Cube

A cube is a three-dimensional solid object in geometry. It has eight vertices and twelve straight edges of the same length, so that these edges form six square faces of the same size. It is an example of a polyhedron. It is a special case of a cuboid, a parallelepiped, and a rhombohedron in which all six quadrilateral faces are squares. It is a three-dimensional hypercube, a family of polytopes that also includes the two-dimensional square and four-dimensional tesseract.

The cube is found in many popular cultures, including toys and games, the arts, optical illusions, and architectural buildings. Cubes can be found in crystal structures, science, and technological devices. It is also found in ancient texts, such as Plato's work Timaeus, which described a set of solids now called Platonic solids, associating a cube with the classical element of earth. A cube with unit length is the canonical unit of volume in three-dimensional space, relative to which other solid objects are measured.

The cube can be represented in many ways. One of them is by drawing a graph with vertices connected with an edge in a plane. Such a graph is called the cubical graph, a special case of the hypercube graph.

The cube is the core of many polyhedra's construction or other geometrical shapes. For example, truncating a cube's vertices results in a truncated cube. Joining one or more cubes face-to-face yields a polycube, a three-dimensional version of polyominoes. Two or more cubes can have the same centre, forming polyhedral compounds. Cubes can form a honeycomb by attaching face-to-face, filling a space without leaving a gap.

Properties

3Dでモデリングされた立方体で、クリックしてドラッグすると回転します。 — 3D model of a cube

立方体は、8つの頂点と12本の等しい長さの辺を持つ多面体であり、6つの正方形を面として形成します。立方体は、6つの長方形の面を持ち、それぞれの面が互いに反対側に位置する等しい長さの平行な辺のペアを持つ直方体の特殊な場合です。 ^[¹^]どちらの多面体も同じ二面角、つまり共通の辺にある隣接する2つの面の間の角度、直角または90°を持ちます。これは、正方形の内角（多角形の共通点にある隣接する2つの辺の間に形成される角度）から得られます。^[²^]^[³^]より一般的には、立方体と直方体は、6つの四角形（4辺の多角形）を持つ多面体である直方体の特殊な場合です。[ ⁴^]^すべての凸多面体と同様に、立方体のオイラー標数は2であり、次の式で表されます。 $V-E+F=2$ 3つの文字はそれぞれ頂点、辺、面の数を表します。^{[ 5 ]}

頂点を囲む 3 つの正方形の面はすべて互いに直交しており、つまり平面は垂直で、隣接する 2 つの正方形の間に直角を形成しています。したがって、立方体は直交多面体として分類されます。^{[ 6 ]}立方体は他の直方体の特殊なケースです。これには、対向する面のペアが合同であるため、6つの平行四辺形の面を持つ多面体である平行六面体、 ^{[ 7 ]}すべての面の内角が直角であるため、 6 つの菱形の面を持つ平行六面体の特殊なケースである菱面体、 ^[⁸^]正方形の面が菱形の特殊なケースであるため、合同な四角形の面を持つ多面体である三角台形面体が含まれます。^[⁹^]

立方体は非複合多面体または基本多面体である。つまり、その表面を辺に沿ってのみ交差する平面はなく、それによって2つ以上の凸で正多面体に分割されることはない。^{[ 10 ]}

測定

{\displaystyle AC} — 面の対角線は次のように表されます。 $AC$ そして空間対角線は $AC'$

辺の長さがの立方体が与えられた場合 $a$ 立方体の面の対角線は正方形の対角線である $a{\sqrt {2}}$ 、そして立方体の空間対角線は、同じ面にない2つの頂点を結ぶ線であり、次のように定式化される。 $a{\sqrt {3}}$ どちらの式もピタゴラスの定理を用いて求めることができます。立方体の表面積 $A$ 正方形の面積の6倍です: ^{[ 11 ]} $A=6a^{2}.$ 直方体の体積は、長さ、幅、高さを掛け合わせることで計算されます。立方体のすべての辺の長さは等しいので、立方体の体積の公式は辺の長さの 3 乗です。^{[ 11 ]}このことから、「立方」という用語は動詞として使用され、任意の数を 3 乗することを意味します。^{[ 4 ]} $V=a^{3}.$

立方体には、3種類の閉じた測地線、つまり立方体の表面上で局所的に直線となる経路があります。言い換えれば、それらは頂点を避け、交差する面を横切る線分に沿って進み、交差する各辺の2つの面に対して相補的な角度を形成します。1つの配置は立方体の面に平行な平面上にあり、その面に合同な正方形を形成し、辺の長さは立方体の辺の長さの4倍です。もう1つのタイプは長い対角線に垂直な平面上にあり、正六角形を形成します。その長さは $3√2$ 辺の倍数である。3番目のタイプは非平面六角形である。^{[ 12 ]}

立方体の内球 $\displaystyle r_{i}}$ は、立方体の各面の重心で接する球です。その中心球は $\displaystyle r_m}}$ は立方体の辺に接する球です。その外接球 $\displaystyle r_c}}$ は立方体の頂点に接する球です。辺の長さは $a$ それぞれ次の通りです。^{[ 13 ]} $r_{i}={\frac {1}{2}}a=0.5a,\qquad r_{m}={\frac {\sqrt {2}}{2}}a\approx 0.707a,\qquad r_{c}={\frac {\sqrt {3}}{2}}a\approx 0.866a.$

単位立方体

単位立方体とは、各辺の長さが 1 単位の立方体です。したがって、各面は単位正方形であり、全体の体積は 1 立方単位となります。^{[ 14 ]}^{[ 15 ]}ラインのルパート王子は、ルパート王子のドロップで知られていますが、同じサイズの別の立方体に開けられた穴を立方体が通過できるかどうか賭けました。1693 年にイギリスの数学者ジョン・ウォリスが語った話では、ウォリスの説明にはいくつかの誤りがあったものの、可能だと答えています。約 1 世紀後、オランダの数学者ピーテル・ニューラントは、単位立方体の穴を通過する立方体の辺の長さが約 1.06 単位までになる可能性があるというより良い解決策を提供しました。^{[ 16 ]}^{[ 17 ]}この結果を得る 1 つの方法は、ピタゴラスの定理または3 次元空間におけるユークリッド距離の公式を使用することです。 ^{[ 18 ]}

立方体の倍増問題とは、コンパスと定規のみを使用して、元の立方体の2倍の体積を持つ立方体を作るという古代の問題である。これは、1837年にフランスの数学者ピエール・ワンツェルによって結論付けられ、元の立方体の2倍の体積を持つ立方体（ 2の立方根）は実現不可能であることを証明した。 $\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ —は構築不可能である。^{[ 19 ]}しかし、この問題はMesser (1986)によって折り紙用紙を折ることで解決された。^[²⁰^]

対称

立方体は正八面体対称性を持つ $\mathrm {O} _{\mathrm {h} }$ 48 次です。言い換えると、立方体には 48 の等長変換(恒等変換を含む) があり、それぞれが立方体をそれ自身に変換します。これらの変換には、9 つの鏡映対称(平面で切断された 2 つの半分が同一である) が含まれます。3 つは立方体の辺の中点で切断され、6 つは対角線で切断されます。立方体には、13 の回転対称軸(軸を中心とした回転によって同一の外観になる) もあります。3 つの軸は反対側の面の重心を通り、6 つは反対側の辺の中点を通り、4 つは反対側の頂点を通ります。これらの軸はそれぞれ、4 回回転対称 (0°、90°、180°、および 270°)、2 回回転対称 (0° および 180°)、および 3 回回転対称 (0°、120°、および 240°) です。^{[ 21 ]}^{[ 22 ]}^{[ 23 ]}^{[ 24 ]}

双対多面体は、平面に接する各多面体の頂点から、極相互変換と呼ばれるプロセスによって得ることができます。^{[ 25 ]}双対多面体の性質の1つは、多面体とその双対が3次元対称点群を共有することです。この場合、立方体の双対多面体は正八面体であり、これらの多面体は両方とも同じ八面体対称性を持っています。^{[ 26 ]}

立方体は面推移的であり、2 つの正方形の面は同じで、回転と鏡映によって写像できます。^{[ 27 ]}また、頂点推移的であり、すべての頂点は等価で、対称性の下で等長的に写像できます。 ^{[ 28 ]}さらに、辺推移的であり、同じ種類の面が各頂点を同じ順序または逆の順序で囲み、隣接する面の各ペアが同じ二面角を持ちます。したがって、立方体は正多面体です。^{[ 29 ]}各頂点は 3 つの正方形に囲まれているため、立方体は $4.4.4$ 頂点構成または $\{4,3\}$ Schläfli シンボルによる。^{[ 30 ]}

