凸多面体（書籍）

『凸多面体』は、ソ連の数学者アレクサンドル・ダニロヴィチ・アレクサンドロフによって書かれた凸多面体の数学に関する本で、元々はВыпуклые многогранникиというタイトルで 1950 年にロシア語で出版されました。 ^{[1] [2]} 1958 年にWilhelm SüssによってKonvexe Polyederとしてドイツ語に翻訳されました。 ^[3]ヌルラン S. ダイルベコフ、セミーン サムソノヴィッチ クタテラゼ、アレクセイ B. ソシンスキーによって英語に翻訳され、ヴィクターによる資料が追加された更新版ザルガラー、LAショール、ユウ。 A. Volkov は、2005 年に Springer-Verlag からConvex Polyhedraとして出版されました^{[4] [5] [6]}

この本の主な焦点は、合同や相似などのいくつかの幾何学的変換に至るまで、3次元凸多面体の形状を一意に決定する幾何学的データの仕様です。^{[1] [4] [6]}この本では、有界多面体（有限の点の集合の凸包）と無界多面体（有限個の半空間の交差）の両方を考慮しています。^[1]

この本の 1950 年のロシア語版は 11 章から構成されていました。第 1 章では、多面体の基本的な位相的性質、球体との位相的等価性 (有界の場合) やオイラーの多面体公式について説明しています。多面体の辺に正負の符号を付けて各頂点で少なくとも 4 回の符号変更を行うことが不可能であるというオーギュスタン・コーシーの補題^[1]に続いて、第 2 章の残りの部分では、残りの本の内容を概説しています。^[4]第 3 章と第 4 章では、アレクサンドロフの一意性定理を証明し、多面体の表面形状は、正の角度誤差の有限集合の点を除いてユークリッド平面のように局所的に位相的に球面である計量空間とまったく同じであると特徴付け、全角度誤差に関するデカルトの定理に従って、全角度誤差は でなければならないとしています。第5章では、球面ではなく位相的に円盤である、同様に定義された距離空間を検討し、その結果生じる柔軟な多面体表面を研究する。^[1]${\displaystyle 4\pi }$

本書の第 6 章から第 8 章は、ヘルマン・ミンコフスキーの定理、すなわち凸多面体はその面の面積と方向によって一意に決定されるという定理と、定義域の不変性に基づく新しい証明に関連しています。^[1]この定理の一般化は、面の周囲と方向にも同じことが当てはまることを意味します。^[5]第 9 章は、多面体の頂点が視点を通る光線上にあるように制約することにより、2 次元の透視図から 3 次元の多面体を再構築することに関するものです。本書のオリジナルのロシア語版は、平坦な面を持つ多面体は剛性構造を形成するというコーシーの定理に関連する 10 章と 11 章の 2 つの章で終わります。これは、マックス・デーンによるコーシーの剛性定理に類似して展開された、多面体の剛性と無限小剛性の違いについて説明しています。^{[1] [4]}

2005 年の英語版では、1950 年版では未解決とされていたものの、その後解決された多くの問題に関するコメントと書誌情報が追加されています。また、補足資料の章には、ヴォルコフとショアによる 3 つの関連論文の翻訳が含まれており、^[4]その中には、アレクサンドロフの一意性定理を非多面体凸面に一般化するポゴレロフの定理の簡略化された証明が含まれています。^[5]

ロバート・コネリーは、凸多面体理論の重要な発展を記述した作品であるにもかかわらず、西洋では入手が困難であったため、Convex Polyhedraの英訳がずっと遅れていたと書いている。彼は、アレクサンドロフの一意性定理に関する資料を「この本のスター結果」と呼び、この本が「数え切れないほどのロシアの数学者に大きな影響を与えた」と書いている。しかし、彼はこの本の演習問題の数が少ないこと、重要で基本的な結果と専門的技術を区別できない一貫性のないレベルのプレゼンテーションについて不満を述べている。^[5]

凸多面体は幅広い数学者を対象としているが、位相幾何学、微分幾何学、線型代数などの題材について相当な背景知識があることを前提としている。^[6] 評論家のヴァシル・ゴルカヴィは、凸多面体の数学の入門書として、学生や数学のプロに凸多面体を推奨している。また、彼は、初版から50年以上が経過した現在でも、多くの新しい展開を盛り込み、この分野の新しい未解決問題を列挙するなど改訂された後も、「専門家にとって依然として大きな関心事であり続けている」と書いている。^[4]

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