アソシアヘドロン

数学において、連想面体 $K n$ $は(n - 2)$ 次元の凸多面体であり、各頂点は $n$ 文字の文字列に開始括弧と終了括弧を正しく挿入する方法に対応し、辺は連想規則の単一の適用に対応する。同様に、連想面体の頂点は $n$ $+ 1$ 辺の正多角形の三角形分割に対応し、辺は三角形分割から 1 つの対角線を削除して別の対角線に置き換える辺の反転に対応する。連想面体は、ジム・スタシェフの研究にちなんでスタシェフ多面体とも呼ばれる。スタシェフは、ドヴ・タマリ^[2]による初期の研究の後、1960 年代初頭^[1]に再発見した。

例

1 次元の連想面体K _{3 は}、3 つの記号の2 つの括弧 (( xy ) z ) と ( x ( yz ))、または正方形の 2 つの三角形分割を表します。それ自体は線分です。

2次元の連想面体K _{4 は、} 4つの記号の5つの括弧、または正五角形の5つの三角形分割を表します。それ自体が五角形であり、モノイドカテゴリの五角形図に関連しています。

3次元の連想面体K _{5は、9つの面（3つの互いに交わらない四辺形と6つの五角形）と14の頂点を持つ}九面体であり、その双対は三角柱である。

実現

当初、ジム・スタシェフはこれらのオブジェクトを曲線多面体とみなしました。その後、いくつかの異なる方法で凸多面体として座標が与えられました。概要については、Ceballos、Santos、Ziegler（2015）の序文を参照してください。^[3]

アソシアヘドロンを実現する方法の 1 つは、正多角形の二次多面体として実現することです。 ^{[3]この構成では、}n + 1 辺の正多角形の各三角形分割は、 ( n + 1) 次元ユークリッド空間内の点に対応し、そのi番目の座標は、多角形のi番目の頂点に接する三角形の合計面積です。たとえば、単位正方形の 2 つの三角形分割により、座標 (1, 1/2, 1, 1/2) と (1/2, 1, 1/2, 1) を持つ 2 つの 4 次元点が生成されます。これらの 2 つの点の凸包が、アソシアヘドロンK ₃の実現です。これは 4 次元空間に存在しますが、その空間内で線分 (1 次元多面体) を形成します。同様に、連想面体K _{4 は}、頂点座標がベクトル (1, 2 + φ, 1, 1 + φ, 1 + φ) の巡回順列である 5 次元ユークリッド空間の正五角形としてこのように実現できます。ここで、 φ は黄金比を表します。正六角形内の可能な三角形は、互いに整数倍の面積を持つため、この構成を使用して、3 次元の連想面体K ₅に整数座標 (6 次元) を与えることができます。ただし、( K ₄の例がすでに示すように) この構成は一般に、座標として無理数をもたらします。

ジャン＝ルイ・ローデイによるもう一つの実現は、連想面体の頂点とn葉の根付き二分木との対応に基づいており、( n −2)次元空間の整数座標を直接生成する。ローデイの実現におけるi番目の座標はa _i b _iであり、ここでa _iは木のi番目の内部ノードの左の子の葉の子孫の数（左から右の順）であり、b _iは右の子の葉の子孫の数である。^[4]

全ての面法線ベクトルの座標が0、+1、または-1である多面体として、アソシアヘドロンを( n −2)次元空間で直接実現することが可能である。これを実現するには、組み合わせ的に異なる方法が指数関数的に多く存在する。^[3]^[5]

K ₅は3つの辺が集まる頂点のみを持つ多面体であるため、K ₅の骨格によって化学構造が表される炭化水素（プラトン炭化水素に類似）が存在する可能性がある。^[6]この「アソシアヘドラン」C ₁₄ H _{14 は、}SMILES表記法でC12-C3-C4-C1-C5-C6-C2-C7-C3-C8-C4-C5-C6-C78となる。辺の長さはほぼ等しいが、各面の頂点は必ずしも同一平面上にあるとは限らない。