出演

大衆文化において

左上から時計回りに：六面体のサイコロ、完成したスキューブ、アラモの彫刻、立方体の形に剪定された木々。

キューブは、大衆文化においてさまざまな役割で登場しています。最も一般的なサイコロの形です。^{[ 27 ]}ソーマキューブのピース、^{[ 31 ]}ルービックキューブ、スキューブなどのパズル玩具はキューブでできています。^{[ 32 ]}マインクラフトは、立方体のブロックのサンドボックスビデオゲームの一例です。^{[ 33 ]}屋外彫刻のアラモ（1967年）は、垂直軸を中心に回転するキューブです。^{[ 34 ]}不可能キューブやネッカーキューブなどの錯視は、 MCエッシャーなどのアーティストによって探求されてきました。^[³⁵^]キューブは、アルベルティのルネサンス建築に関する論文、De re aedificatoria（1450年）で応用されました。^[³⁶^]オランダのキューブハウスは、六角形の空間の対角線がメインフロアとなる立方体の家々の集合体です。 ^[³⁷^]木は剪定して立方体の形にすることができ、生きた彫刻となる。^[³⁸^]

自然と科学において

単純立方結晶構造

食卓塩の立方体結晶

キューバンの球棒モデル

立方体は、自然科学や技術のさまざまな分野でも見られます。立方体結晶系として知られる結晶の単位格子に適用されます。^[³⁹^]食塩は、一般的に立方体の形状をしている鉱物の例です。^[⁴⁰^]他の例としては、黄鉄鉱（多くの変種がありますが）^[⁴¹^]や、核プログラムで使用されている立方体形状のウランがあります。 ^[⁴²^]エルンスト・ヘッケルによって発見された放散虫Lithocubus geometricusは、立方体の形状をしています。^[⁴³^]キュバンは、立方体の角に配置された8 つの炭素原子からなり、各炭素原子に 1 つの水素原子が結合した合成炭化水素です。^[⁴⁴^]

相対性理論、重力、量子力学の３つの物理学の概念を統一しようとする歴史的な試みでは、cGhキューブとして知られる立方体の枠組みが用いられた。^{[ 45 ]}

ノルウェーのキューブサット

コーナーリフレクターが2本の光線を光源に戻す

^{技術的な立方体には、}宇宙船装置のCubeSat ^{[ 46 ]} 、熱放射実証装置のLeslie Cube [ ⁴⁷^]、WebサーバーマシンCobalt Qube ^[⁴⁸^]などがあります。立方体グリッドは、3次元直交座標系でよく見られます。^[⁴⁹^]コンピュータグラフィックスでは、アルゴリズムによって入力ボリュームが等値面上のユニットと呼ばれる離散的な立方体のセットに分割され^[⁵⁰^]、立方体の面は形状のマッピングに使用できます。^[⁵¹^]交通標識やレーダーなど、さまざまな工学分野では、立方体の角がコーナーリフレクターと呼ばれる再帰反射器として役立ち、あらゆる光線や波をその発生源に反射します。^[⁵²^]

古代において

ヨハネス・ケプラーによる立方体のスケッチ

ケプラーによる太陽系のプラトン立体モデル

プラトン立体は、古代から知られている5つの多面体です。この集合は、対話篇『ティマイオス』の中でこれらの立体を自然に帰属させたプラトンにちなんで名付けられました。そのうちの1つである立方体は、地球の基礎を構成する要素であることから、古典的な要素である地球を表していました。^[⁵³^]ユークリッドの『原論』では、立方体を含むプラトン立体が定義され、外接球の直径と辺の長さの比を求める方法が示されました。^[⁵⁴^]

プラトンが正多面体を自然の象徴として用いたことに倣い、ヨハネス・ケプラーは『世界の調和』の中でプラトン立体をそれぞれスケッチし、立方体の側面に木を描いた。^{[ 55 ]}ケプラーは『宇宙の神秘』の中で、太陽系の構造と惑星間の関係を、球体で内接および外接されたプラトン立体の集合を用いて提案した。球体で囲まれた各立体は、互いに内接し、既知の6つの惑星（水星、金星、地球、火星、木星、土星）に対応する6つの層を形成する。最も内側から最も外側に向かって、これらの立体は正八面体、続いて正二十面体、正十二面体、正四面体、そして最終的に立方体へと配置された。 ^{[ 56 ]}

建設

立方体には 11 種類の異なる展開図があり、それぞれが辺でつながった正方形の配置で構成されています。正方形間の各境界を直角に折り曲げると、正方形は立方体の面になります。^{[ 57 ]}^{[ 58 ]}

解析幾何学では、立方体はデカルト座標系を用いて構成できます。原点を中心とし、辺が軸に平行で、辺の長さが2の立方体の場合、頂点のデカルト座標は次のようになります。 $(\pm 1,\pm 1,\pm 1)$ [ ⁵⁹^{]その内部はすべて}^の点から構成される $(x_{0},x_{1},x_{2})$ と $-1<x_{i}<1$ すべての人々のために $i$ 中心が $(x_{0},y_{0},z_{0})$ そして辺の長さは $2a$ すべての点の軌跡 $(x,y,z)$ そのため $\max\{|x-x_{0}|,|y-y_{0}|,|z-z_{0}|\}=a.$

立方体はハナー多面体である。なぜなら、3つの線分のデカルト積を用いて構成できるからである。その双対多面体である正八面体は、 3つの線分の直和によって構成される。 ^{[ 60 ]}

表現

グラフとして

立方体はグラフに描くことができます。グラフ理論では、頂点の集合が辺で結ばれた構造です。これは、シュタイニッツの定理によって実現可能であり、この定理によれば、グラフは多面体の頂点辺グラフとして表現できますが、そのためには次の 2 つの性質が必要です。平面性(グラフの辺は他の辺と交差することなくすべての頂点に接続されています) と3 連結性(3 個を超える頂点を持つグラフで、2 つの頂点が削除されても辺は接続されたままです) です。^{[ 61 ]}^{[ 62 ]}グラフとして表現される立方体の骨格は、立方体グラフ、プラトングラフと呼ばれます。立方体と同じ数の頂点と辺、つまり 12 個の頂点と 8 個の辺を持ちます。^{[ 63 ]}立方体グラフは、直方体の骨格に似ていることから、プリズムグラフにも分類されます。 ^{[ 64 ]}

立方体グラフは、ハイパーキューブグラフの特殊なケースです。 $n$ -立方体—と表記される $Q_{n}$ —グラフのデカルト積を使用して構築できるためです。2 つのグラフが頂点のペアを辺で結んで新しいグラフを形成します。^{[ 65 ]}立方体グラフの場合、それは次の積です。 $Q_{2}\mathbin {\Box } Q_{1}$ 、どこ $\mathbin {\Box }$ はグラフのデカルト積を表します。言い換えれば、立方体グラフは2つの正方形の各頂点を辺で結ぶことによって構築されます。表記上、立方体グラフは $Q_{3}$ [ ⁶⁶^{]他のハイパーキューブグラフと同様に、すべての頂点}^をちょうど一度訪れるサイクルを持ち、^[⁶⁷^]単位距離グラフの例でもあります。^[⁶⁸^]

立方体グラフは二部グラフであり、これは任意の独立した4 つの頂点の集合が互いに素であり、それらの集合内の辺が接続されていることを意味します。^{[ 69 ]}ただし、一方の集合のすべての頂点がもう一方の集合のすべての頂点を接続することはできないため、この二部グラフは完全ではありません。^{[ 70 ]}これは、クラウングラフと二部クネーザーグラフの両方の例です。^{[ 71 ]}^{[ 69 ]}

直交投影において

平行光線によって照らされた物体は、それらの光線に垂直な平面上に影を落とします。この影を直交投影と呼びます。多面体は、光源のある位置において、その直交投影が正多角形である場合、等投影であると考えられます。立方体は、光源が頂点と反対側の頂点を結ぶ4本の線のいずれかに平行である場合、その投影が正六角形になるため、等投影です。^{[ 72 ]}

構成マトリックスとして

立方体は構成行列として表すことができ、その行列の行と列は、多面体の要素（頂点、辺、面）に対応します。行列の対角線は、多面体に現れる各要素の数を表し、行列の非対角線は、行の要素内またはその位置に存在する列の要素の数を表します。立方体の 8 つの頂点、12 の辺、および 6 つの面は、行列の対角線の各要素 (8、12、および 6) で表されます。中央の行の最初の列は、各辺に 2 つの頂点があることを示し、2 で表されます。最初の行の中央の列は、各頂点で 3 つの辺が交わることを示し、3 で表されます。立方体の構成行列は次のとおりです。^{[ 73 ]} ${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}8&3&3\\2&12&2\\4&4&6\end{matrix}}\end{bmatrix}}$

