四角錐

四角錐
タイプ	ピラミッド、 ジョンソン J 92 – J 1 – J 2
顔	4つの三角形と 1つの正方形
エッジ	8
頂点	5
頂点構成	${\displaystyle 4\times (3^{2}\times 4)+1\times (3^{4})}$[1]
対称グループ	${\displaystyle C_{4\mathrm {v} }}$
音量	${\displaystyle {\frac {1}{3}}l^{2}h}$
二面角（度）	正四角錐: [1] 三角形から三角形まで: 109.47° 四角形から三角形: 54.74°
二重多面体	自己双対
プロパティ	凸型、 基本型（正四角錐）
ネット

幾何学において、四角錐は正方形の底面を持ち、合計 5 つの面を持つ ピラミッドです。ピラミッドの頂点が正方形の中心の真上にある場合、それは4 つの二等辺三角形を持つ直四角錐です。そうでない場合は斜四角錐です。ピラミッドのすべての辺の長さが等しい場合、その三角形はすべて正三角形です。これは正四角錐と呼ばれ、ジョンソン立体の一例です。

四角錐は建築の歴史を通じて登場しており、エジプトのピラミッドやその他多くの類似の建物がその例です。化学の世界でも四角錐の分子構造に見られます。四角錐は他の多面体の構築によく使用されます。古代の多くの数学者がさまざまなアプローチで四角錐の体積の公式を発見しました。

四角錐には、5 つの頂点、8 つの辺、5 つの面があります。1 つの面はピラミッドの底面と呼ばれ、正方形です。他の 4 つの面は三角形です。^[2] 4 つの辺は、4 つの頂点を結んで正方形を構成します。他の 4 つの辺はピラミッドの側面と呼ばれ、頂点と呼ばれる 5 番目の頂点で交わります。^[3]ピラミッドの頂点が正方形の中心から垂直に立てた線上にある場合、それは直角錐と呼ばれ、4 つの三角形の面は二等辺三角形です。それ以外の場合、ピラミッドには 2 つ以上の二等辺三角形でない面があり、斜四角錐と呼ばれます。^[4]

直角錐の斜高は、その二等辺三角形のうちの 1 つの高さとして定義されます。これは、ピタゴラスの定理 によって得られます。ここ で、 は三角形の底辺の長さであり、正方形の 1 つの辺でもあります。 は三角形の脚の長さであり、ピラミッドの横の辺です。^[5]直角錐の高さも同様に得られますが、斜高の公式を置き換えると次のようになります。 ^[6] 多面体の表面積は、その面の面積の合計です。直角錐の表面積は と表すことができます。ここで、 と はそれぞれ三角形のうちの 1 つの面積と底辺の面積です。三角形の面積は、底辺と辺の積の半分であり、正方形の面積は辺の長さの 2 乗です。したがって、次の式が得られます。^[7] 一般に、ピラミッドの体積は、底面積の 3 分の 1 に高さを掛けたものに等しくなります。^[8]これを四角錐の式で表すと次のようになります。^[9]${\displaystyle s}$$${\displaystyle s={\sqrt {b^{2}-{\frac {l^{2}}{4}}}},}$$${\displaystyle l}$${\displaystyle b}$${\displaystyle h}$ $${\displaystyle h={\sqrt {s^{2}-{\frac {l^{2}}{4}}}}={\sqrt {b^{2}-{\frac {l^{2}}{2}}}}.}$$${\displaystyle A}$${\displaystyle A=4T+S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle S}$ $${\displaystyle A=4\left({\frac {1}{2}}ls\right)+l^{2}=2ls+l^{2}.}$$${\displaystyle V}$ $${\displaystyle V={\frac {1}{3}}l^{2}h.}$$

古代には多くの数学者が四角錐の体積を計算する公式を発見している。モスクワ数学パピルスでは、エジプトの数学者が切頂四角錐の体積を計算する公式を知っていたことが示されており、四角錐の体積も知っていたことが示唆されているが、その公式がどのように導き出されたかは不明である。四角錐の体積の発見以外にも、四角錐の傾斜と高さを求める問題はリンド数学パピルスに見られる。^[10]バビロニアの数学者も錐台の体積を考慮したが、その公式は間違っていた。^[11]中国の数学者劉慧も直方体を分割する方法で体積を発見した。^[12]

三角形の辺の長さがすべて等しく、4つの三角形が正三角形で、ピラミッドの面がすべて正多角形 である場合、それは正四角錐です。 ^[13]隣接する三角形の面の間の二面角は で、底辺と各三角形の面の間の二面角はその半分で です。[1] すべての面が正多角形である凸多面体^はジョンソン立体と呼ばれます。正四角錐はその中にあり、最初のジョンソン立体 として列挙されています。^[14]${\textstyle \arccos \left(-1/3\right)\approx 109.47^{\circ }}$${\textstyle \arctan \left({\sqrt {2}}\right)\approx 54.74^{\circ }}$${\displaystyle J_{1}}$

