 7 つの正擬似多面体は繰り返し構造です。

他にも多くの均一な（頂点推移的な）歪んだアペイロヘドラがあります。Wachmann、Burt、Kleinmann（1974）は多くの例を発見しましたが、そのリストが完全であるかどうかはわかっていません。

ここでいくつかを示します。これらは頂点の構成によって名前が付けられますが、これはスキュー形式に固有の指定ではありません。

その他は、多面体の拡張された連鎖として構築できます。

• ペトリー多角形
• 正多面体

• コクセター『正多面体』第3版（1973年）、ドーバー版、ISBN  0-486-61480-8
• 万華鏡：HSMコクセター選集、F.アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイヴィック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6 [2]  
  • (論文2) HSM Coxeter、「正規スポンジ、または斜め多面体」、Scripta Mathematica 6 (1939) 240-244。
• John H. Conway、Heidi Burgiel、Chaim Goodman-Strauss、(2008) The Symmetries of Things、ISBN 978-1-56881-220-5 (第 23 章、主要な対称性を持つオブジェクト、擬似プラトン多面体、p340-344) 
• シュルテ、エゴン (2004)、「通常空間におけるキラル多面体。I」、離散および計算幾何学、32 (1): 55–99、doi : 10.1007/s00454-004-0843-x、MR  2060817[3] 2016年3月4日にWayback Machineにアーカイブ
• AFウェルズ、3次元ネットと多面体、Wiley、1977年。[4]
• A. Wachmann、M. Burt、M. Kleinmann、「Infinite polyhedra」、Technion、1974年。第2版。2005年。
• E. シュルテ、JM ウィルズ「コクセターの正則歪多面体について」、離散数学、第 60 巻、1986 年 6 月～7 月、253～262 ページ

• Weisstein、Eric W.「Regular Skew Polyhedron」。MathWorld。
• Weisstein、Eric W.「ハニカムとスポンジ」。MathWorld。
• Olshevsky, George. 「Skew polytope」。Hyperspace の用語集。2007 年 2 月 4 日時点のオリジナルよりアーカイブ。
• 「双曲面」タイル張り
• 無限正多面体 [5] 2016-03-12にWayback Machineでアーカイブ
• 無限に繰り返される多面体 - 3次元空間の部分的なハニカム
• 18 多面体と多面体の対称性、エゴン・シュルテ：18.3 正多面体
• 無限多面体、TE ドロジンスキー