三十面体

三十面体
三十面体
タイプ	カタロニアのソリッドクリー; トープ
顔	60二等辺三角形
エッジ	90
頂点	32
対称グループ	二十面体対称性
二面角（度）	160°36'45.188"
二重多面体	切頂十二面体
プロパティ	凸面 ; 推移
ネット

幾何学において、三十面体（さんじゅうにんたい、英: triakis icosahedron）は、60 個の二等辺三角形の面を持つアルキメデスの双対立体、またはカタラン立体である。双対立体は切頂十二面体である。また、キシコサヘドロンとも呼ばれる。 [ ^1]正三角形の面を持つ非凸形状で、レオナルドダヴィンチがルカパチョーリの『神の比例』の中で初めて描き、そこではicosahedron elevatumと名付けられた。^[2]A 型肝炎ウイルスのカプシドは三十面体の形状をしている。^[3]

クリートープとして

三角錐を正二十面体の各面に接着することで三角錐を形成できる。これらの錐の底面に対する高さに応じて、結果は凸型にも非凸型にもなる。各面に錐を接着するこの構造は、クリートープと呼ばれる一般的な構造の一例であり、三角錐二十面体は二十面体のクリートープである。^{[2]この解釈は、三角形の面を持つ多面体のクリートープを表すのに使われる}「トリアキス」という名前にも表れている。^[1]

レオナルドの形式で描かれた正三角形の面を持つ非凸デルタ面体の例であり、等面体（すべての面が互いに対称であることを意味する）である数少ない既知のデルタ面体の1つです。 ^[4]三十面体の別の非凸形式では、各ピラミッドに隣接する3つの三角形が同一平面上にあり、代わりに凸六角形の目に見える部分を形成すると考えることができます。これは、小さな三角二十面体と呼ばれる、20の六角形の面を持つ交差多面体です。^{[5]あるいは、同じ形の三十面体では、同一平面上の二等辺三角形の3つが、二十面体の最初の}星型の面を形成します。^[6]もう一つの非凸形状は、金色の二等辺三角形の面を持ち、 12個の五芒星の面を持つケプラー・ポアンソ多面体である大星型十二面体の外殻を形成します。^[7]

三角二十面体の各辺の端点の総次数は少なくとも 13 である。コッツィグの定理によれば、これはあらゆる多面体で可能な最大数である。最小次数が 5 であるあらゆる多面体のクリートープから同じ総次数が得られるが、三角二十面体はこの構成の最も単純な例である。^[8]このクリートープは二等辺三角形の面を持つが、これにクリートープ構成を繰り返すと、すべてが二等辺ではない三角形の面を持つ凸多面体が得られる。^[9]

カタルーニャの堅実な

三十面体はカタラン立体で、切頂十二面体の双対多面体です。切頂十二面体はアルキメデス立体で、面が正十角形と正三角形で、すべての辺の長さが単位です。頂点は共通の球面、つまり切頂十二面体の外接球面上にあります。この球面を通るこの立体の極往復は三十面体の凸形状で、すべての面が同じ球面に接し、内接球面になります。座標と寸法は次のように計算できます。

を黄金比とします。この形の三十面体の短辺の長さは $\varphi$

{\frac {5\varphi +15}{11}}\approx 2.099

、

長辺の長さは

\varphi +2\approx 3.618

^[10 ]

その面は二等辺三角形で、1つの鈍角は

\cos^{-1}{\frac {-3\varphi}{10}}\approx 119^{\circ}

そして2つの鋭角

\cos^{-1}{\frac {\varphi +7}{10}}\approx 30.5^{\circ}

^[11 ]

カタラン立体として、その二面角はすべて等しく、160°36'45.188"です。原点を中心とした三十面体の頂点の32個の直交座標の1つの可能なセット（上記とは異なるスケール）は、2つの適切なスケールのプラトン立体、正二十面体と正十二面体の頂点を組み合わせることによって生成できます。^[12] $\cos ^{-1}{\frac {\varphi ^{2}(1+2\varphi (2+\varphi ))}{\sqrt {(1+5\varphi ^{4})( 1+\varphi ^{2}(2+\varphi )^{2})}}}\およそ$

