柔軟な多面体

幾何学において、柔軟な多面体とは、境界辺を持たない多面体の表面であり、そのすべての面の形状を変えずに形状を連続的に変化させることができる。コーシーの剛性定理は、次元 3 ではそのような多面体が凸型になることはできないことを示している(これは高次元でも同様である)。

柔軟な多面体の最初の例は、現在ブリカール八面体と呼ばれ、ラウル・ブリカール（1897）によって発見されました。これらは、八面体と等長の自己交差面です。柔軟な非自己交差面の最初の例であるコネリー球は、ロバート・コネリー（1977）によって発見されました。ステフェンの多面体は、ブリカール八面体から派生したもう1つの非自己交差柔軟な多面体です。^[1] $\mathbb {R} ^{3}$

ベローズ予想

1970 年代後半、コネリーとD. サリバンは、柔軟な多面体の体積は曲げに対して不変であるというベローズ予想を定式化しました。この予想は、球に同相な多面体についてI. Kh. サビトフ (1995) によって消去法を用いて証明され、その後、ロバートコネリー、I. サビトフ、およびアンケウォルツ (1997) によって、一般的な有向2 次元多面体表面について証明されました。この証明は、四面体の体積に関するピエロデラフランチェスカの公式を、任意の多面体の体積に関する公式に拡張したものです。拡張された公式は、体積は、係数が多面体の辺の長さのみに依存する多項式の根でなければならないことを示しています。多面体が曲がっても辺の長さは変化しないため、体積は連続的に変化するのではなく、多項式の有限個の根のうちの1つに留まらなければならない。^[2]

はさみ合同

コネリーは、柔軟な多面体のデーン不変量は曲げに対して不変であると予想した。これは、強いベローズ予想、または（2018年に証明されてからは）強いベローズ定理として知られていた。^[3]柔軟な多面体のすべての構成は同じ体積と同じデーン不変量を持つため、それらは互いに合同なはさみであり、つまり、これらの構成の任意の2つについて、そのうちの1つを多面体ピースに分解し、それらを再構成してもう1つを形成できる。柔軟な多面体の全平均曲率は、辺の長さと外部二面角の積の合計として定義され、多面体が曲がっている間も一定のままであることが知られているデーン不変量の関数である。^[4]

一般化

4 次元ユークリッド空間と 3 次元双曲空間における柔軟な4 次元多面体は、 Hellmuth Stachel (2000)によって研究されました。次元では、柔軟な多面体は Gaifullin (2014) によって構築されました。 $n\geq 5$

参照

参考文献

注記

^ アレクサンドロフ（2010年）。
^ デメイン＆オルーク（2007年）。
^ Gaĭfullin & Ignashchenko (2018).
^ アレクサンダー（1985年）。

一次資料

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ガイフリン、AA; Ignashchenko、LS (2018)、「柔軟な多面体のデーン不変式とはさみの合同」、Trudy Matematicheskogo Instituta Imeni VA Steklova、302 (Topologiya i Fizika): 143–160、doi :10.1134/S0371968518030068、ISBN 5-7846-0147-4、MR 3894642。
サビトフ、I.Kh。[ロシア語] (1995)、「変形可能な多面体の体積の不変性の問題について」、Rossiĭskaya Akademiya Nauk。モスコフスコエ・マテマチェスコエ・オブシチェストヴォ。ウスペキ・マテマチェスキフ・ナウク、50 (2): 223–224、ISSN 0042-1316、MR 1339277
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二次資料

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コネリー、ロバート(1993)、「剛性」(PDF)、凸幾何学ハンドブック、第 A 巻、第 B 巻、アムステルダム: 北ホラント、pp. 223–271、MR 1242981。
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外部リンク

Weisstein, Eric W.、「柔軟な多面体」（「ベローズ予想」）（MathWorld）

[FOOTNOTEAlexandrov2010-1] アレクサンドロフ（2010年）。

[FOOTNOTEDemaineO'Rourke2007-2] デメイン＆オルーク（2007年）。

[FOOTNOTEGaĭfullinIgnashchenko2018-3] Gaĭfullin & Ignashchenko (2018).

[FOOTNOTEAlexander1985-4] アレクサンダー（1985年）。