参考文献

↑デュピュイ、ネイサン・フェローズ (1893)。合成立体幾何学の要素。マクミラン。p. 68。
↑ Johnson, Norman W. (1966). " Convex Polyhedra with Regular Faces" . Canadian Journal of Mathematics . 18 : 169–200 . Bibcode : 1966CJMat..18..169J . doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 . MR 0185507. S2CID 122006114. Zbl 0132.14603 . 表IIの3行目を参照してください。
↑バード、ジョン（2020）。工学のための科学と数学（第6版）。ラウトレッジ。pp. 143–144。ISBN 9780429261701。
1 2ミルズ、スティーブ、コルフ、ヒラリー (1999)。数学辞典。ハイネマン。p. 16。ISBN 9780435024741。
↑ Richeson , DS (2008). Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology . Princeton University Press. pp. 1 – 2. ISBN 9780691126777。
↑ジェッセン、ボルゲ(1967)。「直交二十面体」。ノルディスクマテマティスクティツクリフト。15 (2): 90–96 . JSTOR 24524998。MR 0226494。
↑カルター、ポール；カルター、マイケル（2011）。テクニカル数学。ジョン・ワイリー・アンド・サンズ。p. 197。ISBN 9780470534922。
↑ホフマン (2020)、p. 83。
↑ Chilton, BL; Coxeter, HSM (1963). "Polar Zonohedra". The American Mathematical Monthly . 70 (9): 946– 951. doi : 10.1080/00029890.1963.11992147 . JSTOR 2313051 . MR 0157282 .
1 2 Timofeenko, AV (2010). "非複合多面体の接合" (PDF) . St. Petersburg Mathematical Journal . 21 (3): 483– 512. doi : 10.1090/S1061-0022-10-01105-2 .
1 2 Khattar, Dinesh (2008). Guide to Objective Arithmetic (2nd ed.). Pearson Education . p. 377. ISBN 9788131716823。
↑ Fuchs, Dmitry; Fuchs, Ekaterina (2007). "正多面体上の閉測地線" (PDF) . Moscow Mathematical Journal . 7 (2): 265– 279. doi : 10.17323/1609-4514-2007-7-2-265-279 (2025年12月3日非アクティブ)。2018年3月4日のオリジナルからアーカイブ。 2025年10月3日取得。{{cite journal}}: CS1 maint: DOI は 2025 年 12 月現在非アクティブです (リンク) CS1 maint: bot: 元の URL の状態が不明です (リンク) 3 種類の立方体の測地線については、図 11、p. 273 を参照してください。
↑ Coxeter (1973)表 I(i)、pp. 292–293。ラベルの付いた列を参照。 ${}_{0}\!\mathrm {R} /\ell$ 、 ${}_{1}\!\mathrm {R} /\ell$ 、そして ${}_{2}\!\mathrm {R} /\ell$ 、それぞれ外周半径、中周半径、内周半径を表すコクセターの表記法、またコクセターが $2\ell$ 辺の長さとして（2ページ参照）。
↑ Ball, Keith (2010). 「高次元幾何学とその確率的類似物」. Gowers, Timothy (編) 『プリンストン数学入門』 .プリンストン大学出版局. p. 671. ISBN 9781400830398。
↑幾何学：再教育マスターズ。ホルト・ラインハート＆ウィンストン。2001年。74ページ。ISBN 9780030543289。
↑ Jerrard, Richard P .; Wetzel, John E. (2004). "Prince Rupert's rectangles". The American Mathematical Monthly . 111 (1): 22–31 . doi : 10.2307/4145012 . JSTOR 4145012. MR 2026310 .
↑リッキー、V. フレデリック (2005)。「デューラーの魔方陣、カルダノの指輪、プリンス・ルパートの立方体、その他興味深いもの」(PDF)。 2010年7月5日にオリジナル(PDF)からアーカイブ済み。「レクリエーション数学：ベンジャミン・フランクリン生誕300周年記念短期講座」のノート、アメリカ数学協会、ニューメキシコ州アルバカーキ、2005年8月2日～3日
↑ガードナー、マーティン(2001)。『数学の巨大な本：古典的なパズル、パラドックス、問題：数論、代数、幾何学、確率、位相、ゲーム理論、無限、その他の娯楽数学のトピック』。WW ノートン社。172–173ページ。ISBN 9780393020236。
↑ Lützen, Jesper (2010). "幾何学的不可能性の代数：立方体の複製と角の三等分が不可能なことに関するデカルトとモンチュクラ" . Centaurus . 52 (1): 4– 37. doi : 10.1111/j.1600-0498.2009.00160.x .
↑メッサー、ピーター (1986)。「問題1054」（PDF）。Crux Mathematicorum。12 (10): 284– 285 –カナダ数学協会経由。
↑ French, Doug (1988). "Reflections on a Cube". Mathematics in School . 17 (4): 30–33 . JSTOR 30214515 .
↑クロムウェル、ピーター・R. (1997).多面体. ケンブリッジ大学出版局. p. 309. ISBN 9780521554329。
↑カニンガム、ゲイブ。ペリサー、ダニエル (2024)。「普通空間における有限３軌道多面体 II」 .ボレティン・デ・ラ・ソシエダ・マテマティカ・メキシカーナ。30 (32) 32.土井: 10.1007/s40590-024-00600-z。276ページを参照。
↑ケイン、リチャード (2001)。反射群と不変式論。シュプリンガー。p. 16。ISBN 9780387989792。
↑ Cundy, H. Martyn ; Rollett, AP (1961). "3.2 双対性".数学モデル(第 2版). Clarendon Press. pp. 78–79 . MR 0124167 .
↑エリクソン、マーティン (2011).美しい数学.アメリカ数学協会. p. 62. ISBN 9781614445098。
1 2 McLean, K. Robin (1990). "Dungeons, Dragons, and Dice". The Mathematical Gazette . 74 (469): 243– 256. doi : 10.2307/3619822 . JSTOR 3619822 . S2CID 195047512 . 247ページを参照。
↑グリュンバウム、ブランコ(1997)。「等角プリズマトイド」。離散幾何学および計算幾何学。18 (1): 13–52 .土井: 10.1007/PL00009307。
↑セネシャル、マージョリー (1989)。「タイリングの簡単な紹介」。ヤリッチ、マルコ (編)『準結晶の数学入門』。アカデミックプレス。p. 12。
↑ Walter, Steurer; Deloudi, Sofia (2009). Crystallography of Quasicrystals: Concepts, Methods and Structures . Springer Series in Materials Science. Vol. 126. p. 50. doi : 10.1007/978-3-642-01899-2 . ISBN 9783642018985。
↑ Masalski, William J. (1977). "Polycubes". The Mathematics Teacher . 70 (1): 46–50 . doi : 10.5951/MT.70.1.0046 . JSTOR 27960702 .
↑ジョイナー、デイビッド (2008).群論の冒険：ルービックキューブ、マーリンの機械、その他の数学のおもちゃ（第2版）. ジョンズ・ホプキンス大学出版局. p. 76. ISBN 9780801890123。
↑ Moore, Kimberly (2018). "Minecraft が数学の授業に登場".中学校の数学教育. 23 (6): 334– 341. doi : 10.5951/mathteacmiddscho.23.6.0334 . JSTOR 10.5951/mathteacmiddscho.23.6.0334 .
↑リーベン、マーシー；ツァイルテン、スティーブ（2006）。『隠されたニューヨーク：重要な場所へのガイド』ラトガース大学出版局、 77ページ。ISBN 9780813538907。
↑バロウ、ジョン・D. (1999).不可能性：科学の限界と限界の科学. オックスフォード大学出版局. p. 14. ISBN 9780195130829。
↑ March, Lionel (1996). "アルベルティの『建築論』におけるルネサンス数学と建築比例". Architectural Research Quarterly . 2 (1): 54–65 . doi : 10.1017/S135913550000110X . S2CID 110346888 .
↑ Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2015). A Mathematical Space Odyssey: Solid Geometry in the 21st Century . Vol. 50. Mathematical Association of America . p. 85. ISBN 9781614442165。
↑ Randhawa, GS; Mukhopadhyay, Amitabha (1986). Floriculture in India . Allied Publishers. p. 49. ISBN 978-81-7023-057-1。
↑ティサ、ミクロス (2001)。エンジニアのための物理的冶金学。ASMインターナショナル。 p. 45.ISBN 9781615032419。
↑ Chieh, Chung (2013). "多面体と結晶構造" . Senechal, Marjorie (編). Shaping Space: Exploring Polyhedra in Nature, Art, and the Geometrical Imagination . Springer. p. 141. doi : 10.1007/978-0-387-92714-5_10 . ISBN 9780387927138。
↑ Hoffmann, Frank (2020). Introduction to Crystallography . Springer. p. 35. doi : 10.1007/978-3-030-35110-6 . ISBN 9783030351106。
↑ Kratz, Jens-Volker (2021). Nuclear and Radiochemistry: Fundamentals and Applications . John Wiley & Sons . p. 31. doi : 10.1002/9783527831944 . ISBN 9783527831944。
↑ヘッケル、E. (1904)。Kunstformen der Natur (ドイツ語)。オンライン版はこちらをご覧ください。
↑ Biegasiewicz, Kyle; Griffiths, Justin; Savage, G. Paul; Tsanakstidis, John; Priefer, Ronny (2015). "Cubane: 50 Years Later". Chemical Reviews . 115 (14): 6719– 6745. doi : 10.1021/cr500523x . PMID 26102302 .
↑ Padmanabhan, Thanu (2015). "理論物理学のグランドキューブ".理論物理学における眠れる美女たち. Springer. pp. 1–8 . ISBN 9783319134420。
↑ Helvajian, Henry; Janson, Siegfried W. 編 (2008).小型衛星：過去、現在、未来. Aerospace Press. p. 159. ISBN 9781884989223。
↑ Vollmer, Michael; Möllmann, Klaus-Peter (2011). Infrared Thermal Imaging: Fundamentals, Research and Applications . John Wiley & Sons . pp. 36–38 . ISBN 9783527641550。
↑シムズ、ラルフ（1998年10月1日）。「Cobalt Qube Microserver」。Linux Journal。
↑ Kov´acs, Gergely; Nagy, Benedek Nagy; Stomfai, Gergely; Turgay, Nes¸et Deni̇z; Vizv´ari, B´ela (2021). "On Chamfer Distances on the Square and Body-Centered CubicGrids: An Operational Research Approach" . Mathematical Problems in Engineering : 1– 9. doi : 10.1155/2021/5582034 . hdl : 10831/111490 .
↑チン、ダニエル・ジエ・ユアン・チン。モハメド、アハマド・スフリル・アズラン。シャリフ、ハイル・アヌアール。石川邦夫（2021年11月23～25日）。「大きな骨欠損 CT 画像の高速 3D 再構成のための GPU アクセラレーションによる強化されたマーチングキューブ 33」。ザマンでは、ハリマ・バディオゼ。スミートン、アラン。シー、ティモシー。ベラスティン、セルジオ。多田輝敏；ヨルゲンセン、ボー・ノレガード;アリス、ハズリーン・アリス。イブラヒム、ナズリタ・イブラヒム（編）。ビジュアルインフォマティクスの進歩。第7回国際視覚情報学会議。カジャン、マレーシア。 p. 376.
↑ Greene, N (1986). "Environment Mapping and Other Applications of World Projections". IEEE Computer Graphics and Applications . 6 (11): 21–29 . Bibcode : 1986ICGA....6k..21G . doi : 10.1109/MCG.1986.276658 . S2CID 11301955 .
↑ Kraus, John D.; Fleisch, Daniel A. (1999).電磁気学とその応用. ボストン: McGraw Hill . p. 324. ISBN 0-07-289969-7。LCCN 98-34935。
↑ Domokos, Gábor; Jerolmack, Douglas J.; Kun, Ferenc; Török, János (2020). "Plato's Cube and the Natural Geometry of Fragmentation" . Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America . 117 (31): 18178– 18185. arXiv : 1912.04628 . Bibcode : 2020PNAS..11718178D . doi : 10.1073/pnas.2001037117 . PMC 7414180 . PMID 32680966 .
↑ヒース、トーマス L. (1908).ユークリッド原論全13巻（第3版）.ケンブリッジ大学出版局. pp. 262, 478, 480.
↑クロムウェル (1997)、p. 55。
↑ Livio, Mario (2003) [2002]. The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number (初版ペーパーバック). Broadway Books . p. 147. ISBN 9780767908160。
↑ Jeon, Kyungsoon (2009). "Mathematics Hiding in the Nets for a CUBE". Teaching Children Mathematics . 15 (7): 394– 399. doi : 10.5951/TCM.15.7.0394 . JSTOR 41199313 .
↑ターニー、ピーター D. (1984–1985). 「テセラクトを展開する」 .レクリエーション数学ジャーナル. 17 (1).
