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幾何学において、ブリカール八面体は、 1897年にラウル・ブリカールが構築した柔軟な多面体の一種である。 [1]これらの多面体の全体的な形状は、辺の長さや面の形状を変えることなく、連続的に変化することがある。[2] これらの八面体は、発見された最初の柔軟な多面体であった。[3]
ブリカール八面体は、6つの頂点、12の辺、8つの三角形の面を持ち、正八面体と同じようにつながっています。正八面体とは異なり、ブリカール八面体はすべて非凸の自己交差多面体です。コーシーの剛性定理によれば、柔軟な多面体は非凸でなければなりませんが、[3]自己交差のない柔軟な多面体も存在します。自己交差を避けるには、ブリカール八面体の6つの頂点よりも多くの頂点（少なくとも9つ）が必要です。[4]
ブリカールはこれらの八面体について記述した論文の中で、柔軟な八面体を完全に分類した。この分野における彼の研究は後にコレージュ・ド・フランスのアンリ・ルベーグの講義のテーマとなった。[5]
工事
ブリカール八面体は、3 組の点から構成され、各点は 180° 回転対称の共通軸の周りに対称で、6 点すべてを含む平面はありません。これらの点が八面体の頂点を形成します。八面体の三角形の面には、3 つの対称なペアのそれぞれから 1 つの点が含まれます。各ペアに対して、ペアから 1 つの点を選択する方法が 2 つあるため、合計で 8 つの三角形の面があります。八面体の辺はこれらの三角形の辺であり、2 つの対称なペアのそれぞれから 1 つの点が含まれます。12 の辺があり、八面体グラフ K 2,2,2を形成します。[2] [6]
たとえば、6 つの点 (0,0,±1)、(0,±1,0)、(±1,0,0) は正八面体の頂点を形成し、各点は八面体内でその反転の反対側にありますが、これは柔軟ではありません。代わりに、これらの同じ 6 つの点を別の方法でペアにして、対角線対称軸を持つブリカール八面体を形成できます。この軸を原点と点 (0,1,1) を通る線として選択した場合、この軸の 3 つの対称点のペアは、(0,0,1)—(0,1,0)、(0,0,−1)—(0,−1,0)、(1,0,0)—(−1,0,0) です。結果として得られるブリカール八面体は、赤道直角平行四辺形を持つ 2 番目のアニメーションの極端な構成の 1 つに似ています。
つながりとして
ブリカール八面体は、面を持たず、頂点で柔軟なジョイントで接続された12の辺からなる機械的連結機構と考えることもできる。面を省略すると、これらの八面体の多くの位置（すべてではない）で自己交差がなくなる。結果として得られる運動連鎖は、それが派生した多面体と同じ1つの運動自由度を持つ。 [7]
説明
対称的な 2 点のペアの間の辺によって形成される四辺形は、八面体の赤道と考えることができます。これらの赤道は、（対称性により）四辺形の反対側のペアの長さが等しいという特性を持ちます。ユークリッド空間に埋め込まれた、反対側のペアの長さが等しい四辺形はすべて軸対称性を持ち、いくつか（長方形など）はこれ以外にも対称性を持ちます。ブリカール八面体を赤道の 1 つに沿ってスライスして 2 つの底が開いたピラミッドに切断すると、これらの開いたピラミッドは両方とも曲がることができ、曲がる動きによって全体の形状の対称軸を保存することができます。しかし、構造の対称性により、これらの 2 つの開いたピラミッドの曲がる動きは、どちらも切断された赤道を同じように動かします。したがって、それらを接着し直すと、八面体全体が1回曲げられるようになります。[2] [6]
向かい合う辺の長さが等しいという性質は、長方形、平行四辺形、逆平行四辺形に当てはまり、これらの平面形状のいずれかを赤道とするブリカール八面体を構成することが可能である。しかし、ブリカール八面体の赤道は平面にある必要はなく、斜め四辺形でもよい。平らな赤道を持つように構成されたブリカール八面体であっても、八面体が曲がると赤道は通常平らなままではない。[2]しかし、図に示す逆平行四辺形の赤道を持つ八面体など、一部のブリカール八面体では、多面体の対称性により、その赤道は常に平面のままである。
追加のプロパティ
ブリカール八面体のデーン不変量は、曲げ運動をしても一定のままである。[ 8 ]この同じ特性は、自己交差しないすべての柔軟な多面体で証明されている。[9]しかし、デーン不変量が曲げられるにつれて連続的に変化する他の自己交差柔軟な多面体も存在する。[10]
拡張機能
