証明と反駁

『証明と反駁：数学的発見の論理』は、哲学者イムレ・ラカトシュが1976年に著した、数学の進歩に関する自身の見解を詳述した書籍。本書は、オイラーの多面体公式の証明案について議論する学生グループによるソクラテス式対話形式で書かれている。中心となるテーマは、定義は不変のものではなく、後の洞察、特に失敗した証明に基づいて修正される必要があるということである。このことが、数学にやや実験的な側面を与えている。序論の最後に、ラカトシュは、数学における形式主義に異議を唱え、非形式的な数学は「証明と反駁」の論理によって発展していくことを示すことが自身の目的であると説明している。

1976年に出版された『証明と反駁』は、彼が1961年に執筆した4章からなる博士論文『数学的発見の論理に関するエッセイ』の最初の3章に基づいている。しかし、その第1章は、 1963年から1964年にかけて『英国科学哲学ジャーナル』に4部構成で『証明と反駁』として初めて掲載された第1章を、ラカトシュ自身が改訂したものである。

本書では、多くの重要な論理的概念が説明されています。例えば、補題に対する反例（いわゆる「局所的反例」）と、攻撃対象となっている特定の予想に対する反例（この場合はオイラー標数に対する「大域的反例」）の違いについて議論されています。^{[ 1 ]}

ラカトシュは、発見的手法を用いた従来とは異なる教科書を提唱する。そのような教科書は長すぎると批判する人々に対し、彼は「このありきたりな議論への答えは、まず試してみよう、ということだ」と答える。

本書には2つの付録が含まれている。最初の付録では、ラカトシュは数学的発見における発見的プロセスの例を挙げている。2番目の付録では、演繹的アプローチと発見的アプローチを対比させ、一様収束、有界変動、可測集合のカラテオドリの定義など、「証明によって生成される」概念の発見的分析を提供している。

この本に登場する生徒たちの名前は、ギリシャ語のアルファベットの文字にちなんで付けられている。

本書は物語形式で書かれているが、「証明と反駁」に基づいた実際の調査方法を開発することを目的としている。付録Iで、ラカトシュはこの方法を以下の段階のリストで要約している。

1. 原始的な推測。
2. 証明（原始的な推測を部分的な推測に分解する、大まかな思考実験または議論）。
3. 「グローバルな」反例（原始的な予想に対する反例）が出現する。
4. 証明を再検討した結果、大域的反例が「局所的」反例となる「不正補題」が発見された。この不正補題はこれまで「隠蔽」されていたか、あるいは誤って認識されていた可能性がある。今回、それが明示され、原始的予想の条件として組み込まれた。この定理（改良された予想）は、証明によって新たに生成された概念を最も重要な新要素として、原始的予想に取って代わるものである。

彼はさらに、時折起こりうる段階について述べている。

5. 他の定理の証明を調べて、新たに発見された補題や、証明によって生成された新しい概念がそれらの証明の中に現れるかどうかを確認する。この概念は、異なる証明の交差点に位置している可能性があり、それによって基本的な重要性を持つものとして浮上する。
6. これまで受け入れられてきた、当初の仮説（現在は反証されている）の帰結が検証される。
7. 反例は新たな例へと転換され、新たな研究分野が開拓される。

1976年に出版されたこの本は、中国語、韓国語、セルビア・クロアチア語、トルコ語など、世界中で15以上の言語に翻訳され、2007年には中国語版の第2版が出版された。

多くの数学教師が、他の数学のトピックを教える際に、ラカトシュの証明と反駁の方法を教室で取り入れている。^{[ 2 ]}この方法は、高校生から大学生までの力学の問題解決の分析と提示にも応用されている。^{[ 3 ]}

アメリカ数学協会はこの本を「学部生向け数学図書館に必須」と考える書籍のリストに含めている。^{[ 4 ]}

• ラカトシュ、イムレ（1976）、『証明と反駁』、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-29038-4 ISBN​ 978-0-521-29038-8ジョン・ウォーラルとエリー・ザハールは、この遺作の編集者であった。
• Gábor Kutrovátz、Imre Lakatos の数学哲学、エトヴェシュ ロラン大学、2005 年。