四辺の長さはすべて等しい（つまり、）ので、その傾き、高さ、表面積、体積は、正四角錐の公式を代入することで求めることができる。^[15]${\displaystyle b=l}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}s={\frac {\sqrt {3}}{2}}l\approx 0.866l,&\qquad h={\frac {1}{\sqrt {2}}}l\approx 0.707l,\\A=(1+{\sqrt {3}})l^{2}\approx 2.732l^{2},&\qquad V={\frac {\sqrt {2}}{6}}l^{3}\approx 0.236l^{3}.\end{aligned}}}$$

正多角形を底辺とする他の直角錐と同様に、直角錐は錐対称性を持つ。 直角錐の場合、これは巡回群の対称性である。つまり、錐は 対称軸（頂点と底辺の中心を結ぶ線）の周りを1、2、3/4回転しても不変であり、底辺の二等分線を通る任意の垂直平面に対して鏡映対称でもある。 ^[1]これはホイールグラフとして表すことができ、つまりその骨格は4つの頂点が中心の頂点（普遍頂点と呼ばれる）とつながる正方形として解釈できる。^[16]これは自己双対であり、つまりその双対多面体は正角錐そのものである。^[17]${\displaystyle C_{4\mathrm {v} }}$ ${\displaystyle W_{4}}$

正四角錐は基本多面体です。つまり、平面で分離して、正三角形の面を持つ2つの小さな凸多面体を作ることはできません。^[18]

建築学では、古代エジプトに建てられたピラミッドが四角錐のような形をした建物の例である。^[19] ピラミッド学者は、ギザの大ピラミッドの設計について、ケプラーの三角形と黄金比に基づく理論など、さまざまな提案を行っている。しかし、現代の学者は、エジプトの数学と比例の知識とより一致するとして、整数比を使用した説明を支持している。^[20]メソアメリカのピラミッドも、エジプトのピラミッドに似た古代のピラミッド型の建物であるが、平らな上部と上面を登る階段がある点で異なる。^[21]エジプトのピラミッドを模倣したデザインの現代の建物には、ルーブル美術館のピラミッドやラスベガスのカジノホテル、ルクソールがある。^[22]

立体化学では、原子クラスターは四角錐の形状をとることができる。四角錐分子は1つの活性孤立電子対を持つ主族元素を持ち、これはVSEPR理論として知られる分子の形状を予測するモデルで説明できる。^{[23]この構造を持つ分子の例には、}五フッ化塩素、五フッ化臭素、五フッ化ヨウ素などがある。^[24]

四角錐の底面を別の多面体の四角い面に取り付けることで、新たな多面体を構築することができます。これは拡張の一例です。たとえば、正四角錐の底面を立方体の各面に取り付けることで、四角錐の六面体を構築できます。^{[25]角錐に}角柱または反角柱を取り付けることは、それぞれ伸長またはジャイロ伸長として知られています。^[26]その他のジョンソン立体のいくつかは、四角錐を拡大するか、四角錐で他の形状を拡大することによって構築できます：細長い四角錐 、回転細長い四角錐、細長い四角両錐、回転細長い四角両錐、拡大三角柱、双拡大三角柱、三拡大三角柱、拡大五角柱、双拡大五角柱、拡大六角柱、パラバイ拡大六角柱、メタバイ拡大六角柱、三拡大六角柱、拡大蝶冠。^[27]${\displaystyle J_{8}}$ ${\displaystyle J_{10}}$ ${\displaystyle J_{15}}$ ${\displaystyle J_{17}}$ ${\displaystyle J_{49}}$ ${\displaystyle J_{50}}$ ${\displaystyle J_{51}}$ ${\displaystyle J_{52}}$ ${\displaystyle J_{53}}$ ${\displaystyle J_{54}}$ ${\displaystyle J_{55}}$ ${\displaystyle J_{56}}$ ${\displaystyle J_{57}}$ ${\displaystyle J_{87}}$

• 四角錐数、四角錐に積み重ねられた球の数を数える自然数。

ウィキメディア・コモンズには、四角錐 (J1)に関連するメディアがあります。

• Weisstein, Eric W.、「四角錐」（「ジョンソン立体」） 、 MathWorldにて。
• 四角錐 – インタラクティブな多面体モデル
• バーチャルリアリティ多面体 georgehart.com: 多面体百科事典 ( VRMLモデル 2023 年 10 月 7 日にWayback Machineにアーカイブ)