↑スミス、ジェームズ (2000).幾何学の方法.ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. p. 392. ISBN 9781118031032。
↑ Kozachok, Marina (2012). "完全プリズムと中心対称多面体の面数に関する予想". AD Alexandrov 生誕 100 周年記念ヤロスラヴリ国際会議 "離散幾何学" (ヤロスラヴリ、2012 年 8 月 13 ～ 18 日) (PDF) . PG Demidov ヤロスラヴリ州立大学、国際 BN Delaunay 研究所。pp. 46–49。
↑グリュンバウム、ブランコ(2003)。「13.1 シュタイニッツの定理」。凸多面体。数学の大学院テキスト。 Vol. 221（第2版）。スプリンガー・フェルラーク。235 ～ 244ページ。ISBN 0387404090。
↑ジーグラー、ギュンター M. ( 1995). 「第 4 章: 3 次元多面体に関するシュタイニッツの定理」。多面体に関する講義。大学院数学テキスト。第152 巻。シュプリンガー出版。pp. 103–126。ISBN 038794365X。
↑ルドルフ、マイケル (2022).有限ネットワークの数学：演算子グラフ理論入門.ケンブリッジ大学出版局. p. 25. doi : 10.1017/9781316466919 . ISBN 9781316466919。
↑ Pisanski, Tomaž; Servatius, Brigitte (2013). Configuration from a Graphical Viewpoint . Springer. p. 21. doi : 10.1007/978-0-8176-8364-1 . ISBN 9780817683634。
↑ Harary, F. ; Hayes, JP; Wu, H.-J. (1988). "ハイパーキューブグラフの理論の概観". Computers & Mathematics with Applications . 15 (4): 277– 289. doi : 10.1016/0898-1221(88)90213-1 . hdl : 2027.42/27522 .
↑ Chartrand, Gary; Zhang, Ping (2012). A First Course in Graph Theory . Dover Publications . p. 25. ISBN 9780486297309。
↑グロス、ジョナサンL.、イェレン、イェレン (2006)。グラフ理論とその応用、第 2 版。テイラー & フランシス。p. 273。ISBN 9781584885054。
↑ Horvat, Boris; Pisanski, Tomaž (2010). "単位距離グラフの積" . Discrete Mathematics . 310 (12): 1783– 1792. doi : 10.1016/j.disc.2009.11.035 . MR 2610282 .
1 2 Berman, Leah (2014). "対称6構成の幾何学的構成" . Connelly, Robert; Weiss, Asia; Whiteley, Walter (編)『剛性と対称性』Fields Institute Communications. Vol. 70. Springer. p. 84. doi : 10.1007/978-1-4939-0781-6 . ISBN 9781493907816。
↑ Aldous, Joan; Wilson, Robin (2000). Graphs and Applications: An Introductory Approach . Springer. ISBN 9781852332594。
↑キタエフ、セルゲイ；ロジン、ヴァディム（2015）。『言葉とグラフ』 171ページ。doi : 10.1007 / 978-3-319-25859-1。ISBN 9783319258591。
↑ハサン、マスード。ホサイン、モハマド M.ロペス・オルティス、アレハンドロ。ヌスラト、サブリナ。クアダー、サード A.ラーマン、ナビラ (2010)。「いくつかの新しい等射影多面体」。arXiv : 1009.2252 [ cs.CG ]。
↑ Coxeter, HSM (1973). Regular Polytopes (3rd ed.). New York: Dover Publications . pp. 122–123 . §1.8 構成を参照してください。
↑ Inchbald, Guy (2006). "ファセット図". The Mathematical Gazette . 90 (518): 253–261 . doi : 10.1017/S0025557200179653 . JSTOR 40378613 .
↑ Rajwade, AR (2001). Convex Polyhedra with Regularity Conditions and Hilbert's Third Problem . Texts and Readings in Mathematics. Hindustan Book Agency. p. 84 – 89. doi : 10.1007/978-93-86279-06-4 . ISBN 9789386279064。
↑スロボダン、ミシッチ。オブラドヴィッチ、マリヤ。ユカノヴィッチ、ゴルダナ（2015）。「幾何学的および建築的形態としての複合凹面キューポラ」(PDF)。幾何学とグラフィックスのジャーナル。19 (1): 79–91 .
↑ Langer, Joel C.; Singer, David A. (2010). "ベルヌーイのレムニスケートに関する考察：数学的宝石の48の顔". Milan Journal of Mathematics . 78 (2): 643–682 . doi : 10.1007/s00032-010-0124-5 .
↑コクセター（1973）、 71ページ。
↑ Holme, A. (2010). Geometry: Our Cultural Heritage . Springer . doi : 10.1007/978-3-642-14441-7 . ISBN 9783642144417。
↑クロムウェル (1997) 、 81-82頁。
↑ Linti, G. (2013). "連鎖化合物 - 第13族元素 [Al, Ga, In, Tl ] ". Reedijk, J.、Poeppelmmeier, K. (編) 『総合無機化学II：元素から応用まで』Newnes、p. 41。ISBN 9780080965291。
↑ Viana, Vera; Xavier, João Pedro; Aires, Ana Paula; Campos, Helena (2019). "Interactive Expansion of Achiral Polyhedra". In Cocchiarella, Luigi (ed.). ICGG 2018 - Proceedings of the 18th International Conference on Geometry and Graphics 40th Anniversary - Milan, Italy, August 3-7, 2018 . Advances in Intelligent Systems and Computing. Vol. 809. Springer. p. 1123. doi : 10.1007/978-3-319-95588-9 . ISBN 9783319955872。図6を参照。
↑ Gelişgen, Özcan; Yavuz, Serhat (2019). "面取りされた立方体と面取りされた八面体空間の等長群" . Mathematical Sciences and Applications E-Notes . 7 (2): 174– 182. doi : 10.36753/mathenot.542272 .
↑ Deza, Antoinea; Michel, Deza; Grishukhin, Viatcheslav (1998). "フラーレンと配位多面体対半立方体埋め込み". Discrete Mathematics . 192 ( 1– 3): 41– 80. doi : 10.1016/S0012-365X(98)00065-X .
↑クロムウェル (1997) 、 70ページ。
↑ Lunnon, WF (1972). "Symmetry of Cubical and General Polyominoes". In Read, Ronald C. (ed.). Graph Theory and Computing . New York: Academic Press . pp. 101–108 . ISBN 9781483255125。
↑ケンプ、マーティン（1998年1月1日）。「ダリの次元」。ネイチャー。391 （27）：27。Bibcode ： 1998Natur.391 ...27K。doi：10.1038 / 34063。
↑ Fowler, David (2010). "Mathematics in Science Fiction: Mathematics as Science Fiction". World Literature Today . 84 (3): 48– 52. doi : 10.1353/wlt.2010.0188 . JSTOR 27871086. S2CID 115769478.ロバート・ハインラインの『そして彼は曲がった家を建てた』（1940年出版）とマーティン・ガードナーの『無側面の教授』（1946年出版）は、読者にメビウスの帯、クラインの壺、超立方体（テセラクト）を紹介した最初のSF作品の一つである。
↑ Langerman, Stefan ; Winslow, Andrew (2016). "Polycube Unfoldings Satisfying Conway's Criterion" (PDF) .第 19 回離散幾何学、グラフ、ゲームに関する日本会議 (JCDCG^3 2016) .
↑ Hall, T. Proctor (1893). "The Projection of Fourfold Figures on a Three-flat". American Journal of Mathematics . 15 (2): 179–189 . doi : 10.2307/2369565 . JSTOR 2369565 .
↑ Lagarias, JC ; Moews, D. (1995). "Polytopes that Fill $\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ およびはさみの合同性」 .離散幾何学および計算幾何学. 13 ( 3– 4): 573– 583. doi : 10.1007/BF02574064 . MR 1318797 .
↑ Erdahl, RM (1999). "Zonotopes, Dicings, and Voronoi's Conjecture on Parallelohedra" . European Journal of Combinatorics . 20 (6): 527–549 . doi : 10.1006/eujc.1999.0294 . MR 1703597 . ボロノイは、単一の凸多面体の平行移動による高次元空間のすべてのタイリングは、組み合わせ論的にボロノイタイリングと等価であると予想し、エルダールはゾノトープの特殊な場合においてこれを証明した。しかし、彼が書いているように（429ページ）、次元が最大4の場合のボロノイの予想は、すでにドロネーによって証明されていた。3次元平行多面体のこれら5つのタイプへの分類については、Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (1980). "Tilings with congruent tiles" . Bulletin of the American Mathematical Society . New Series. 3 (3): 951– 973. doi : 10.1090/S0273-0979-1980-14827-2 . MR 0585178を参照。
↑ホルバス、アコス G. (1995)。「ディリクレ・ボロノイセルについて、パート I: 古典的問題」。Periodica Polytechnica 機械工学。39 (1): 25-42 .
↑ただし、高次元では、ゾノトープではない平行ロープが存在する。例えば、 Shephard, GC (1974). "Space-filling Zonotopes". Mathematika . 21 (2): 261– 269. doi : 10.1112/S0025579300008652 . MR 0365332 を参照。
↑コクセター、HSM（1968）。『幾何学の美：12のエッセイ』ドーバー出版、 167ページ。ISBN 9780486409191。表IIIを参照。
1 2 Nelson, Roice; Segerman, Henry (2017). "双曲ハニカムの可視化". Journal of Mathematics and the Arts . 11 (1): 4– 39. arXiv : 1511.02851 . doi : 10.1080/17513472.2016.1263789 .
↑秋山仁;松永清子（2015）「15.3 ヒルベルトの第 3 問題とデーンの定理」。直感的な幾何学への挑戦。スプリンガー東京。 pp. 382–388。土井：10.1007/978-4-431-55843-9。ISBN 9784431558415. MR 3380801 .
↑グルーバー、ピーター M. (2007)。「第 16 章: 多面体の体積とヒルベルトの第 3 の問題」。凸型および離散型ジオメトリ。 Grundlehren der mathematischen Wissenschaften [数学科学の基本原理]。 Vol. 336. シュプリンガー、ベルリン。 pp. 280–291。土井：10.1007/978-3-540-71133-9。ISBN 9783540711322. MR 2335496 .
↑ Zeeman, EC (2002年7月)「ヒルベルトの第3問題について」The Mathematical Gazette . 86 (506): 241–247 . doi : 10.2307/3621846 . JSTOR 3621846 .
↑スキリング、ジョン( 1976)。「均一多面体の均一複合体」。ケンブリッジ哲学協会の数学紀要。79 ( 3 ) : 447–457。Bibcode : 1976MPCPS..79..447S。doi : 10.1017/S0305004100052440。MR 0397554 。
↑ジョージ、ハート（2019年7月16～20日）。「マックス・ブルックナーの紙多面体のヴンダーカンマー」(PDF)。ゴールドスタインではスーザン。マッケンナ、ダグラス。フェニヴェシ、クリストフ (編)。Bridges 2019 会議議事録。オーストリア、リンツ: Tessellations Publishing、アリゾナ州フェニックス。ISBN 9781938664304。
1 2ヤッケル、キャロリン（2013年7月26日～30日）。「投影されたプラトン立体で物理的な球面をマークする」（PDF）。カプラン、クレイグ、サルハンギ、レザ（編）。『ブリッジズ2009：数学、音楽、芸術、建築、文化』論文集。カナダ、アルバータ州バンフ。pp. 123–130。ISBN 9780966520200。
↑ポプコ、エドワード・S. (2012). 『分割された球体：測地線と球体の秩序ある分割』CRC Press. pp. 100–101 . ISBN 9781466504295。
↑フラー、バックムスター（1975）。『シナジェティクス：思考の幾何学の探求』マクミラン出版。173ページ。ISBN 9780020653202。
↑ Marat, Ton (2022). A Ludic Journey into Geometric Topology . Springer. p. 112. doi : 10.1007/978-3-031-07442-4 . ISBN 9783031074424。
↑ Bunde, Armin; Havlin, Shlomo (2013). Fractals in Science . Springer. p. 7. ISBN 9783642779534。
↑ Husain, Sakhlaq (2025). "On Jerusalem Square Fractal, Its Construction and Properties" . Annals of Communications in Mathematics . 8 (2): 293– 298. doi : 10.62072/acm.2025.080211 . ISSN 2582-0818 .
↑レゲイロ、マヌエル・ディアス、アレゲ、ルイス・ディアス（2023年7月7日）。「メンガー型フラクタル構造を拡張するためのアルゴリズム」（PDF）。Hyperseeing ：SMI-SCULPT 2023：シェイプモデリング国際2023、レイアウト、プログラム、テクノロジーを用いたシェイプ作成（SCULPT）イベント：国際芸術・数学・建築学会第22回学際会議（PDF）。pp . 55–62。ISBN 9781387733309。
↑ジョン・バーンズ (2012)。幾何学の宝石(第 2版)。スプリンガー。 p. 82.土井：10.1007/978-3-642-30964-9。ISBN 9783642309649。

