頂点構成

幾何学において、頂点配置^{[1] [2] [3] [4]は、}多面体またはタイリングの頂点図形^{[疑わしい-議論が必要]を}頂点の周りの面の列として 表すための省略記法です。一様多面体の場合、頂点の種類は 1 つだけなので、頂点配置によって多面体が完全に定義されます。(キラル多面体は、同じ頂点配置を持つ鏡像のペアで存在します。)

頂点の構成は、頂点の周囲にある面の辺の数を表す一連の数字として表されます。表記法「abc 」は、周囲にa、b、c の辺を持つ 3 つの面がある頂点を表します。

たとえば、「3.5.3.5 」は、三角形と五角形が交互に並ぶ 4 つの面に属する頂点を示します。この頂点構成は、頂点推移的な 20 面体を定義します。表記は循環的であるため、開始点が異なっていても同等であり、3.5.3.5は5.3.5.3と同じです。順序が重要であるため、3.3.5.5 は3.5.3.5とは異なります(最初のものは 2 つの三角形の後に 2 つの五角形が続きます)。繰り返される要素は指数としてまとめることができるため、この例は(3.5) ₂としても表されます。

これは頂点記述、^{[5] [6] [7]} 頂点型、^{[8] [9]} 頂点記号、^{[10] [11]} 頂点配置、^[12] 頂点パターン、^[13] 面ベクトルなど様々な名前で呼ばれてきた。^[14]また、 1952年に出版された著書『数学モデル』でアルキメデスの立体に使用されたことから、カンディとロレットの記号とも呼ばれる。^{[15] [16] [17]}

頂点構成は、頂点の周囲の面を示す多角形の 頂点図として表現することもできます。多面体の場合、面は同じ平面上にないため、この頂点図は3 次元構造を持ちますが、頂点が均一な多面体の場合、隣接するすべての頂点は同じ平面上にあるため、この平面投影を使用して頂点構成を視覚的に表現できます。

さまざまな表記法が使用され、区切り文字としてコンマ (,) が使用される場合もあれば、ピリオド (.) が使用される場合もあります。ピリオド演算子は積のように見えるため便利で、指数表記を使用できます。たとえば、3.5.3.5 は (3.5) ²と表記される場合もあります。

この表記法は、正多面体を表す単純なシュレーフリ記号の拡張形と考えることもできます。シュレーフリ表記法 { p , q } は、各頂点の周りにq 個のp角形があることを意味します。したがって、 { p , q } はppp.. ( q回) またはp ^qと表記できます。たとえば、二十面体は {3,5} = 3.3.3.3.3 つまり 3 ⁵です。

この表記は、多面体だけでなく多角形のタイリングにも適用されます。平面の頂点構成は均一なタイリングを表し、非平面の頂点構成は均一な多面体を表します。

キラル形式の場合、表記は曖昧です。たとえば、スナブ キューブには時計回りと反時計回りの形式があり、これらは鏡像で同一です。どちらも 3.3.3.3.4 の頂点構成です。

この表記法は、非凸正多角形、つまり星型多角形にも適用されます。たとえば、五芒星には記号 {5/2} が付きます。これは、中心を 2 回周回する 5 つの辺があることを意味します。

たとえば、正多角形または星型多角形の頂点図形を持つ 4 つの正星型多面体があります。小さな星型十二面体は、シュレーフリ記号{5/2,5} を持ち、明示的な頂点配置 5/2.5/2.5/2.5/2.5/2 に展開されるか、または (5/2) ⁵として組み合わせられます。大きな星型十二面体{5/2,3} は、三角形の頂点図形と配置 (5/2.5/2.5/2) または (5/2) ^{3 を}持ちます。大きな十二面体{5,5/2} は、頂点配置が(5.5.5.5.5)/2 または (5 ⁵ )/2である五芒星型の頂点図形を持ちます。大二十面体{3,5/2}も五芒星の頂点図形を持ち、頂点配置は(3.3.3.3.3)/2または(3 ⁵ )/2です。

頂点図形の面は、一方向に進むとみなされます。一様多面体の中には、面が逆方向に進行する反転頂点図形を持つものがあります。頂点図形は、これをp <2 qとなる辺p/qの星型多角形表記で表します。ここで、pは辺の数、q は円周の数です。たとえば、「3/2」は、頂点が 2 周する三角形、つまり 1 周逆の場合と同じことを意味します。同様に、「5/3」は 5/2 の逆五角形です。

半正多面体は正の角度欠陥を持つ頂点構成を持ちます。

注: 頂点図形は、欠陥がゼロの場合、平面上の規則的または半規則的なタイリングを表すことができます。欠陥が負の場合、双曲面のタイリングを表すことができます。

均一な多面体の場合、角度の欠陥を使用して頂点の数を計算できます。デカルトの定理によれば、位相球面内のすべての角度の欠陥の合計は 4 π ラジアン、つまり 720 度になる必要があります。