実際、K _{5 は}ジョンソン立体に近づきつつあるものです。正方形と正五角形から作れそうな気がしますが、そうではありません。頂点が完全に同一平面にならないか、面が規則性から少し歪む必要があります。

数け-顔

n次(Kn ₊₁ )の連想面体の( n − k )次元面の数は、右に示す数三角形^[7] ( n , k )で与えられる。

K _{n +1}の頂点の数は、 n番目のカタラン数(三角形の右対角線) です。

K _n₊₁ ( n ≥ 2)の面の数は、 n番目の三角数から 1 を引いた数 (三角形の 2 番目の列) です。これは、各面が、最初と最後の要素を含む 2 部分集合を除き、グループ化されて Tamari 格子 T _{n を}形成するn個のオブジェクトの2部分集合に対応するためです。

すべての次元の面の数（面としての連想面体自体を含むが、空集合は含まない）はシュレーダー・ヒッパルコス数（三角形の行の和）である。^[8]

直径

1980年代後半、回転距離の問題に関連して、ダニエル・スレイター、ロバート・タージャン、ウィリアム・サーストンは、 n次元連想面体K _{n + 2}の直径は、 nが無限個ある場合とnが「十分に大きい」すべての値に対して、最大で2 n − 4であることを証明しました。^[9]彼らはまた、この上限はnが十分に大きい場合に厳しいことを証明し、「十分に大きい」とは「9より厳密に大きい」ことを意味すると推測しました。この推測は2012年にライオネル・ポーニンによって証明されました。^[10]

散乱振幅

2017年に、ミゼラ^[11]とアルカニ・ハメドら^[12]は、双随伴立方スカラー理論の散乱振幅理論において、アソシアヘドロン（associahedron）が中心的な役割を果たすことを示しました。特に、散乱運動学の空間にはアソシアヘドロン（associahedron）が存在し、ツリーレベルの散乱振幅は双対アソシアヘドロンの体積です。^{[12]アソシアヘドロンは、}弦理論における開いた弦と閉じた弦の散乱振幅の関係を説明するのにも役立ちます。^[11]

参照

環状の多面体、つまり定義により括弧を循環的に折り返すことができる多面体。
フリップグラフ、連想面体の1 スケルトンの一般化。
パーミュートヘドロンは、結合法則から結合面体を定義するのと同様に、交換法則から定義される多面体です。
Permutoassociahedron は、頂点が括弧で囲まれた順列である多面体です。
タマリ格子、グラフが連想面体の骨格となる格子。

参考文献

^ Stasheff, James Dillon (1963)、「 H空間のホモトピー結合性。I、II」、アメリカ数学会誌、108 : 293–312、doi :10.2307/1993609、MR 01584001961 年のプリンストン大学博士論文、MR 2613327 を改訂。
^ Tamari、Dov (1951)、Monoïdes préordonnés et Chaînes de Malcev、Thèse、パリ大学、MR 0051833。
^ abc Ceballos, Cesar; Santos, Francisco ; Ziegler, Günter M. (2015)、「アソシアヘドロンの多くの非同等な実現」、Combinatorica、35 (5): 513–551、arXiv : 1109.5544、doi : 10.1007/s00493-014-2959-9。
^ Loday, Jean-Louis (2004)、「Stasheff 多面体の実現」、Archiv der Mathematik、83 (3): 267–278、arXiv : math/0212126、doi : 10.1007/s00013-004-1026-y、MR 2108555。
^ Hohlweg, Christophe; Lange, Carsten EMC (2007)、「アソシアヘドロンおよびサイクロヘドロンの実現」、Discrete & Computational Geometry、37 ( 4): 517–543、arXiv : math.CO/0510614、doi : 10.1007 /s00454-007-1319-6、MR 2321739。
^ ミニフラーレンに関する IPME 文書 - 30 ページ (この PDF の 9 ページ) の「7. 14 個の炭素原子からなるフラーレン C ₁₄」の「b) 底が切り取られた三角双錐 (図 16)」の項にK ₅多面体が示されている。
^ Sloane, N. J. A. (編)。「シーケンス A033282 (行で読み取る三角形: T(n, k) は、凸 n 角形を k+1 個の領域に分割する対角線の数です。)」。整数シーケンスのオンライン百科事典。OEIS Foundation。
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^ スレイター、ダニエル;タージャン、ロバート;サーストン、ウィリアム(1988)、「回転距離、三角測量、双曲幾何学」、アメリカ数学会誌、1 (3): 647–681、doi : 10.1090/S0894-0347-1988-0928904-4、MR 0928904。
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外部リンク