外部リンク

ワイススタイン、エリック W. 「キューブ」 . MathWorld .
キューブ：インタラクティブな多面体モデル*
立方体の体積（インタラクティブアニメーション付き）
キューブ（ロバート・ウェッブのサイト）

[dupuis-1] デュピュイ、ネイサン・フェローズ (1893)。合成立体幾何学の要素。マクミラン。p. 68。

[johnson-2] Johnson, Norman W. (1966). " Convex Polyhedra with Regular Faces" . Canadian Journal of Mathematics . 18 : 169–200 . Bibcode : 1966CJMat..18..169J . doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 . MR 0185507. S2CID 122006114. Zbl 0132.14603 . 表IIの3行目を参照してください。

[bird-3] バード、ジョン（2020）。工学のための科学と数学（第6版）。ラウトレッジ。pp. 143–144。ISBN 9780429261701。

[mk-4] 1 2ミルズ、スティーブ、コルフ、ヒラリー (1999)。数学辞典。ハイネマン。p. 16。ISBN 9780435024741。

[richeson-5] Richeson , DS (2008). Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology . Princeton University Press. pp. 1 – 2. ISBN 9780691126777。

[jessen-6] ジェッセン、ボルゲ(1967)。「直交二十面体」。ノルディスクマテマティスクティツクリフト。15 (2): 90–96 . JSTOR 24524998。MR 0226494。

[calter-7] カルター、ポール；カルター、マイケル（2011）。テクニカル数学。ジョン・ワイリー・アンド・サンズ。p. 197。ISBN 9780470534922。

[FOOTNOTEHoffmann2020[httpbooksgooglecombooksid16H0DwAAQBAJpgPA83_83]-8] ホフマン (2020)、p. 83。

[cc-9] Chilton, BL; Coxeter, HSM (1963). "Polar Zonohedra". The American Mathematical Monthly . 70 (9): 946– 951. doi : 10.1080/00029890.1963.11992147 . JSTOR 2313051 . MR 0157282 .

