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幾何学において、一様多面体は正多角形を面とし、頂点推移性を持つ（任意の頂点を他の任意の頂点に写像する等長写像が存在する）。したがって、すべての頂点は合同である。一様多面体は、正多面体（面推移性と辺推移性も持つ場合）、準正多面体（辺推移性は持つが面推移性は持たない場合）、または半正多面体（辺推移性も面推移性も持たない場合）に分類される。面と頂点は凸である必要はないため、多くの一様多面体は星型多面体でもある。
均一多面体には 2 つの無限クラスがあり、その他 75 種類の多面体があります。これらは、2 つの無限クラスのプリズムと反プリズム、5 つのプラトン立体と 13 種類のアルキメデス立体( 2 つの準正多面体と 11 種類の半正多面体)のような凸多面体、4 つのケプラー・ポアンソ多面体と 53 種類の均一星型多面体( 14 種類の準正多面体と 39 種類の半正多面体) のような非凸星型多面体です。また、辺のペアが一致する退化した均一多面体も多数あり、その中にはジョン・スキリングが発見した、スキリングの図形と呼ばれる大ディスナブ二菱形十二面体も含まれています。[ 1 ]
正多面体の双対多面体は面推移的（等面体）であり、正多面体の頂点を持ち、一般的にその双対（正多面体）多面体と並行して分類されます。正多面体の双対は正多面体であり、アルキメデス立体の双対はカタラン立体です。
一様多面体の概念は、一様多面体の概念の特殊な場合であり、一様多面体は高次元（または低次元）空間における形状にも適用される。
多面体理論における根本的な問題はユークリッドに遡り、ケプラー、ポアンソ、コーシーなど多くの先人たちを経て、このテーマに関するあらゆる研究（筆者の研究も含む）を悩ませ続けている。それは、「正多面体」という用語の伝統的な用法が、構文と論理に反していたことに起因する。つまり、この言葉は、私たちが「多面体」と呼ぶ対象の中で、「正」と呼ばれるに値する特別なものを扱っているかのように思わせる。しかし、ユークリッド、ケプラー、ポアンソ、ヘス、ブリュックナーなど、どの段階においても、 著者たちは「正」多面体を見出す「多面体」とは何かを明確に定義できなかったのである。
コクセター、ロンゲ＝ヒギンズ、ミラー（1954）は、一様多面体を正則な面を持つ頂点推移的多面体と定義した。彼らは多面体を、多角形の各辺が他の1つの多角形の辺のみであるような多角形の有限集合と定義し、多角形の空でない真部分集合には同じ性質を持つものはないとした。多角形とは、暗黙のうちに3次元ユークリッド空間の多角形を意味しており、これらは非凸で互いに交差していてもよい。[ 2 ]
一様多面体の概念にはいくつかの一般化があります。連結性の仮定を外すと、一様複合多面体が得られ、これは5つの立方体の複合多面体のように、多面体の和集合として分割できます。多面体の実現が非退化であるという条件を外すと、いわゆる退化一様多面体が得られます。これらには、より一般的な多面体の定義が必要です。Grünbaum (1994)は多面体のかなり複雑な定義を与えましたが、 McMullen & Schulte (2002)はより単純で一般的な多面体の定義を与えました。彼らの用語では、多面体とは、非退化な3次元実現を持つ2次元の抽象的な多面体です。ここで、抽象多面体とは、さまざまな条件を満たすその「面」の半順序集合であり、実現とは、その頂点からある空間への関数であり、抽象多面体の任意の異なる2つの面が異なる実現を持つ場合、その実現は非退化であると呼ばれます。それらが退化するいくつかの方法は次のとおりです。
凸型の均一多面体は、正多面体に対するウィトフ構成操作によって命名することができる。
より詳細には、凸一様多面体は、各対称群内でのワイトホフ構成によって以下に示す。
ウィトホフ構成では、対称性の低い形状によって繰り返しが生じます。立方体は正多面体であり、正四角柱でもあります。正八面体は正多面体であり、反三角柱でもあります。また、正八面体は正四面体でもあります。多くの多面体は異なる構成元から繰り返され、それぞれ異なる色で表現されています。