ブライアン・ジェイコブス。「Associahedron」。MathWorld。
奇妙な連想 -ビル・カッセルマンによる Associahedra に関する 2007 AMS コラム
ツィーグラーの連想面体に関する講義。2009年にバルセロナ自治大学で行われたギュンター・ツィーグラーの講義のメモ。
アソシアヘドラとシクロヘドラに関する講義。MSRI 講義ノート。

[1] Stasheff, James Dillon (1963)、「 H空間のホモトピー結合性。I、II」、アメリカ数学会誌、108 : 293–312、doi :10.2307/1993609、MR 01584001961 年のプリンストン大学博士論文、MR 2613327 を改訂。

[2] Tamari、Dov (1951)、Monoïdes préordonnés et Chaînes de Malcev、Thèse、パリ大学、MR 0051833。

[csz-3] Ceballos, Cesar; Santos, Francisco ; Ziegler, Günter M. (2015)、「アソシアヘドロンの多くの非同等な実現」、Combinatorica、35 (5): 513–551、arXiv : 1109.5544、doi : 10.1007/s00493-014-2959-9。

[4] Loday, Jean-Louis (2004)、「Stasheff 多面体の実現」、Archiv der Mathematik、83 (3): 267–278、arXiv : math/0212126、doi : 10.1007/s00013-004-1026-y、MR 2108555。

[5] Hohlweg, Christophe; Lange, Carsten EMC (2007)、「アソシアヘドロンおよびサイクロヘドロンの実現」、Discrete & Computational Geometry、37 ( 4): 517–543、arXiv : math.CO/0510614、doi : 10.1007 /s00454-007-1319-6、MR 2321739。

[6] ミニフラーレンに関する IPME 文書 - 30 ページ (この PDF の 9 ページ) の「7. 14 個の炭素原子からなるフラーレン C ₁₄」の「b) 底が切り取られた三角双錐 (図 16)」の項にK ₅多面体が示されている。

[7] Sloane, N. J. A. (編)。「シーケンス A033282 (行で読み取る三角形: T(n, k) は、凸 n 角形を k+1 個の領域に分割する対角線の数です。)」。整数シーケンスのオンライン百科事典。OEIS Foundation。

[8] Holtkamp, Ralf (2006)、「自由オペラド上のホップ代数構造について」、Advances in Mathematics、207 (2): 544–565、arXiv : math/0407074、doi : 10.1016/j.aim.2005.12.004、MR 2271016。

[9] スレイター、ダニエル;タージャン、ロバート;サーストン、ウィリアム(1988)、「回転距離、三角測量、双曲幾何学」、アメリカ数学会誌、1 (3): 647–681、doi : 10.1090/S0894-0347-1988-0928904-4、MR 0928904。

[10] Pournin, Lionel (2014)、「連想面体の直径」、Advances in Mathematics、259 : 13–42、arXiv : 1207.6296、doi : 10.1016/j.aim.2014.02.035、MR 3197650。

[Mizera_2017-11] Mizera, Sebastian (2017). 「Kawai-Lewellen-Tye関係の組合せ論とトポロジー」. Journal of High Energy Physics . 2017 :97. arXiv : 1706.08527 . doi :10.1007/JHEP08(2017)097.

[Arkani-Hamed_et_al._2017-12] Arkani-Hamed, Nima; Bai, Yuntao; He, Song; Yan, Gongwang (2018)、「散乱形態と運動学、色、およびワールドシートの正の幾何学」、Journal of High Energy Physics、2018：96、arXiv：1711.09102、doi：10.1007 / JHEP05（2018）096。