[timofeenko-2010-10] 1 2 Timofeenko, AV (2010). "非複合多面体の接合" (PDF) . St. Petersburg Mathematical Journal . 21 (3): 483– 512. doi : 10.1090/S1061-0022-10-01105-2 .

[khattar-11] 1 2 Khattar, Dinesh (2008). Guide to Objective Arithmetic (2nd ed.). Pearson Education . p. 377. ISBN 9788131716823。

[fuchs-12] Fuchs, Dmitry; Fuchs, Ekaterina (2007). "正多面体上の閉測地線" (PDF) . Moscow Mathematical Journal . 7 (2): 265– 279. doi : 10.17323/1609-4514-2007-7-2-265-279 (2025年12月3日非アクティブ)。2018年3月4日のオリジナルからアーカイブ。 2025年10月3日取得。{{cite journal}}: CS1 maint: DOI は 2025 年 12 月現在非アクティブです (リンク) CS1 maint: bot: 元の URL の状態が不明です (リンク) 3 種類の立方体の測地線については、図 11、p. 273 を参照してください。

[radii-13] Coxeter (1973)表 I(i)、pp. 292–293。ラベルの付いた列を参照。 ${}_{0}\!\mathrm {R} /\ell$ 、 ${}_{1}\!\mathrm {R} /\ell$ 、そして ${}_{2}\!\mathrm {R} /\ell$ 、それぞれ外周半径、中周半径、内周半径を表すコクセターの表記法、またコクセターが $2\ell$ 辺の長さとして（2ページ参照）。

[ball-14] Ball, Keith (2010). 「高次元幾何学とその確率的類似物」. Gowers, Timothy (編) 『プリンストン数学入門』 .プリンストン大学出版局. p. 671. ISBN 9781400830398。

[hr-w-15] 幾何学：再教育マスターズ。ホルト・ラインハート＆ウィンストン。2001年。74ページ。ISBN 9780030543289。

[jw-16] Jerrard, Richard P .; Wetzel, John E. (2004). "Prince Rupert's rectangles". The American Mathematical Monthly . 111 (1): 22–31 . doi : 10.2307/4145012 . JSTOR 4145012. MR 2026310 .

[rickey-17] リッキー、V. フレデリック (2005)。「デューラーの魔方陣、カルダノの指輪、プリンス・ルパートの立方体、その他興味深いもの」(PDF)。 2010年7月5日にオリジナル(PDF)からアーカイブ済み。「レクリエーション数学：ベンジャミン・フランクリン生誕300周年記念短期講座」のノート、アメリカ数学協会、ニューメキシコ州アルバカーキ、2005年8月2日～3日

[gardner-18] ガードナー、マーティン(2001)。『数学の巨大な本：古典的なパズル、パラドックス、問題：数論、代数、幾何学、確率、位相、ゲーム理論、無限、その他の娯楽数学のトピック』。WW ノートン社。172–173ページ。ISBN 9780393020236。

[lutzen-19] Lützen, Jesper (2010). "幾何学的不可能性の代数：立方体の複製と角の三等分が不可能なことに関するデカルトとモンチュクラ" . Centaurus . 52 (1): 4– 37. doi : 10.1111/j.1600-0498.2009.00160.x .

[messer86-20] メッサー、ピーター (1986)。「問題1054」（PDF）。Crux Mathematicorum。12 (10): 284– 285 –カナダ数学協会経由。

[french-21] French, Doug (1988). "Reflections on a Cube". Mathematics in School . 17 (4): 30–33 . JSTOR 30214515 .

[cromwell-22] クロムウェル、ピーター・R. (1997).多面体. ケンブリッジ大学出版局. p. 309. ISBN 9780521554329。

[cp-23] カニンガム、ゲイブ。ペリサー、ダニエル (2024)。「普通空間における有限３軌道多面体 II」 .ボレティン・デ・ラ・ソシエダ・マテマティカ・メキシカーナ。30 (32) 32.土井: 10.1007/s40590-024-00600-z。276ページを参照。

[kane-24] ケイン、リチャード (2001)。反射群と不変式論。シュプリンガー。p. 16。ISBN 9780387989792。

[cr-25] Cundy, H. Martyn ; Rollett, AP (1961). "3.2 双対性".数学モデル(第 2版). Clarendon Press. pp. 78–79 . MR 0124167 .

[erickson-26] エリクソン、マーティン (2011).美しい数学.アメリカ数学協会. p. 62. ISBN 9781614445098。

[mclean-27] 1 2 McLean, K. Robin (1990). "Dungeons, Dragons, and Dice". The Mathematical Gazette . 74 (469): 243– 256. doi : 10.2307/3619822 . JSTOR 3619822 . S2CID 195047512 . 247ページを参照。

[grunbaum-1997-28] グリュンバウム、ブランコ(1997)。「等角プリズマトイド」。離散幾何学および計算幾何学。18 (1): 13–52 .土井: 10.1007/PL00009307。

[senechal-29] セネシャル、マージョリー (1989)。「タイリングの簡単な紹介」。ヤリッチ、マルコ (編)『準結晶の数学入門』。アカデミックプレス。p. 12。

[wd-30] Walter, Steurer; Deloudi, Sofia (2009). Crystallography of Quasicrystals: Concepts, Methods and Structures . Springer Series in Materials Science. Vol. 126. p. 50. doi : 10.1007/978-3-642-01899-2 . ISBN 9783642018985。

[masalski-31] Masalski, William J. (1977). "Polycubes". The Mathematics Teacher . 70 (1): 46–50 . doi : 10.5951/MT.70.1.0046 . JSTOR 27960702 .

[joyner-32] ジョイナー、デイビッド (2008).群論の冒険：ルービックキューブ、マーリンの機械、その他の数学のおもちゃ（第2版）. ジョンズ・ホプキンス大学出版局. p. 76. ISBN 9780801890123。

[moore-33] Moore, Kimberly (2018). "Minecraft が数学の授業に登場".中学校の数学教育. 23 (6): 334– 341. doi : 10.5951/mathteacmiddscho.23.6.0334 . JSTOR 10.5951/mathteacmiddscho.23.6.0334 .

[rz-34] リーベン、マーシー；ツァイルテン、スティーブ（2006）。『隠されたニューヨーク：重要な場所へのガイド』ラトガース大学出版局、 77ページ。ISBN 9780813538907。

[barrow-35] バロウ、ジョン・D. (1999).不可能性：科学の限界と限界の科学. オックスフォード大学出版局. p. 14. ISBN 9780195130829。

[march-36] March, Lionel (1996). "アルベルティの『建築論』におけるルネサンス数学と建築比例". Architectural Research Quarterly . 2 (1): 54–65 . doi : 10.1017/S135913550000110X . S2CID 110346888 .

[an-37] Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2015). A Mathematical Space Odyssey: Solid Geometry in the 21st Century . Vol. 50. Mathematical Association of America . p. 85. ISBN 9781614442165。

[rm-38] Randhawa, GS; Mukhopadhyay, Amitabha (1986). Floriculture in India . Allied Publishers. p. 49. ISBN 978-81-7023-057-1。

[tisza-39] ティサ、ミクロス (2001)。エンジニアのための物理的冶金学。ASMインターナショナル。 p. 45.ISBN 9781615032419。

[chieh-40] Chieh, Chung (2013). "多面体と結晶構造" . Senechal, Marjorie (編). Shaping Space: Exploring Polyhedra in Nature, Art, and the Geometrical Imagination . Springer. p. 141. doi : 10.1007/978-0-387-92714-5_10 . ISBN 9780387927138。

[hoffmann-41] Hoffmann, Frank (2020). Introduction to Crystallography . Springer. p. 35. doi : 10.1007/978-3-030-35110-6 . ISBN 9783030351106。

[kratz-42] Kratz, Jens-Volker (2021). Nuclear and Radiochemistry: Fundamentals and Applications . John Wiley & Sons . p. 31. doi : 10.1002/9783527831944 . ISBN 9783527831944。

[haeckel-43] ヘッケル、E. (1904)。Kunstformen der Natur (ドイツ語)。オンライン版はこちらをご覧ください。

[biegasiewicz-44] Biegasiewicz, Kyle; Griffiths, Justin; Savage, G. Paul; Tsanakstidis, John; Priefer, Ronny (2015). "Cubane: 50 Years Later". Chemical Reviews . 115 (14): 6719– 6745. doi : 10.1021/cr500523x . PMID 26102302 .

[padmanabhan-45] Padmanabhan, Thanu (2015). "理論物理学のグランドキューブ".理論物理学における眠れる美女たち. Springer. pp. 1–8 . ISBN 9783319134420。

[helvajian-46] Helvajian, Henry; Janson, Siegfried W. 編 (2008).小型衛星：過去、現在、未来. Aerospace Press. p. 159. ISBN 9781884989223。

[vm-47] Vollmer, Michael; Möllmann, Klaus-Peter (2011). Infrared Thermal Imaging: Fundamentals, Research and Applications . John Wiley & Sons . pp. 36–38 . ISBN 9783527641550。

[qube-48] シムズ、ラルフ（1998年10月1日）。「Cobalt Qube Microserver」。Linux Journal。

[knstv-49] Kov´acs, Gergely; Nagy, Benedek Nagy; Stomfai, Gergely; Turgay, Nes¸et Deni̇z; Vizv´ari, B´ela (2021). "On Chamfer Distances on the Square and Body-Centered CubicGrids: An Operational Research Approach" . Mathematical Problems in Engineering : 1– 9. doi : 10.1155/2021/5582034 . hdl : 10831/111490 .

