Loading article…
数学、特に多面体組み合わせ論において、ゴールドバーグ多面体は六角形と五角形から構成される凸多面体である。これらは1937年にマイケル・ゴールドバーグ（1902–1990）によって初めて記述された。ゴールドバーグ多面体は、次の3つの性質によって定義される。各面は五角形または六角形であり、各頂点にはちょうど3つの面が交わり、回転二十面体対称性を持つ。必ずしも鏡面対称であるとは限らない。例えば、GP(5,3)とGP(3,5)は互いに鏡像関係にある。ゴールドバーグ多面体は測地線多面体の双対多面体である。
オイラーの多面体公式の帰結として、ゴールドバーグ多面体は常に正確に12個の五角形の面を持つ。正二十面体の対称性により、五角形は常に正五角形であり、その数も常に12個となる。頂点が球面上に限定されない場合、多面体は平面上の正三角形（ただし、一般には等角ではない）の面で構成される。
ゴールドバーグ多面体の簡単な例としては、正十二面体と切頂二十面体があります。その他の形状は、チェスのナイトが1つの五角形から次の五角形へ移動する様子で表すことができます。まず、一方の方向にmステップ進み、次に左に60°回転してnステップ進みます。このような多面体はGP( m , n )と表記されます。正十二面体はGP(1,0)、切頂二十面体はGP(1,1)です。
同様の手法を用いて、正四面体対称性および正八面体対称性を持つ多面体を構築できます。これらの多面体は、五角形ではなく三角形または正方形を持ちます。これらのバリエーションには、六角形以外の面の辺の数を示すローマ数字の添え字が付けられます。GP III ( n , m )、GP IV ( n , m )、GP V ( n , m )。
GP( m , n )の頂点、辺、面の数は、 mとnから計算できます。 3 つの対称システムのいずれかに応じて: [ 1 ] 非六角形の面の数は、ここで示されているように、オイラー特性を使用して決定できます。
ほとんどのゴールドバーグ多面体は、(T)四面体、(C)立方体、(D)十面体のシードから始まるコンウェイ多面体表記を使用して構築できます。面取り演算子c は、すべての辺を六角形に置き換え、GP( m , n )をGP(2 m ,2 n )に変換し、T乗数は 4 です。切り詰められた kis演算子y = tk は、GP(3,0)を生成し、 GP( m , n )をGP(3 m ,3 n )に変換し、T乗数は 9 です。
クラス 2 形式の場合、双対 kis演算子z = dkは、T乗数が3 のGP( a ,0)をGP( a , a )に変換します。クラス 3 形式の場合、 whirl演算子wは、T乗数が 7 のGP(2,1)を生成します。時計回りおよび反時計回りの whirl ジェネレータw w = wrwは、クラス 1 でGP(7,0)を生成します。一般に、whirl は、 a > bで同じカイラル方向の場合、GP( a , b ) を GP( a + 3 b , 2 ab ) に変換できます。カイラル方向が反転すると、a ≥ 2 bの場合はGP ( 2 a + 3 b , a − 2 b )になり、a < 2 bの場合はGP ( 3 a + b , 2 b − a )になります。
クラスIゴールドバーグ多面体は、n = 0となるGP( m , n )である。
クラスIIゴールドバーグ多面体は、m = nとなるGP( m , n )である。
クラスIIIゴールドバーグ多面体は、m ≠ nであり、どちらもゼロではないGP( m , n )である。