一様多面体は頂点がすべて同一であるため、この関係により頂点の数を計算することができ、これは 4 π /欠陥または 720 /欠陥となります。

例:切頂立方体3.8.8 には 30 度の角度欠陥があります。したがって、頂点の数は 720/30 = 24になります。

特に、{ a , b }には4 / (2 - b (1 - 2/ a ))個の頂点があることがわかります。

列挙された頂点の構成はすべて、潜在的に半正多面体を一意に定義します。ただし、すべての構成が可能であるわけではありません。

位相的な要件により存在が制限されます。具体的には、pqr はp角形がq角形とr角形に交互に囲まれていることを意味し、したがってp は偶数であるかqが r に等しいかのいずれかです。同様に、 q は偶数であるかp がrに等しいか、r は偶数であるかp がqに等しいです。したがって、可能性のある三つ組は 3.3.3、3.4.4、3.6.6、3.8.8、3.10.10、3.12.12、4.4. n ( n >2の場合)、4.6.6、4.6.8、4.6.10、4.6.12、4.8.8、5.5.5、5.6.6、6.6.6 です。実際、各頂点で 3 つの面が交わるこれらの構成はすべて存在します。

括弧内の数字は、角度の欠陥によって決まる頂点の数です。

トリプル

• プラトン立体3.3.3 (4), 4.4.4 (8), 5.5.5 (20)
• プリズム3.4.4 (6), 4.4.4 (8; 上記にも記載), 4.4. n (2 n )
• アルキメデスの立体3.6.6（12）、3.8.8（24）、3.10.10（60 ）、 4.6.6（24）、4.6.8（48）、4.6.10（120）、5.6.6（60）。
• 通常のタイリング6.6.6
• 半規則的なタイリング3.12.12、4.6.12、4.8.8

4人制

• プラトン立体3.3.3.3 (6)
• 反プリズム3.3.3.3 (6; 上記にも記載)、3.3.3. n (2 n )
• アルキメデスの立体3.4.3.4 (12), 3.5.3.5 (30), 3.4.4.4 (24), 3.4.5.4 (60)
• 通常のタイリング4.4.4.4
• 半規則的なタイリング3.6.3.6 , 3.4.6.4

五つ子

• プラトン立体3.3.3.3.3 (12)
• アルキメデス立体3.3.3.3.4 (24), 3.3.3.3.5 (60) (両方ともキラル)
• 半規則的なタイリング3.3.3.3.6 (キラル)、3.3.3.4.4、3.3.4.3.4 (同じ数字の異なる順序により、2 つの異なるパターンが生成されることに注意)

六つ子

• 通常のタイリング3.3.3.3.3.3

双錐体や台形などの均一な双対立体またはカタラン立体は垂直方向に規則的（面推移的）であるため、面構成と呼ばれることもある同様の表記法で識別できます。^[3]カンディとロレットは、これらの双対記号の前にV を付けました。対照的に、タイリングとパターンでは、等面体タイリングの記号を角括弧で囲んでいます。

この表記法は、面の周りの各頂点に存在する面の数を順番に数えることを表します。^[18]たとえば、V3.4.3.4またはV(3.4) ^{2は、面推移的な}菱形十二面体を表します。つまり、すべての面は菱形であり、菱形の交互の頂点にはそれぞれ3つまたは4つの面が含まれます。

• Cundy, H.および Rollett, A., Mathematical Models (1952)、(第 3 版、1989 年、Stradbroke、イギリス: Tarquin Pub.)、3.7 The Archimedean Polyhedra。101 ～ 115 ページ、118 ～ 119 ページ 表 I、Archimedean Duals のネット、V。a . b . c ...を垂直方向に規則的なシンボルとして。
• ピーター・クロムウェル『多面体』ケンブリッジ大学出版局（1977年）『アルキメデスの立体』156～167ページ。
• ウィリアムズ、ロバート(1979)。自然構造の幾何学的基礎: デザインのソースブック。Dover Publications、Inc. ISBN 0-486-23729-X。Cundy-Rollett 記号を使用します。
• グリュンバウム、ブランコ、シェパード、GC（1987）。タイルとパターン。WHフリーマンアンドカンパニー。ISBN 0-7167-1193-1。Pp. 58–64、正多角形 abc のタイリング... (正多角形と星型多角形によるタイリング) pp. 95–97、176、283、614–620、単面体のタイリング記号 [v ₁ .v ₂ . ... .v _r ]。pp. 632–642 中空タイリング。
• The Symmetries of Things 2008、John H. Conway、Heidi Burgiel、Chaim Goodman-Strauss、ISBN 978-1-56881-220-5 (p. 289 頂点図、アルキメデスの立体とタイリングにコンマ区切りを使用)。 

• 一貫性のある頂点記述Stella (ソフトウェア)、Robert Webb