二面角

二面角は、交差する2 つの平面または半平面の間の角度です。化学では、2 つの原子を共有する3 つの原子の 2 組を通る半平面間の時計回りの角度です。立体幾何学では、 1 本の線と、この線を共通の辺とする 2 つの半平面の結合として定義されます。より高次元では、二面角は 2 つの超平面間の角度を表します。飛行機の平面は、右舷と左舷の両方の主平面 (一般に「翼」と呼ばれます) が横軸に対して上向きに傾斜している場合、正の二面角にあると言われます。下向きに傾斜している場合は、負の二面角にあると言われます。

二つの交差する平面が直交座標で二つの方程式 によって表される場合、

${\displaystyle a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0}$

${\displaystyle a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0}$

それらの間の二面角は次のように表される: ${\displaystyle \varphi}$

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {\left\vert a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}\right\vert }{{\sqrt {a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}{\sqrt {a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}}}}$

および が満たす角度はおよびに依存しないことが容易にわかります。 ${\displaystyle 0\leq \varphi \leq \pi /2.}$${\displaystyle d_{1}}$${\displaystyle d_{2}}$

あるいは、n _Aとn _Bが平面の法線ベクトルである場合、

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {\left\vert \mathbf {n} _{\mathrm {A} }\cdot \mathbf {n} _{\mathrm {B} }\right\vert }{ |\mathbf {n} _{\mathrm {A} }||\mathbf {n} _{\mathrm {B} }|}}}$

ここでn _A  ·  n _Bはベクトルの内積であり、 | n _A | | n _B |はベクトルの長さの積である。^[1]

上記の式では絶対値が必要です。1 つの方程式内のすべての係数の符号を変更したり、1 つの法線ベクトルをその反対のベクトルに置き換えたりしても、平面は変更されないためです。

しかし、境界が同じ線である2つの半平面の二面角を考える場合、絶対値は避けるべきです。この場合、半平面は交点Pと、交線、最初の半平面、 2番目の半平面にそれぞれ属するP + b ₀、P + b ₁、P + b ₂の3つのベクトルb ₀、b ₁、b ₂で表すことができます。これらの2つの半平面の二面角は次のように定義されます 。

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {(\mathbf {b} _{0}\times \mathbf {b} _{1})\cdot (\mathbf {b} _{0}\times \mathbf {b} _{2})}{|\mathbf {b} _{0}\times \mathbf {b} _{1}||\mathbf {b} _{0}\times \mathbf {b} _{2}|}}}$、

であり、 を満たします。この場合、2 つの半平面を入れ替えても同じ結果になり、を に置き換えても同じ結果になります。化学では (下記参照)、を に置き換えると角度の符号が変わり、 − πからπまでの範囲になるような二面角を定義します。 ${\displaystyle 0\leq \varphi <\pi .}$${\displaystyle \mathbf {b} _{0}}$${\displaystyle -\mathbf {b} _{0}.}$${\displaystyle \mathbf {b} _{0}}$${\displaystyle -\mathbf {b} _{0}}$

高分子物理学などの一部の科学分野では、点の連鎖と連続する点の間のリンクを考慮することがあります。点に連続番号が付けられ、位置r ₁、r ₂、r ₃などにある場合、結合ベクトルは、より一般的には、 u ₁ = r ₂ − r ₁、u ₂ = r ₃ − r ₂、およびu _i = r _i+1 − r _iで定義されます。^{[2]これは、}タンパク質構造内の運動連鎖またはアミノ酸の場合です。これらの場合、連続する 3 つの点によって定義される半平面と、連続する 2 つの半平面間の二面角に関心が寄せられることがよくあります。u ₁、u ₂、u ₃が3つの連続する結合ベクトルである場合、半平面の交差は方向付けられ、区間（−π 、 π ]に属する二面角を定義することができます。この二面角は^{[3]で定義されます。}

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos \varphi &={\frac {(\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\cdot (\mathbf {u} _ {2}\times \mathbf {u} _{3})}{|\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2}|\,|\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3}|}}\\\sin \varphi &={\frac {\mathbf {u} _{ 2}\cdot ((\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\times (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3}))}{|\mathbf {u} _{2}|\,|\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _ {2}|\,|\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3}|}},\end{aligned}}}$

または、関数atan2を使用して、

${\displaystyle \varphi =\operatorname {atan2} (\mathbf {u} _{2}\cdot ((\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\times (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})),|\mathbf {u} _{2}|\,(\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\cdot (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})).}$

この二面角は、チェーンの方向 (点が考慮される順序) に依存しません。この順序を逆にするには、各ベクトルをその反対のベクトルに置き換え、インデックス 1 と 3 を交換します。両方の操作でコサインは変わりませんが、サインの符号は変わります。したがって、これらを一緒にしても角度は変わりません。

同じ二面角に対するより簡単な式は次の通りです（証明は下記に示します）。

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos \varphi &={\frac {(\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\cdot (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})}{|\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2}|\,|\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3}|}}\\\sin \varphi &={\frac {|\mathbf {u} _{2}|\,\mathbf {u} _{1}\cdot (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})}{|\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2}|\,|\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3}|}},\end{aligned}}}$

または同等に、

${\displaystyle \varphi =\operatorname {atan2} (|\mathbf {u} _{2}|\,\mathbf {u} _{1}\cdot (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3}),(\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\cdot (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})).}$

これは、ベクトルの四重積の公式と、同じベクトルが 2 つ含まれている場合は スカラーの三重積が 0 になるという事実を使用して、前の公式から推測できます。

${\displaystyle (\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\times (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})=[(\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})\cdot \mathbf {u} _{1}]\mathbf {u} _{2}-[(\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})\cdot \mathbf {u} _{2}]\mathbf {u} _{1}=[(\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})\cdot \mathbf {u} _{1}]\mathbf {u} _{2}}$

