正多面体

幾何学において、正歪多面体は、非平面の面や頂点図形の可能性を含む正多面体の集合の一般化である。コクセターは歪頂点図形に注目し、新しい4次元正多面体を生み出し、その後ブランコ・グリュンバウムは正歪面に注目した。^[1]

3 次元空間以上に広がる無限正歪多面体は、正歪アペイロヘドラと呼ばれます。

歴史

コクセターによれば、1926 年にジョン・フリンダース・ペトリーが正歪多角形(非平面多角形)の概念を正歪多面体に一般化した。

コクセターはこれらの図形に対して修正されたシュレーフリ記号 ${l, m | n}を提案した。ここで$ ${l, m}は$ 頂点図形、頂点の周りの $m 個の$ $l角形、および$ $n$ 角形の穴を意味する。これらの頂点図形は、 2 つの平面の間をジグザグに走る斜めの多角形である。

${l, m | n}$ で表される正多面体は、次の式に従います。

2\cos {\frac {\pi }{l}}\cos {\frac {\pi }{m}}=\cos {\frac {\pi }{n}}

最初の集合 ${l, m | n}$ は、5つの凸プラトン立体と1つの非凸ケプラー・ポアンソ立体を繰り返します。

有限正多面体

コクセターは論文「3 次元と 4 次元の正則な歪んだ多面体とその位相的な類似体」の中で、より大きな有限正多面体の集合も列挙しました。

無限の歪んだ多面体が凸状の均一なハニカムのセル間の多様体表面を表すのと同様に、有限形式はすべて均一な 4 次元多面体のセル内の多様体表面を表します。

{2p, 2q | r} の形の多面体は、コクセター群の対称性 [(p,r,q,r)] と関連しており、q が 2 のとき、線型 [r,p,r] に簡約される。コクセターは、これらの対称性を [[( p , r , q , r )] ⁺ ] として与え、これは彼の抽象群(2 p ,2 q |2, r ) と同型であると主張している。関連するハニカムは、拡張された対称性 [[( p , r , q , r )]] を持つ。^[2]

{2p,4|r} は、ビット切断された{r,p,r}一様 4 次元多面体の {2p} 面で表され、{4,2p|r} は、切断された{r,p,r} の正方形面で表されます。

{4,4|n} はn - n デュオプリズムを生成し、具体的には {4,4|4} は {4}x{4}四次元方陣の内側に収まります。

最終的な集合は、コクセターのさらに拡張された形式{q1,m|q2,q3...} または q2 が指定されていない {l, m |, q} に基づいています。これらは、正則有限写像または { l , m } _{2 q}、およびグループ G ^{l , m , q}で表すこともできます。^[3]

高次元

正歪多面体は、正多面体やハニカムへの埋め込みとして、4次元以上の次元でも構築できます。たとえば、正二十面体は6-半立方体の頂点に埋め込むことができ、これはHSMコクセターによって正歪二十面体と名付けられました。十二面体も同様に10-半立方体に埋め込むことができます。^[4]

参照

注記

^ 抽象正多面体、p.7、p.17
^ コクセター、正則多面体と半正則多面体 II 2.34)
^ Coxeter と Moser、「離散群の生成元と関係」、第 8.6 節「指定されたペトリー多角形を持つマップ」、p. 110
^ Deza, Michael; Shtogrin, Mikhael (1998). 「正則タイリングとスターハニカムのグラフをハイパーキューブと立方格子のグラフに埋め込む」。純粋数学の高度研究。アレンジメント – 東京 1998: 77。doi : 10.2969 /aspm / 02710073。ISBN 978-4-931469-77-8. 2020年4月4日閲覧。

参考文献

ピーター・マクマレン、「4次元正多面体」、離散幾何学と計算幾何学、2007年9月、第38巻、第2号、pp 355–387
コクセター『正多面体』第3版（1973年）、ドーバー版、ISBN 0-486-61480-8
万華鏡：HSMコクセター選集、F.アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイヴィック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (論文2) HSM Coxeter、「正規スポンジ、または斜め多面体」、Scripta Mathematica 6 (1939) 240-244。
- (論文22) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
- (論文 23) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体 II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
コクセター、「幾何学の美：12のエッセイ」、ドーバー出版、1999年、ISBN 0-486-40919-8 （第5章：3次元および4次元の正則歪曲多面体とその位相的類似体、ロンドン数学協会紀要、第2巻、第43巻、1937年。）
- Coxeter, HSM 「3次元および4次元の正則歪曲多面体」。Proc . London Math. Soc. 43, 33-62, 1937。
Garner, CWL 「双曲的三次元空間における正則歪曲多面体」 Can. J. Math. 19, 1179-1186, 1967.
E. シュルテ、JM ウィルズ「コクセターの正則歪曲多面体について」、離散数学、第 60 巻、1986 年 6 月～7 月、253～262 ページ

[1] 抽象正多面体、p.7、p.17

[2] コクセター、正則多面体と半正則多面体 II 2.34)

[3] Coxeter と Moser、「離散群の生成元と関係」、第 8.6 節「指定されたペトリー多角形を持つマップ」、p. 110

[4] Deza, Michael; Shtogrin, Mikhael (1998). 「正則タイリングとスターハニカムのグラフをハイパーキューブと立方格子のグラフに埋め込む」。純粋数学の高度研究。アレンジメント – 東京 1998: 77。doi : 10.2969 /aspm / 02710073。ISBN 978-4-931469-77-8. 2020年4月4日閲覧。