等深線図

幾何学では、多面体(多角形や多面体など) またはタイリングは、その対称性がエッジに対して推移的に作用する場合、等軸(ギリシャ語の τόξον  「円弧」に由来) またはエッジ推移的であるといいます。非公式には、これはオブジェクトに 1 種類のエッジしかないことを意味します。つまり、2 つのエッジがある場合、平行移動、回転、および/または反射によって、オブジェクトが占める領域を変更せずに、一方のエッジをもう一方のエッジに移動する操作が存在します。

等倍多角形は、辺が偶数、つまり正多角形ですが、すべての正多角形が等倍であるわけではありません。等倍多角形の双対は等角多角形です。等角多角形は中心対称であるため、等角多角形でもあります。 ${\displaystyle 4n}$

一般に、（非正則）等角形 -角形は二面対称性を持ちます。たとえば、（非正方形）菱形は対称性を持つ等角形の「× - 角形」（四辺形）です。すべての正則- 角形（奇数も含む）は等角形であり、最小対称順序の 2 倍を持ちます。つまり、正則- 角形は二面対称性を持ちます。 ${\displaystyle 2n}$${\displaystyle \mathrm {D} _{n},(^{*}nn)}$ ${\displaystyle 2}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle \mathrm {D} _{2},(^{*}22)}$${\displaystyle {\color {royalblue}n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathrm {D} _{n},(^{*}nn)}$

外側の内角を持つ等角多角形は、 で表すことができます。内側の内角は、それぞれ凸多角形または凹多角形 よりも小さくなったり大きくなったりすることがあります。${\displaystyle {\mathbf {2}}n}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \{n_{\alpha }\}.}$${\displaystyle (\beta )}$${\displaystyle 180}$${\displaystyle {\color {royalblue}^{\mathsf {o}}},}$

星形角形は${\displaystyle {\color {royalblue}{\mathbf {2}}n}}$等角形とも呼ばれ、と最大公約数で表され、 は回転数または密度である。^[1]凹面の頂点は で定義できる。の場合、 は回転したコピーの合成物に「縮小」される。${\displaystyle \{(n/q)_{\alpha }\},}$${\displaystyle q\leq n-1}$ ${\displaystyle \gcd(n,q)=1,}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q<n/2.}$${\displaystyle D=\gcd(n,q)\geq 2,}$${\displaystyle \{(n/q)_{\alpha }\}=\{(Dm/Dp)_{\alpha }\}}$${\displaystyle D\{(m/p)_{\alpha }\}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \{(m/p)_{\alpha }\}.}$

注意：

の頂点は必ずしも の頂点のように配置されるわけではないが、正則 の頂点は正則 の頂点のように配置される。${\displaystyle \{(n/q)_{\alpha }\}}$${\displaystyle \{n_{\alpha }\},}$${\displaystyle \{n/q\}}$${\displaystyle \{n\}.}$

一連の「均一な」タイリング、つまり等角多角形を通常の面よりも対称性の低い面として使用する 等角タイリングを定義できます。

正多面体は、等面体（面遷移）、等角体（頂点遷移）、等軸体（辺遷移）です。

準正多面体、例えば立方八面体や二十二十十二面体は等角で等軸だが、等面体ではない。それらの双対多面体、例えば菱形十二面体や菱形三十面体は等面体で等軸だが、等角ではない。

正多角形から構成される多面体や 2 次元のモザイク構造のすべてが等軸であるわけではありません。たとえば、切頂二十面体(おなじみのサッカーボール) は等軸ではありません。六角形-六角形と六角形-五角形の 2 種類のエッジがあり、立体の対称性によって六角形-六角形のエッジを六角形-五角形のエッジに移動させることはできません。

等角多面体は、すべての辺の二面角が同じです。

凸多面体の双対もまた凸多面体である。^[2]

非凸多面体の双対もまた非凸多面体である。^[2]（対置により）

等軸多面体の双対も等軸多面体です。(双対多面体の記事を参照してください。)

凸等軸多面体は9 つあります。5 つの (正)プラトン立体、2 つの (準正) 双対プラトン立体の共通核、およびそれらの 2 つの双対です。

非凸等軸多面体は 14 個あります。4 つの (正多面体)ケプラー・ポアンソ多面体、2 つの (準正多面体) 双対ケプラー・ポアンソ多面体の共通核とそれらの 2 つの双対、さらに 3 つの準正多角形 (3 | pq ) 星型多面体とそれらの 3 つの双対です。

少なくとも 5 つの同軸多面体化合物、すなわち 5 つの正多面体化合物があり、それらの 5 つの双対もまた 5 つの正多面体化合物 (または 1 つのキラル双対) です。

ユークリッド平面には少なくとも 5 つの等倍多角形タイリングがあり、双曲平面には、正規双曲タイリング{ p、q } からの Wythoff 構成や非直角 ( pqr ) グループなど、無数の等倍多角形タイリングがあります。

• 多面体の二面角の表
• 頂点推移
• フェイス推移
• 細胞遷移

• ピーター・R・クロムウェル『多面体』、ケンブリッジ大学出版局、1997年、ISBN 0-521-55432-2、推移性、371ページ 
• グリュンバウム、ブランコ、シェパード、GC（1987）。タイルとパターン。ニューヨーク：WHフリーマン。ISBN 0-7167-1193-1。（6.4 等尺タイル、309～321ページ）
• コクセター、ハロルド・スコット・マクドナルド、ロンゲット・ヒギンズ、MS、ミラー、JCP (1954)、「均一多面体」、ロンドン王立協会哲学論文集。シリーズ A。数学および物理科学、246 (916): 401–450、Bibcode :1954RSPTA.246..401C、doi :10.1098/rsta.1954.0003、ISSN  0080-4614、JSTOR  91532、MR  0062446、S2CID  202575183