ブリカール多面体は、面を追加することで、多面体の自己交差部分を互いに離しながらも曲げられるように修正することができます。これらの修正の中で最も単純なのは、クラウス・ステフェンが発見した、9つの頂点と14の三角形の面を持つステフェンの多面体です。 [2]しかし、自己交差のない最も単純な柔軟な多面体であると主張されているにもかかわらず、[4] 2024年のガレットらのプレプリントでは、8つの頂点のみを持つ、より単純な自己交差しない柔軟な多面体を構築できると主張しています。彼らの多面体は、2つのブリカール八面体を組み合わせて自己交差する柔軟な五角両錐を形成し、その面の1つを3つの三角形に置き換えて自己交差を排除することで得られます。[11]
ブリカール八面体から派生した複数の形状を接続することで、複雑な空間曲線を描く角形の剛体折り紙形状を構築することができます。[12]
参考文献
- ^ Bricard、Raoul (1897)、「Mémoire sur la théorie de l'octaèdre articulé」、Journal de mathématiques pures et appliquées、5 eシリーズ (フランス語)、3 : 113–150EA Coutsias 著「関節八面体の理論に関する覚書」として翻訳、2010 年。
- ^ abcde Connelly, Robert (1981)、「Flexing faces」、Klarner, David A. (ed.)、The Mathematical Gardner、Springer、pp. 79–89、doi :10.1007/978-1-4684-6686-7_10、ISBN 978-1-4684-6688-1。
- ^ ab スチュワート、イアン（2004）、数学ヒステリー：数学の楽しさとゲーム、オックスフォード：オックスフォード大学出版局、p. 116、ISBN 9780191647451。
- ^ ab Demaine, Erik D. ; O'Rourke, Joseph (2007)、「23.2 柔軟な多面体」、幾何学的折り畳みアルゴリズム: リンク、折り紙、多面体、ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ、pp. 345–348、doi :10.1017/CBO9780511735172、ISBN 978-0-521-85757-4、MR 2354878。
- ^ Lebesgue H.、「Octaedres articules de Bricard」、Enseign。数学。、シリーズ 2 (フランス語)、13 (3): 175–185、doi :10.5169/seals-41541
- ^ ab フックス、ドミトリー;タバチニコフ、セルジュ(2007)、数学オムニバス: 古典数学に関する 30 の講義、プロビデンス、ロードアイランド州: アメリカ数学協会、p. 347、doi :10.1090/mbk/046、ISBN 978-0-8218-4316-1、MR 2350979。
- ^ クロムウェル、ピーター・R.（1997）、ポリヘドラ、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、p. 239、ISBN 0-521-55432-2、MR 1458063。
- ^ アレクサンドロフ、ビクター（2010）、「ブリカール八面体のデーン不変量」、ジャーナルオブジオメトリ、99（1–2）：1–13、arXiv：0901.2989、doi：10.1007 / s00022-011-0061-7、MR 2823098。
- ^ ガイフリン、AA; Ignashchenko、LS (2018)、「柔軟な多面体のデーン不変式とはさみの合同」、Trudy Matematicheskogo Instituta Imeni VA Steklova、302 (Topologiya i Fizika): 143–160、doi :10.1134/S0371968518030068、ISBN 5-7846-0147-4、MR 3894642
- ^ アレクサンドロフ、ビクター、コネリー、ロバート（2011）、「六角形の赤道を持つ柔軟なサスペンション」、イリノイ数学ジャーナル、55（1）：127–155、arXiv：0905.3683、doi：10.1215/ijm/1355927031、MR 3006683。
- ^ ガレット、マッテオ;ゲオルク・グラゼッガー。ヤン・レゲルスキー。 Schicho、Josef (2024 年 10 月 17 日)、五角両錐体は最小の柔軟な埋め込まれた多面体につながる、arXiv : 2410.13811
- ^ 舘智宏(2016)、「ブリカール八面体を用いた剛体折り畳み可能なホーンの設計」、Journal of Mechanisms and Robotics、8 (3): 031008、doi :10.1115/1.4031717。