[cmsi-50] チン、ダニエル・ジエ・ユアン・チン。モハメド、アハマド・スフリル・アズラン。シャリフ、ハイル・アヌアール。石川邦夫（2021年11月23～25日）。「大きな骨欠損 CT 画像の高速 3D 再構成のための GPU アクセラレーションによる強化されたマーチングキューブ 33」。ザマンでは、ハリマ・バディオゼ。スミートン、アラン。シー、ティモシー。ベラスティン、セルジオ。多田輝敏；ヨルゲンセン、ボー・ノレガード;アリス、ハズリーン・アリス。イブラヒム、ナズリタ・イブラヒム（編）。ビジュアルインフォマティクスの進歩。第7回国際視覚情報学会議。カジャン、マレーシア。 p. 376.

[greene-51] Greene, N (1986). "Environment Mapping and Other Applications of World Projections". IEEE Computer Graphics and Applications . 6 (11): 21–29 . Bibcode : 1986ICGA....6k..21G . doi : 10.1109/MCG.1986.276658 . S2CID 11301955 .

[kraus-52] Kraus, John D.; Fleisch, Daniel A. (1999).電磁気学とその応用. ボストン: McGraw Hill . p. 324. ISBN 0-07-289969-7。LCCN 98-34935。

[djkt-53] Domokos, Gábor; Jerolmack, Douglas J.; Kun, Ferenc; Török, János (2020). "Plato's Cube and the Natural Geometry of Fragmentation" . Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America . 117 (31): 18178– 18185. arXiv : 1912.04628 . Bibcode : 2020PNAS..11718178D . doi : 10.1073/pnas.2001037117 . PMC 7414180 . PMID 32680966 .

[heath-54] ヒース、トーマス L. (1908).ユークリッド原論全13巻（第3版）.ケンブリッジ大学出版局. pp. 262, 478, 480.

[FOOTNOTECromwell1997[httpsarchiveorgdetailspolyhedra0000crompage55_55]-55] クロムウェル (1997)、p. 55。

[livio-56] Livio, Mario (2003) [2002]. The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number (初版ペーパーバック). Broadway Books . p. 147. ISBN 9780767908160。

[jeon-57] Jeon, Kyungsoon (2009). "Mathematics Hiding in the Nets for a CUBE". Teaching Children Mathematics . 15 (7): 394– 399. doi : 10.5951/TCM.15.7.0394 . JSTOR 41199313 .

[turney-58] ターニー、ピーター D. (1984–1985). 「テセラクトを展開する」 .レクリエーション数学ジャーナル. 17 (1).

[smith-59] スミス、ジェームズ (2000).幾何学の方法.ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. p. 392. ISBN 9781118031032。

[kozachok-60] Kozachok, Marina (2012). "完全プリズムと中心対称多面体の面数に関する予想". AD Alexandrov 生誕 100 周年記念ヤロスラヴリ国際会議 "離散幾何学" (ヤロスラヴリ、2012 年 8 月 13 ～ 18 日) (PDF) . PG Demidov ヤロスラヴリ州立大学、国際 BN Delaunay 研究所。pp. 46–49。

[grunbaum-2003-61] グリュンバウム、ブランコ(2003)。「13.1 シュタイニッツの定理」。凸多面体。数学の大学院テキスト。 Vol. 221（第2版）。スプリンガー・フェルラーク。235 ～ 244ページ。ISBN 0387404090。

[ziegler-62] ジーグラー、ギュンター M. ( 1995). 「第 4 章: 3 次元多面体に関するシュタイニッツの定理」。多面体に関する講義。大学院数学テキスト。第152 巻。シュプリンガー出版。pp. 103–126。ISBN 038794365X。

[rudolph-63] ルドルフ、マイケル (2022).有限ネットワークの数学：演算子グラフ理論入門.ケンブリッジ大学出版局. p. 25. doi : 10.1017/9781316466919 . ISBN 9781316466919。

[ps-64] Pisanski, Tomaž; Servatius, Brigitte (2013). Configuration from a Graphical Viewpoint . Springer. p. 21. doi : 10.1007/978-0-8176-8364-1 . ISBN 9780817683634。

[hh-65] Harary, F. ; Hayes, JP; Wu, H.-J. (1988). "ハイパーキューブグラフの理論の概観". Computers & Mathematics with Applications . 15 (4): 277– 289. doi : 10.1016/0898-1221(88)90213-1 . hdl : 2027.42/27522 .

[cz-66] Chartrand, Gary; Zhang, Ping (2012). A First Course in Graph Theory . Dover Publications . p. 25. ISBN 9780486297309。

[ly-67] グロス、ジョナサンL.、イェレン、イェレン (2006)。グラフ理論とその応用、第 2 版。テイラー & フランシス。p. 273。ISBN 9781584885054。

[hp-68] Horvat, Boris; Pisanski, Tomaž (2010). "単位距離グラフの積" . Discrete Mathematics . 310 (12): 1783– 1792. doi : 10.1016/j.disc.2009.11.035 . MR 2610282 .

[berman-graph-69] 1 2 Berman, Leah (2014). "対称6構成の幾何学的構成" . Connelly, Robert; Weiss, Asia; Whiteley, Walter (編)『剛性と対称性』Fields Institute Communications. Vol. 70. Springer. p. 84. doi : 10.1007/978-1-4939-0781-6 . ISBN 9781493907816。

[aw-70] Aldous, Joan; Wilson, Robin (2000). Graphs and Applications: An Introductory Approach . Springer. ISBN 9781852332594。

[kl-71] キタエフ、セルゲイ；ロジン、ヴァディム（2015）。『言葉とグラフ』 171ページ。doi : 10.1007 / 978-3-319-25859-1。ISBN 9783319258591。

[hhlnqr-72] ハサン、マスード。ホサイン、モハマド M.ロペス・オルティス、アレハンドロ。ヌスラト、サブリナ。クアダー、サード A.ラーマン、ナビラ (2010)。「いくつかの新しい等射影多面体」。arXiv : 1009.2252 [ cs.CG ]。

[coxeter-73] Coxeter, HSM (1973). Regular Polytopes (3rd ed.). New York: Dover Publications . pp. 122–123 . §1.8 構成を参照してください。

[inchbald-74] Inchbald, Guy (2006). "ファセット図". The Mathematical Gazette . 90 (518): 253–261 . doi : 10.1017/S0025557200179653 . JSTOR 40378613 .

[rajwade-75] Rajwade, AR (2001). Convex Polyhedra with Regularity Conditions and Hilbert's Third Problem . Texts and Readings in Mathematics. Hindustan Book Agency. p. 84 – 89. doi : 10.1007/978-93-86279-06-4 . ISBN 9789386279064。

[sod-76] スロボダン、ミシッチ。オブラドヴィッチ、マリヤ。ユカノヴィッチ、ゴルダナ（2015）。「幾何学的および建築的形態としての複合凹面キューポラ」(PDF)。幾何学とグラフィックスのジャーナル。19 (1): 79–91 .

[ls-77] Langer, Joel C.; Singer, David A. (2010). "ベルヌーイのレムニスケートに関する考察：数学的宝石の48の顔". Milan Journal of Mathematics . 78 (2): 643–682 . doi : 10.1007/s00032-010-0124-5 .

[FOOTNOTECoxeter1973[httpbooksgooglecombooksid2ee7AQAAQBAJpgPA71_71]-78] コクセター（1973）、 71ページ。

[holme-79] Holme, A. (2010). Geometry: Our Cultural Heritage . Springer . doi : 10.1007/978-3-642-14441-7 . ISBN 9783642144417。

[FOOTNOTECromwell1997[httpsbooksgooglecombooksidOJowej1QWpoCpgPA81_81–82]-80] クロムウェル (1997) 、 81-82頁。

[linti-81] Linti, G. (2013). "連鎖化合物 - 第13族元素 [Al, Ga, In, Tl ] ". Reedijk, J.、Poeppelmmeier, K. (編) 『総合無機化学II：元素から応用まで』Newnes、p. 41。ISBN 9780080965291。

[vxac-82] Viana, Vera; Xavier, João Pedro; Aires, Ana Paula; Campos, Helena (2019). "Interactive Expansion of Achiral Polyhedra". In Cocchiarella, Luigi (ed.). ICGG 2018 - Proceedings of the 18th International Conference on Geometry and Graphics 40th Anniversary - Milan, Italy, August 3-7, 2018 . Advances in Intelligent Systems and Computing. Vol. 809. Springer. p. 1123. doi : 10.1007/978-3-319-95588-9 . ISBN 9783319955872。図6を参照。

[gy-83] Gelişgen, Özcan; Yavuz, Serhat (2019). "面取りされた立方体と面取りされた八面体空間の等長群" . Mathematical Sciences and Applications E-Notes . 7 (2): 174– 182. doi : 10.36753/mathenot.542272 .

