四半六面体

幾何学において、四半六面体または半立方八面体は、U _{4でインデックスされる}均一な星型多面体です。7つの面（4つの三角形と3つの正方形）、12の辺、6つの頂点を持ちます。 ^[1]その頂点図形は交差した四辺形です。そのコクセター・ディンキン図は（ただし、これは四半六面体の二重被覆です）。

四半六面体は、奇数の面を持つ唯一の非柱状均一多面体です。そのウィトフ記号は3/2 3 | 2ですが、これは四半六面体を 8 つの三角形と 6 つの正方形で二重に覆い、それらが対になって空間的に一致することを表しています。(より直感的には、一致する 2 つの四半六面体として見ることができます。)

テトラヘミヘキサヘドロン ( tetrahemihexahedron) は半多面体です。名前の「ヘミ」は、いくつかの面が正多面体の半分の数の要素を持つグループを形成することを意味します。ここでは、3 つの正方形の面が、正六面体 (立方体としてよく知られています) の半分の数の面を持つグループを形成します。そのため、ヘミヘキサヘドロンと呼ばれます。半面も、正多面体の面と同じ方向に向いています。テトラヘミヘキサヘドロン (tetrahemihexahedron) の 3 つの正方形の面は、立方体の 3 つの面の向きと同様に、互いに垂直です。

「半分の数」という特性は、半面が多面体の中心を通過し、そこですべてが交差する必要があることも意味します。視覚的には、各正方形は 4 つの直角三角形に分割され、各辺から 2 つずつ見えます。

四半六面体は向き付け不可能な面である。これはオイラー特性が1である唯一の均一な多面体として独特であり、したがって射影多面体であり、ローマ曲面に非常によく似た実射影平面^[2]の表現をもたらす。

四半六面体は、正八面体と同じ頂点と辺を持ちます。また、正八面体の 8 つの三角形の面のうち 4 つを共有しますが、多面体の中心を通る 3 つの正方形の面が追加されます。

四半六面体の双対図形は四半六面体である。

四半六面体は立方八面体によって2被覆されており^[2]、したがって立方八面体は同じ抽象的な頂点図（2つの三角形と2つの正方形：3.4.3.4）を持ち、頂点、辺、面が2倍になります。これは抽象的な多面体である半立方八面体と同じ位相を持ちます。

四半六面体は交差した三角形のカップロイドとして構成することもできる。すべてのカップロイドとその双対は位相的に射影的な平面である。^[3]

テトラヘミヘキサクロンはテトラヘミヘキサヘドロン (四半六面体) の双対であり、9 つの双対半多面体のうちの 1 つです。

半多面体は中心を通る面を持っているので、双対図形は 対応する頂点を無限遠に持つ。正確には、実無限遠射影平面上にある。 ^[4]マグナス・ヴェニンガーの双対モデルでは、対称性を保つために、交差するプリズムで表現され、それぞれが両方向に同じ無限遠頂点まで伸びている。実際には、モデルのプリズムは作成者に都合の良い特定の点で切断される。ヴェニンガーは、これらの図形が無限遠への星状化と呼ばれる新しい種類の星状図形のメンバーであると示唆した。しかし、彼はまた、その構成が通常の定義に従っていないため、厳密に言えば多面体ではないとも示唆した。

位相的には、テトラヘミヘキサクロンは 7 つの頂点を含むと考えられています。無限遠 (無限遠の実射影平面)にあると考えられる 3 つの頂点は、抽象的な多面体である半八面体の 3 つの頂点に方向的に対応しています。他の 4 つの頂点は、中央の立方体 (半立方体、この場合は四面体) の交互の角に存在します。

• Weisstein, Eric W.、「Tetrahemihexahedron」（「均一多面体」）（MathWorld）
• 均一多面体と双対
• 紙模型