外積の定義から、これは、2 番目の原子から 3 番目の原子に向かって軸を見下ろした際に、1 番目の原子と比較した 4 番目の原子の時計回り方向の角度であることを意味します。特殊なケース (通常のケースとも言える) は、、およびで、トランス、ゴーシュ⁺、およびゴーシュ⁻配座と呼ばれます。 ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi =\pi }$${\displaystyle \varphi =+\pi /3}$${\displaystyle \varphi =-\pi /3}$

立体化学において、ねじれ角は二面角の特定の例として定義され、化学結合によって結合した分子の2つの部分の幾何学的関係を説明します。^{[4] [5]}分子の3つの非共線的原子のすべてのセットは半平面を定義します。上で説明したように、2つのそのような半平面が交差する場合（つまり、4つの連続して結合した原子のセット）、それらの間の角度は二面角です。二面角は、分子の配座を指定するために使用されます。^{[6] 0°と±90°の間の角度に対応する} 立体化学配置はsyn（s）、±90°と180°の角度に対応するものはanti（a）と呼ばれます。同様に、30°と150°の間または-30°と-150°の間の角度に対応する配置はclin​​al （c）、0°と±30°または±150°と180°の間の配置はperiplanar （p）と呼ばれます。

2 種類の用語を組み合わせて、4 つの角度範囲を定義できます。0° ～ ±30° のシンペリプラナー (sp)、30° ～ 90° および -30° ～ -90° のシンクリナル (sc)、90° ～ 150° および -90° ～ -150° のアンチクリナル (ac)、±150° ～ 180° のアンチペリプラナー (ap)。シンペリプラナー配座は、シンまたはシス配座とも呼ばれ、アンチペリプラナーはアンチまたはトランス、シンクリナルはゴーシュまたはスキューとも呼ばれます。

たとえば、n-ブタンの場合、2 つの平面は、2 つの中心炭素原子といずれかのメチル炭素原子によって指定できます。上に示したsyn配座は、二面角が 60° で、二面角が 180° の anti配座よりも安定性が低くなります。

高分子の使用には、記号 T、C、G ⁺、G ⁻、A ⁺、A ⁻が推奨されます (それぞれ ap、sp、+sc、−sc、+ac、−ac)。

ラマチャンドランプロット（ラマチャンドラン図または[ φ , ψ ]プロットとも呼ばれる）は、1963年にGNラマチャンドラン、C.ラマクリシュナン、V.サシセカラン^{[7]によって開発されたもので、}タンパク質構造中のアミノ酸残基のφに対するバックボーン二面角ψのエネルギー的に許容される領域を視覚化する方法です。タンパク質鎖では、3つの二面角が定義されています。

• ^{ω（オメガ）は鎖C α} − C' − N − C ^αにおける角度であり、
• ^{φ（ファイ）は、連鎖C' − N − C α} − C'における角度である。
• ^{ψ（プサイ）は、N − C α} − C' − N（ラマチャンドランではφ′と呼ばれる）の連鎖における角度である。

右の図は、これらの角度のそれぞれの位置を示しています（ただし、角度の定義方法は正しく示されていません）。^[8]

ペプチド結合の平面性により、 ωは通常180°（典型的なトランスの場合）または0°（まれなシスの場合）に制限されます。トランス異性体とシス異性体のCα原子^間の距離は、それぞれ約3.8Åと2.9Åです。タンパク質中のペプチド結合の大部分はトランスですが、プロリンの窒素へのペプチド結合は、他のアミノ酸ペアと比較してシスの割合が高くなっています。 ^[9]

側鎖の二面角はχ _n（カイ二乗n）で示される。^[10]これらは 180°、60°、および -60° 付近に集まる傾向があり、それぞれトランス、ゴーシュ^-、およびゴーシュ⁺配座と呼ばれる。特定の側鎖二面角の安定性は、 φおよびψの値によって影響を受ける。^{[11]たとえば、} ψが -60° 付近にある場合、ゴーシュ⁺回転異性体の側鎖のC γと次の残基のバックボーン窒素との間に直接的な立体相互作用がある。^{[12]これは、}バックボーン依存回転異性体ライブラリの統計分布から明らかである。

すべての多面体には、その辺を共有する 2 つの面の関係を表す二面角が各辺に存在します。この二面角は面角とも呼ばれ、多面体に対する内角として測定されます。角度が 0° の場合、面の法線ベクトルが反平行で、面が互いに重なり合っていることを意味します。これは、多面体が退化した多面体の一部であることを意味します。角度が 180° の場合、タイル張りの場合のように、面が平行であることを意味します。多面体の凹部には、180° を超える角度が存在します。

辺推移多面体のすべての二面角は同じ値を持ちます。これには、5 つのプラトン立体、13 のカタラン立体、4 つのケプラー・ポアンソ多面体、2 つの準正多面体、および 2 つの準正双対立体が含まれます。

多面体の3つの面が共通の頂点Pで交わり、辺AP、BP、CPを持つ場合、APCとBPCを含む面間の二面角の余弦は次のように表される。^[13]

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {\cos(\angle \mathrm {APB} )-\cos(\angle \mathrm {APC} )\cos(\angle \mathrm {BPC} )}{\sin(\angle \mathrm {APC} )\sin(\angle \mathrm {BPC} )}}}$

これは球面余弦定理から推測できます。

• アトロプ異性体

• Tips.FM の木工における二面角
• 5 つの正多面体の分析により、これらの正確な値が段階的に導出されます。