[ddg-84] Deza, Antoinea; Michel, Deza; Grishukhin, Viatcheslav (1998). "フラーレンと配位多面体対半立方体埋め込み". Discrete Mathematics . 192 ( 1– 3): 41– 80. doi : 10.1016/S0012-365X(98)00065-X .

[FOOTNOTECromwell1997[httpsarchiveorgdetailspolyhedra0000crompage70mode1upviewtheater_70]-85] クロムウェル (1997) 、 70ページ。

[lunnon-86] Lunnon, WF (1972). "Symmetry of Cubical and General Polyominoes". In Read, Ronald C. (ed.). Graph Theory and Computing . New York: Academic Press . pp. 101–108 . ISBN 9781483255125。

[kemp-87] ケンプ、マーティン（1998年1月1日）。「ダリの次元」。ネイチャー。391 （27）：27。Bibcode ： 1998Natur.391 ...27K。doi：10.1038 / 34063。

[fowler-88] Fowler, David (2010). "Mathematics in Science Fiction: Mathematics as Science Fiction". World Literature Today . 84 (3): 48– 52. doi : 10.1353/wlt.2010.0188 . JSTOR 27871086. S2CID 115769478.ロバート・ハインラインの『そして彼は曲がった家を建てた』（1940年出版）とマーティン・ガードナーの『無側面の教授』（1946年出版）は、読者にメビウスの帯、クラインの壺、超立方体（テセラクト）を紹介した最初のSF作品の一つである。

[pucc-89] Langerman, Stefan ; Winslow, Andrew (2016). "Polycube Unfoldings Satisfying Conway's Criterion" (PDF) .第 19 回離散幾何学、グラフ、ゲームに関する日本会議 (JCDCG^3 2016) .

[hall-90] Hall, T. Proctor (1893). "The Projection of Fourfold Figures on a Three-flat". American Journal of Mathematics . 15 (2): 179–189 . doi : 10.2307/2369565 . JSTOR 2369565 .

[lm-91] Lagarias, JC ; Moews, D. (1995). "Polytopes that Fill $\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ およびはさみの合同性」 .離散幾何学および計算幾何学. 13 ( 3– 4): 573– 583. doi : 10.1007/BF02574064 . MR 1318797 .

[erdahl-92] Erdahl, RM (1999). "Zonotopes, Dicings, and Voronoi's Conjecture on Parallelohedra" . European Journal of Combinatorics . 20 (6): 527–549 . doi : 10.1006/eujc.1999.0294 . MR 1703597 . ボロノイは、単一の凸多面体の平行移動による高次元空間のすべてのタイリングは、組み合わせ論的にボロノイタイリングと等価であると予想し、エルダールはゾノトープの特殊な場合においてこれを証明した。しかし、彼が書いているように（429ページ）、次元が最大4の場合のボロノイの予想は、すでにドロネーによって証明されていた。3次元平行多面体のこれら5つのタイプへの分類については、Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (1980). "Tilings with congruent tiles" . Bulletin of the American Mathematical Society . New Series. 3 (3): 951– 973. doi : 10.1090/S0273-0979-1980-14827-2 . MR 0585178を参照。

[horvath-93] ホルバス、アコス G. (1995)。「ディリクレ・ボロノイセルについて、パート I: 古典的問題」。Periodica Polytechnica 機械工学。39 (1): 25-42 .

[shephard-94] ただし、高次元では、ゾノトープではない平行ロープが存在する。例えば、 Shephard, GC (1974). "Space-filling Zonotopes". Mathematika . 21 (2): 261– 269. doi : 10.1112/S0025579300008652 . MR 0365332 を参照。

[twelveessay-95] コクセター、HSM（1968）。『幾何学の美：12のエッセイ』ドーバー出版、 167ページ。ISBN 9780486409191。表IIIを参照。

[ns-96] 1 2 Nelson, Roice; Segerman, Henry (2017). "双曲ハニカムの可視化". Journal of Mathematics and the Arts . 11 (1): 4– 39. arXiv : 1511.02851 . doi : 10.1080/17513472.2016.1263789 .

[am-97] 秋山仁;松永清子（2015）「15.3 ヒルベルトの第 3 問題とデーンの定理」。直感的な幾何学への挑戦。スプリンガー東京。 pp. 382–388。土井：10.1007/978-4-431-55843-9。ISBN 9784431558415. MR 3380801 .

[gruber-98] グルーバー、ピーター M. (2007)。「第 16 章: 多面体の体積とヒルベルトの第 3 の問題」。凸型および離散型ジオメトリ。 Grundlehren der mathematischen Wissenschaften [数学科学の基本原理]。 Vol. 336. シュプリンガー、ベルリン。 pp. 280–291。土井：10.1007/978-3-540-71133-9。ISBN 9783540711322. MR 2335496 .

[zeeman-99] Zeeman, EC (2002年7月)「ヒルベルトの第3問題について」The Mathematical Gazette . 86 (506): 241–247 . doi : 10.2307/3621846 . JSTOR 3621846 .

[skilling-100] スキリング、ジョン( 1976)。「均一多面体の均一複合体」。ケンブリッジ哲学協会の数学紀要。79 ( 3 ) : 447–457。Bibcode : 1976MPCPS..79..447S。doi : 10.1017/S0305004100052440。MR 0397554 。

[hart-101] ジョージ、ハート（2019年7月16～20日）。「マックス・ブルックナーの紙多面体のヴンダーカンマー」(PDF)。ゴールドスタインではスーザン。マッケンナ、ダグラス。フェニヴェシ、クリストフ (編)。Bridges 2019 会議議事録。オーストリア、リンツ: Tessellations Publishing、アリゾナ州フェニックス。ISBN 9781938664304。

[yackel-102] 1 2ヤッケル、キャロリン（2013年7月26日～30日）。「投影されたプラトン立体で物理的な球面をマークする」（PDF）。カプラン、クレイグ、サルハンギ、レザ（編）。『ブリッジズ2009：数学、音楽、芸術、建築、文化』論文集。カナダ、アルバータ州バンフ。pp. 123–130。ISBN 9780966520200。

[popko-103] ポプコ、エドワード・S. (2012). 『分割された球体：測地線と球体の秩序ある分割』CRC Press. pp. 100–101 . ISBN 9781466504295。

[fuller-104] フラー、バックムスター（1975）。『シナジェティクス：思考の幾何学の探求』マクミラン出版。173ページ。ISBN 9780020653202。

[marar-105] Marat, Ton (2022). A Ludic Journey into Geometric Topology . Springer. p. 112. doi : 10.1007/978-3-031-07442-4 . ISBN 9783031074424。

[bh-106] Bunde, Armin; Havlin, Shlomo (2013). Fractals in Science . Springer. p. 7. ISBN 9783642779534。

[husain-107] Husain, Sakhlaq (2025). "On Jerusalem Square Fractal, Its Construction and Properties" . Annals of Communications in Mathematics . 8 (2): 293– 298. doi : 10.62072/acm.2025.080211 . ISSN 2582-0818 .

[ra-108] レゲイロ、マヌエル・ディアス、アレゲ、ルイス・ディアス（2023年7月7日）。「メンガー型フラクタル構造を拡張するためのアルゴリズム」（PDF）。Hyperseeing ：SMI-SCULPT 2023：シェイプモデリング国際2023、レイアウト、プログラム、テクノロジーを用いたシェイプ作成（SCULPT）イベント：国際芸術・数学・建築学会第22回学際会議（PDF）。pp . 55–62。ISBN 9781387733309。

[barnes-109] ジョン・バーンズ (2012)。幾何学の宝石(第 2版)。スプリンガー。 p. 82.土井：10.1007/978-3-642-30964-9。ISBN 9783642309649。

[

[

[

4

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[

[

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]

[

[

[

[

[

[

[

[

[

[

[ 45 ]

技術的な立方体には、

[ 46 ]

[

[

[

[

[

[

[

[ 55 ]

[ 56 ]

[ 57 ]

[ 58 ]

59

[ 60 ]

[ 61 ]

[ 62 ]

[ 63 ]

[ 64 ]

[ 65 ]

66

を

[

[ 69 ]

[ 70 ]

[ 71 ]

[ 72 ]

[ 73 ]

[ 74 ]

[ 75 ]

クリートープ

[

[ 78 ]

[ 79 ]

[ 80 ]

[ 81 ]

[ 82 ]

[ 83 ]

[ 84 ]

[

[ 86 ]

[

[

[

[

[ 91 ]

[

[

[

[ 95 ]

[ 96 ]

[ 97 ]

[ 98 ]

[ 99 ]

[ 100 ]

Cube

Properties

測定

単位立方体

対称

出演

大衆文化において

自然と科学において

古代において

建設

表現

グラフとして

直交投影において

構成マトリックスとして

関連トピック

多面体の構築

多角形

空間を埋める

雑録

関連項目

参考文献

外部リンク

関連するトピック

three-dimensional

geometry

square

polyhedron