ミッドスフィア

幾何学において、凸多面体の中心球または中間球とは、その多面体のすべての辺に接する球のことです。すべての多面体に中心球があるわけではありませんが、正多面体、準正多面体、半正多面体、およびそれらの双対（カタラン立体）を含む一様な多面体はすべて中心球を持ちます。中心球の半径は中心半径と呼ばれます。中心球を持つ多面体は、この球を中心として内接していると言われます。^{[ 1 ]}

多面体に中心球がある場合、その中心球上に互いに直交する2つの円充填を形成できます。1つは多面体の頂点間の隣接関係に対応し、もう1つは同じ中心球を持つ極多面体に対応します。各多面体の辺の長さは、その2つの端点からこの円充填における対応する円までの距離の合計です。

すべての凸多面体には、辺の接点の重心を中心とする中球を持つ、組み合わせ論的に等価な正準多面体が存在する。数値近似アルゴリズムによって正準多面体を構築することはできるが、その座標を閉形式で正確に表現することはできない。任意の正準多面体とその極双対を用いて、4次元反角柱の対向する2つの面を形成することができる。

3次元凸多面体の中球は、その多面体のすべての辺に接する球として定義されます。つまり、各辺は、その辺の内部の点で中球に接し、交差してはなりません。言い換えれば、中球は、その多面体のすべての面の内接円を含む球です。 ^{[ 2 ]}中球が存在する場合、それは一意です。すべての凸多面体に中球があるわけではありません。中球を持つためには、すべての面に内接円（つまり、接多角形）があり、これらの内接円はすべて単一の球に属していなければなりません。たとえば、直方体は、それが立方体である場合にのみ中球を持ちます。そうでない場合、面は正方形でない長方形であり、これらの面には内接円がないからです。^{[ 3 ]}

デカルト座標系の原点を中心とする単位立方体で、8つの頂点が${\textstyle {\bigl (}{\pm {\tfrac {1}{2}}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}$辺の中点は距離${\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$原点から。したがって、この立方体の場合、中心球は原点を中心とし、半径は${\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$これは内接球の半径よりも大きい。$\textstyle {\frac {1}{2}}}$、外接球の半径よりも小さい。${\textstyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$より一般的には、辺の長さが の任意のプラトン立体に対して${\displaystyle \ell }$中間半径は^{[ 4 ]}

• ${\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{4}}\ell }$正四面体の場合、
• ${\textstyle {\frac {1}{2}}\ell }$正八面体の場合、
• ${\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\ell }$通常の立方体の場合、
• ${\textstyle {\frac {\varphi }{2}}\ell }$正二十面体の場合、${\displaystyle \varphi }$は黄金比を表し、
• ${\textstyle {\frac {\varphi ^{2}}{2}}\ell }$正十二面体の場合。

正多面体、準正多面体、半正多面体、およびそれらの双対を含む均一多面体はすべて中球を持つ。正多面体では、内接球、中球、外接球はすべて存在し、同心円状である[ 5 ^]。また、中球は各辺の中点で接する^{[ 6 ] 。}

すべての不規則な四面体に中心球があるわけではありません。中心球を持つ四面体は「クレレの四面体」と呼ばれ、すべての四面体の 6 次元空間 (6 つの辺の長さでパラメータ化される) の 4 次元サブファミリーを形成します。より正確には、クレレの四面体は、互いに外部で接する 4 つの球の中心によって形成される四面体です。この場合、四面体の 6 つの辺の長さは、これらの球の 4 つの半径のペアごとの合計になります。^{[ 7 ]}このような四面体の中心球は、4 つの生成球のうち 2 つが互いに接する点でその辺に接し、4 つの生成球すべてに垂直です。^{[ 8 ]}

円充填定理のより強い形式の一つである、平面グラフを接円のシステムで表現するという定理は、すべての多面体グラフは、中球を持つ多面体の頂点と辺で表現できると述べています。同様に、任意の凸多面体は、対応する頂点、辺、面を持ち、中球を持つ組み合わせ的に等価な形式に変換できます。結果として得られる多面体の地平線円は、立体投影によって、交点グラフが与えられたグラフとなるユークリッド平面上の円充填に変換できます。つまり、円同士は交差せず、対応する頂点が隣接している場合にのみ互いに​​接します。^{[ 13 ]}すべての多面体は中球を持つ組み合わせ的に等価な形式を持ちますが、内接球や外接球と等価な形式を持たない多面体もあります。^{[ 14 ]}

同じ面格子と中心球を持つ任意の 2 つの凸多面体は、中心球を同じ位置に残す 3 次元空間の射影変換によって互いに変換できます。この変換では球はそのままですが、球内の点はメビウス変換に従って移動します。^{[ 15 ]}中心球が単位球になるようにスケーリングされた中心球を持つ任意の多面体は、接点の重心が球の中心にある多面体にこのように変換できます。この変換の結果は、与えられた多面体の等価な形式であり、正準多面体と呼ばれ、組み合わせ的に等価なすべての多面体は、合同を除いて互いに同じ正準多面体を生成するという性質を持ちます。[16] 別の変換の選択により、中心球^{を持つ任意}の多面体は、頂点から中心球までの最小距離を最大化する多面体になります。これは線形時間で見つけることができ、この別の方法で定義された正準多面体は、同じ多面体のすべての組み合わせ的に等価な形式の中で最大の対称性を持つ。 ^{[ 17 ]}方向保存対称性の非巡回群を持つ多面体の場合、2 つの変換の選択は一致する。^{[ 18 ]}例えば、これら 2 つの方法のいずれかで定義された直方体の正準多面体は、重心から辺の中点までの距離が 1 で辺の長さが 1 の立方体である。$\displaystyle {\sqrt {2}}}$[ ^{19 ]​}

• 理想多面体とは、各頂点が無限遠の球面上にある双曲多面体のことである。