等角図形

幾何学では、多面体（多角形や多面体など）やタイリングは 、図形の対称性の下ですべての頂点が同等である場合、等角面または頂点推移面と呼ばれます。これは、各頂点が同じ種類の面によって同じ順序または逆の順序で囲まれ、対応する面間の角度が同じであることを意味します。

技術的には、任意の 2 つの頂点に対して、最初の頂点を 2 番目の頂点に等長的に写像する多面体の対称性が存在すると言えます。別の言い方としては、多面体の自己同型群がその頂点に対して推移的に作用する、または頂点が単一の対称軌道内にある、というものがあります。

有限n次元等角図形のすべての頂点は( n −1)球面上に存在する。^[1]

等角形という用語は、多面体に対して長い間使用されてきました。頂点推移は、対称群やグラフ理論などの現代の概念から借用された同義語です。

擬菱形立方八面体 （等角ではない）は、「すべての頂点が同じように見える」と単純に主張することは、等長変換のグループが多面体またはタイリングを保存する、ここで使用されている定義ほど制限的ではないことを示しています。

すべての正多角形、アペイロゴン、正星型多角形は等角多角形です。等角多角形の双対は等軸多角形です。

長方形など、2 辺の長さが交互になる偶数辺の多角形やアピロゴンの中には、等角形と呼ばれるものもあります。

すべての平面等角 2 n角形は、中間辺の点を横切る反射線を持つ二面対称性(D _n、n  = 2、3、...) を持ちます。

等角多面体と 2D タイリングには、1 種類の頂点があります。すべての面が規則的な等角多面体は均一多面体でもあり、各頂点の周りの面を順序付ける頂点構成表記法で表すことができます。均一多面体とタイリングの幾何学的に歪んだバリエーションにも、頂点構成を与えることができます。

等角多面体と 2D タイリングはさらに次のように分類できます。

• 正多角形とは、多角形が等面体（面推移的）かつ等軸多角形（辺推移的）でもある場合を指します。これは、すべての面が同じ種類の正多角形であることを意味します。
• 等軸（辺推移的）であるが等面体（面推移的）ではない場合、準正則です。
• すべての面が正多角形であるが、 等面体(面推移的) または等軸(辺推移的) ではない場合、半正多角形です。(定義は著者によって異なります。たとえば、二面対称の立体や非凸立体を除外する著者もいます。)
• すべての面が正多角形、つまり正多角形、準正多角形、半正多角形である場合は均一です。
• その要素も等角である場合は半均一です。
• すべての辺の長さが同じであれば鱗状になります。
• 等面体（面推移的）でもある場合は、高貴です。

これらの定義は、高次元の多面体やモザイク状に拡張できます。すべての一様多面体は等角形です。たとえば、一様 4 多面体や凸一様ハニカムなどです。

等角多面体の双対は等面体図形であり、その面上で推移的です。

多面体またはタイルの頂点がk 個の推移性類を形成する場合、その多面体またはタイルはk等角形と呼ばれることがあります。より限定的な用語であるk均一は、正多角形のみで構成されたk 等角図形として定義されます。これらは、異なる均一な色付けによって色で視覚的に表現できます。

• エッジ推移（等倍図形）
• 面推移（等面体図形）

• ピーター・R・クロムウェル『多面体』ケンブリッジ大学出版局、1997年、ISBN 0-521-55432-2、369ページ 推移性 
• グリュンバウム、ブランコ、シェパード、GC（1987）。タイルとパターン。WHフリーマンアンドカンパニー。ISBN 0-7167-1193-1。(p. 33 k-等角タイリング、p. 65 k-均一タイリング)

• Weisstein、Eric W.「頂点推移グラフ」。MathWorld。
• 等角万華鏡多面体 Vladimir L. Bulatov、オレゴン州立大学物理学部、コーバリス、Mosaic2000、芸術と学際コンピューティングに関する千年紀公開シンポジウム、2000 年 8 月 21 ～ 24 日、ワシントン州シアトルで発表 VRML モデル
• スティーブン・ダッチはk-等角タイルを列挙するためにk-均一という用語を使用している。
• n 均一タイリングのリスト
• Weisstein、Eric W.「半正則テッセレーション」。MathWorld。(k-isogonal の代わりに k-uniform という用語も使用します)