ウィトホフ構成は、球面上の均一多面体と均一タイリングの両方に等しく適用できるため、両方の図を示します。球面タイリングには、退化多面体であるホソヘドラとダイヘドラの集合が含まれます。
これらの対称群は、 3 次元の反射点群から形成され、それぞれ基本三角形 ( p q r ) で表されます。ここで、p > 1、q > 1、r > 1、1 / p + 1/ q + 1/ r < 1 です。
残りの非反射形状は、偶数個の辺を持つ多面体に交代操作を適用することによって構築される。
球面ウィトフ構成法では、プリズムとその二面体対称性に加えて、多面体として退化する2つの正多面体クラス、すなわち二面体とホソヘドラ が加わります。前者は2つの面のみを持ち、後者は2つの頂点のみを持ちます。正ホソヘドラを切断することでプリズムが生成されます。
凸状の均一多面体の下には、対称性に基づいて表に示されている非プリズム形状に対応する1～18のインデックスが付けられています。
無限に存在する角柱状の形状は、以下の4つのグループに分類される。
そして、二面角対称性の例をいくつか挙げます。
（球面自体は切断されておらず、タイル張りの部分だけが切断されている。）（球面上では、辺とは2つの頂点間の最短経路である大円弧のことである。したがって、頂点が正反対の位置にある二角形は平面であり、辺のように見える。）
球の正四面体対称性により、5つの均一な多面体が生成され、さらにスナブ操作によって6番目の形状が生成されます。
正四面体対称性は、1 つの頂点に 2 つの鏡面、および 2 つの頂点に 3 つの鏡面を持つ基本三角形で表され、記号 (3 3 2) で表されます。また、コクセター群A 2または [3,3]、およびコクセター図:でも表すことができます。
テトラキス六面体の面と、球面上の交互に色分けされた三角形には、合計24個の三角形が見られます。
球の正八面体対称性により、7つの均一な多面体が生成され、さらに交互配置により7つの多面体が生成されます。これらの形状のうち6つは、上記の正四面体対称性表から繰り返されています。
正八面体対称性は、各頂点の鏡を数えた基本三角形 (4 3 2) で表されます。また、コクセター群B 2または [4,3]、およびコクセター図:でも表すことができます。
22面体の面と、球面上の交互に色分けされた三角形には、48個の三角形が見られます。
球の正二十面体対称性により、7つの均一な多面体が生成され、さらに交互配置により1つ追加されます。上記の正四面体および正八面体の対称性表から重複するのは1つだけです。
正二十面体対称性は、各頂点の鏡を数えた基本三角形 (5 3 2) で表されます。また、コクセター群G 2または [5,3]、およびコクセター図:でも表すことができます。
ディスディアキス三十面体の面や、球面上の交互に色分けされた三角形には、120個の三角形が見られます。 
球の二面体対称性により、2つの無限個の均一多面体（プリズムと反プリズム）と、球面上にタイル状に敷き詰められる2つの無限個の退化多面体（ホソヘドラとダイヘドラ）が生成される。
二面体対称性は、各頂点の鏡を数えた基本三角形 (p 2 2) で表されます。また、コクセター群I 2 (p) または [n,2]、およびプリズム型コクセター図:でも表すことができます。
以下は最初の 5 つの二面体対称性です: D 2 ... D 6。二面体対称性 D pは4n の位数を持ち、二重ピラミッドの面を表し、球面上では経度上の赤道線、および n 本の等間隔の経線として表されます。
正方両錐体（正八面体）の面や、球面上に交互に色分けされた三角形として見える、8つの基本的な三角形が存在する。
六角両錐の面や球面上の交互に色分けされた三角形には、12種類の基本的な三角形が見られます。
八角錐の面や球面上の交互に色分けされた三角形には、16種類の基本的な三角形が見られます。
十角両錐の面や球面上の交互に色分けされた三角形には、20個の基本的な三角形が見られる。
十二角錐の面や球面上の交互に色分けされた三角形には、24個の基本的な三角形が見られる。