正二十面体の12の頂点を単位円周半径にスケールしたもので、座標は次の通り。 ${\frac {(0,\pm 1,\pm \varphi )}{\sqrt {\varphi ^{2}+1}}},{\frac {(\pm 1,\pm \varphi , 0)}{\sqrt {\varphi ^{2}+1}}},{\frac {(\pm \varphi ,0,\pm 1)}{\sqrt {\varphi ^{2}+1}}}.$
正十二面体の20の頂点を、座標と円周半径を持つようにスケールしたもの。 ${\frac {2+\varphi }{3+2\varphi }}{\sqrt {\frac {3}{2-1/\varphi }}}={\frac {1}{11}}{\sqrt {75+6{\sqrt {5}}}}\approx 0.8548,$ $(\pm 1,\pm 1,\pm 1){\frac {\sqrt {25+2{\sqrt {5}}}}{11}}$ $(0,\pm \varphi ,\pm {\frac {1}{\varphi }}){\frac {\sqrt {25+2{\sqrt {5}}}}{11}},(\pm {\frac {1}{\varphi }},0,\pm \varphi ){\frac {\sqrt {25+2{\sqrt {5}}}}{11}},(\pm \varphi ,\pm {\frac {1}{\varphi }},0){\frac {\sqrt {25+2{\sqrt {5}}}}{11}}.$

対称

標準的な凸型または非凸型のいずれの場合でも、三十面体は正二十面体と同じ対称性を持ちます。^[4]二十面体の 3種類の対称軸は、2つの反対の頂点、辺の中点、面の重心を通るもので、それぞれ三十面体の10次頂点の反対のペアを通る軸、10次頂点間の辺の反対の中点を通る軸、および3次頂点の反対のペアを通る軸になります。

参照

他の「トリアキス」多面体フォーム用のトリアキス三角形タイリング。
大三角二十面体

参考文献

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[5] Grünbaum, Branko (2008). 「多面体のどの面にも多くの辺があるか?」.幾何学、ゲーム、グラフ、教育。The Joe Malkevitch Festschrift。Joe Fest 2008 の論文、ヨークカレッジ–ニューヨーク市立大学 (CUNY)、ジャマイカ、ニューヨーク、米国、2008 年 11 月 8 日。マサチューセッツ州ベッドフォード: Comap, Inc. pp. 9–26。hdl : 1773/ 4593。ISBN 978-1-933223-17-9. Zbl 1185.52009.

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[7] Wenninger, Magnus (1974). 「22: 大きな星型十二面体」.多面体モデル. ケンブリッジ大学出版局. pp. 40–42. ISBN 0-521-09859-9。

[8] Zaks, Joseph (1983). 「Kotzigの定理の拡張」.イスラエル数学ジャーナル. 45 (4): 281–296. doi : 10.1007/BF02804013 . hdl : 10338.dmlcz/127504 . MR 0720304.

[9] Eppstein, David (2021). 「二等辺三角形による多面体の実現について」.グラフと組合せ論. 37 (4): 1247–1269. arXiv : 2009.00116 . doi :10.1007/s00373-021-02314-9.

[10] Weisstein, Eric W.「Triakis icosahedron」. MathWorld .

[11] ウィリアムズ、ロバート(1979)。自然構造の幾何学的基礎: デザインのソースブック。ドーバー出版、p. 89。ISBN 0-486-23729-X。

[12] Koca, Mehmet; Ozdes Koca, Nazife; Koc, Ramazon (2010). 「3Dルートシステムとクォータニオンから導出されたカタラン立体」.数理物理学ジャーナル. 51 (4). arXiv : 0908.3272 . doi :10.1063/1.3356985.